用OLS法得到的估计模型通过统计检验后.docx
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用OLS法得到的估计模型通过统计检验后
异方差
用OLS法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。
由1.3节知，只有模型的4个假定条件都满足时，用OLS法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。
当一个或多个假定条件不成立时，OLS估计量将丧失上述特性。
本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。
以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。
分为5个步骤。
（1）回顾假定条件。
（2）假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。
（3）定性分析假定条件是否成立。
（4）假定条件是否成立的检验（定量判断）。
（5）假定条件不成立时的补救措施。
1.5.1同方差假定
模型的假定条件⑴给出Var（u）是一个对角矩阵，
Var（u）=σ2I=σ2
（5.1）
且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var（u）不再是一个纯量对角矩阵。
Var（u）=σ2Ω=σ2
≠σ2I.（5.2）
当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut取自不同的分布总体。
非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。
比如Ω中的σij与σ2的乘积,（i≠j）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与uj的协方差。
若Ω非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
本节讨论异方差。
下一节讨论自相关问题。
以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。
对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。
图5.1同方差情形图5.2同方差情形
1.5.2异方差表现与来源
异方差通常有三种表现形式，
（1）递增型，
（2）递减型，（3）条件自回归型。
递增型异方差见图5.3和5.4。
图5.5为递减型异方差。
图5.6为条件自回归型异方差。
图5.3递增型异方差情形图5.4递增型异方差
图5.5递减型异方差图5.6复杂型异方差
（1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
（2）经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
无论是时间序列数据还是截面数据。
递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。
1.5.3异方差的后果
下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。
对模型
yt=β0+β1xt+ut
当Var（ut）=σt2，为异方差时（σt2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。
以
为例
E（
）=β1
但是回归参数估计量不再具有有效性。
仍以
为例，
Var（
）=
≠
因此异方差条件下的
失去有效性。
另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。
例如
E（
（
））≠Var（
）
1.5.4异方差检验
1.5.4.1定性分析异方差
（1）经济变量规模差别很大时容易出现异方差。
如个人收入与支出关系，投入与产出关系。
（2）利用散点图做初步判断。
（3）利用残差图做初步判断。
1.5.4.2异方差检验
（1）White检验
White检验由H.White1980年提出（下面要解释的Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序，Glejser检验通常要试拟合多个回归式）。
White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造χ2统计量进行异方差检验。
White检验的具体步骤如下。
以二元回归模型为例：
yt=β0+β1xt1+β2xt2+ut（5.9）
①首先对上式进行OLS回归，求残差
。
②做如下辅助回归式，
=α0+α1xt1+α2xt2+α3xt12+α4xt22+α5xt1xt2+vt（5.10）
即用
对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。
注意，上式中要保留常数项。
求辅助回归式（5.10）的可决系数R2。
③White检验的零假设和备择假设是
H0:
（5.9）式中的ut不存在异方差，
H1:
（5.9）式中的ut存在异方差
④在不存在异方差假设条件下统计量
TR2~χ2（5）（5.11）
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式（5.10）的OLS估计式的可决系数。
自由度5表示辅助回归式（5.10）中解释变量项数（注意，不计算常数项）。
TR2属于LM统计量。
⑤判别规则是
若TR2≤χ2α（5）,接受H0（ut具有同方差）
若TR2>χ2α（5）,拒绝H0（ut具有异方差）
（2）Goldfeld-Quandt检验
H0:
ut具有同方差，H1:
ut具有递增型异方差。
构造F统计量。
① 把原样本分成两个子样本。
具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T>30时，取m≈T/4，余下的T-m个观测值自然分成容量相等，（T-m）/2，的两个子样本。
）
{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xT-1,xT}
n1=（T-m）/2m=T/4n2=（T-m）/2
②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。
相对于n2和n1分别用SSE2和SSE1表式。
③F统计量是
F=
=
，（k为模型中被估参数个数）
在H0成立条件下，F~F（n2-k,n1-k）
④判别规则如下，
若F≤Fα（n2-k,n1-k）,接受H0（ut具有同方差）
若F>Fα（n2-k,n1-k）,拒绝H0（递增型异方差）
注意：
①当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
②此法只适用于递增型异方差。
③对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。
（3）Glejser检验
检验|
|是否与解释变量xt存在函数关系。
若有，则说明存在异方差；若无，则说明不存在异方差。
通常应检验的几种形式是
|
|=a0+a1xt
|
|=a0+a1xt2
|
|=a0+a1
….
