线性代数练习册第四章习题及答案本.docx
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线性代数练习册第四章习题及答案本
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性方程组
§4-1克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（C）
A.n元齐次线性方程组必有n组解；B.n元齐次线性方程组必有n1组解；
C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2．下列说法错误的是（B）
A.当D0时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当D0时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D0；D.若非齐次线性方程组有无解，则D0.二、填空题
x1x2x30
1．已知齐次线性方程组x1x2x30有非零解，
x2xx0
231
则1，0.
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D0,则方程组有唯一解xiDiD
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
8x3y2
1．
6x2y3
解：
D
86
32
20
5
D2
86
2312
D1
23
32
，
D1D52,y
所以，x
D2D
6
x12x2x32
2．2x1x23x31
xxx0
231
1D2
2111
131
r22r1r3r1
***-*****0011
2315
1
5500
解：
2D11
01D22
11D32
1
1211210211D1D
3r12r2111
05
351531010150D3D
，
3r12r2212
15
，
1r12r2201,x2
1D2D
1
所以，x12,x3
2xz1
3．2x4yz1
x8y3z2
2D2
0481
*****
1
12003
解：
1D11
22D22
12D32
1
1c12c303
1
0482
50
***-*****48D1D
1c3c1131
2
0***-*****8
000511202D3D
，
1c3c2231
10
，
1c12c3021,y
5D2D
1
所以，x0,z
x1x2x3x45
x12x2x34x424．
2x13x2x35x423xx2x11x0
2341
解：
1D
123152
12312315D1
220522
1D2
123712151D3
1232511
522123115552202315220101828
11123781231
14511
r2r1r32r1r43r1100
1000
11523
8*****
12310
3214222571215001123102951
0727
4261331*****220
10*****231
13781550
10*****
1231
1378
r25r1r32r11112
1
2135
4c32c225c411c2211
0***-*****
0135
10*****1123781
c15c2c310c2
14511
r2r1r32r1r43r1
23331525
r12r3r23r3
4c13