Glejser检验的特点是：
① 既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。
②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。
③计算量相对较大。
④ 当原模型含有多个解释变量值时，可以把|
|拟合成多变量回归形式。
（4）自回归条件异方差（ARCH）检验
异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差（ARCH）检验。
这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项σt2看作是xt的函数，而是把σt2看作误差滞后项ut-12,ut-22,…的函数。
ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。
恩格尔（Engle1982）针对ARCH过程提出LM检验法。
辅助回归式定义为
=α0+α1
+…+αn
（5.12）
LM统计量定义为
ARCH=TR2~χ2（n）
其中R2是辅助回归式（5.12）的可决系数。
在H0：
α1=…=αn=0成立条件下，ARCH渐近服从χ2（n）分布。
ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n=1），
=α0+α1
在这种情形下，ARCH渐近服从χ2
（1）分布。
1.5.5.克服异方差的方法
克服异方差的矩阵描述。
设模型为
Y=Xβ+u
其中E（u）=0，Var（u）=E（uu'）=σ2Ω。
Ω已知，β与k未知。
因为Ω≠I，违反了假定条件，所以应该对模型进行适当修正。
因为Ω是一个T阶正定矩阵，所以必存在一个非退化T⨯T阶矩阵M使下式成立。
MΩM'=IT⨯T
从上式得
M'M=Ω-1
用M左乘上述回归模型两侧得
MY=MXβ+Mu
取Y*=MY,X*=MX,u*=Mu,上式变换为
Y*=X*β+u*
则u*的方差协方差矩阵为
Var（u*）=E（u*u*'）=E（Muu'M'）=Mσ2ΩM'=σ2MΩM'=σ2I
变换后模型的Var（u*）是一个纯量对角矩阵。
对变换后模型进行OLS估计，得到的是β的最佳线性无偏估计量。
这种估计方法称作广义最小二乘法。
β的广义最小二乘（GLS）估计量定义为
（GLS）=（X*'X*）-1X*'Y*=（X'M'MX）-1X'M'MY=（X'Ω-1X）-1X'Ω-1Y
（1）对模型
yt=β0+β1xt1+β2xt2+ut（5.15）
假定异方差形式是Var（ut）=（σxt1）2。
（因为Var（ut）=E（ut）2，相当于认为|
|=σxt）用xt1同除上式两侧得
yt/xt1=
/xt1+
+β2xt2/xt1+ut/xt1,（5.16）
因为Var（ut/xt1）=（1/xt12）Var（ut）=（1/xt12）σ2xt12=σ2，（5.16）式中的随机项（ut/xt）是同方差的。
对（5.16）式做OLS估计后，把回归参数的估计值代入原模型（5.15）。
对（5.16）式应用OLS法估计参数，求∑（ut/xt1）2最小。
其实际意义是在求∑（ut/xt1）2最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。
所以此法亦称为加权最小二乘法，是GLS估计法的一个特例。
以异方差形式Var（ut）=σ2xt2为例，用矩阵形式介绍克服异方差。
σ2Ω=σ2
定义M=
从而使Var（Mu）=E（Muu'M'）=Mσ2ΩM'=σ2MΩM'
=σ2
=σ2IT⨯T
即对于（5.16）式来说误差项已消除了异方差。
（2）利用Glejser检验结果消除异方差
假设Glejser检验结果是
|
|=
+
xt
说明异方差形式是Var（ut）=（
+
xt）2σ2。
用（
+
xt）除原模型（5.15）各项,
=β0
+β1
+
（5.17）
则Var（
）=
Var（ut）=
（
+
xt）2σ2=σ2
说明消除了异方差。
对（5.17）式做OLS估计，把回归参数的估计值代入原模型（5.15）。
（3）通过对数据取对数消除异方差。
中国进出口贸易额差（1953-1998），文件名：
pap1对数的中国进出口贸易额之差
（4）当模型中存在自回归条件异方差时，可以采用极大似然估计法，通过建立自回归条件异方差辅助方程的形式估计原回归模型。
（超出课程范围）
案例1取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据（file:
hete01，hete02）研究二者之间的关系。
得估计的线性模型如下，
yt=-5.6610+0.0123xt（5.18）
（12.4）R2=0.85,F=155.0,T=29
图5.7农作物产值yt和播种面积xt（file:
hete01）图5.8残差图（file:
hete02）
无论是从yt和xt观测值的散点图（见图5.7）还是模型的残差图（见图5.8）都可以发现数据中存在异方差。
（1）用White方法检验是否存在异方差。
在上式回归的基础上，做White检验。
得,
注意：
输出结果中的概率是指χ2
（2）统计量取值大于8.02的概率为0.018。
示意如下图。
因为TR2=8.02>χ2α
（2）=6，所以存在异方差。
（2）用Goldfeld-Quandt方法检验是否存在异方差。
①首先以xt为基准对成对样本数据（yt，xt）按取值大小排序。
②去掉中间7个数据，按xt取值大小分成样本容量各为11的两个子样本。
③用两个子样本各自回归得结果如下，
yt=2.7202+0.0106xt,（t=1,…,11）（5.19）
（5.8）R2=0.80,F=33.8,SSE=1266,
yt=5.8892+0.0118xt,（t=19,…,29）（5.20）
（3.0）R2=0.50,F=9.1,SSE=14174
F=
=11.2,
因为F=11.2>F0..05（9,9）=3.18，所以存在异方差。
下面克服异方差。
（1）对yt和xt同取对数。
得两个新变量Lnyt和Lnxt（见图5.9）。
用Lnyt对Lnxt回归，得
Lnyt=-4.1801+0.9625Lnxt.（5.21）
（16.9）R2=0.91,F=285.6,（t=1,…,29）
图5.9Lnyt和Lnxt图5.10残差图
经White检验不存在异方差。
因为TR2=2.58<χ20.05
（2）=6.0，所以不存在异方差。
（文件：
Statis）
⑵Goldfeld-Quandt检验异方差。
去掉中间7个观测值，仍按xt大小分成两个T=7的子样本，并回归（结果略）得SSE1=1.17，SSE2=0.65，经Goldfeld-Quandt检验，有
F=
=0.56,
因为0.56小于F0..05（9,9）=3.18，所以取对数后，模型中不存在递增型异方差（残差见图5.10）。
⑶用Glejser法检验异方差
用（5.18）式,yt=-5.6610+0.0123xt,的残差的绝对值对xt回归
|
|=0.0024xt
（8.0）R2=0.22
可见误差项的异方差形式是Var（ut）=E（ut）2=5.76⨯10-6xt2。
克服异方差的方法是用xt分别除（5.18）式两侧，得变换变量yt*=yt/xt，xt*=1/xt。
用yt*对xt*回归（见图5.11），得
yt*=0.0113+0.8239xt*（5.22）
（13.8）（0.8）R2=0.63,F=46.1
图5.11yt*和xt*图5.12残差图
注意，回归系数0.8239没有显著性，截距项0.0113却有很强的显著性，而0.0113正是还原后模型的回归系数，所以模型通过检验。
把yt*=yt/xt，xt*=1/xt代入上式并整理得广义最小二乘估计结果如下：
yt=0.8239+0.0113xt（5.23）
（0.8）（13.8）R2=0.63,F=46.1
由式（5.22）得到的残差见图5.12。
经检验已不存在异方差。
（5.22）式，即（5.23）式中的回归参数具有最佳线性无偏特性。
（5.18）式是最小二乘估计结果。
比较（5.18）和（5.23）式，
yt=-5.6610+0.0123xt（5.18）
虽然0.0113和0.0123相差不多，但从估计原理分析，0.0113有比0.0123更大的可能性接近回归参数真值。
经济含义是平均每一万亩耕地的农业产出值是113万元人民币。
通过这个例子说明，在实际中直接用解释变量除原变量的变换方法克服异方差是可行的。
用EViews给序列中的数据排序。
在Workfile窗口点击Procs键并选择SortSeries功能，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。
填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列（Ascending），还是从大到小排列（Descending）。
缺省的选择是从小到大排列。
注意，这种操作是把工作文件中所有的变量都以选定的变量为标准排序。
所以若希望保留原序列数据时，应先备份一个工作文件。
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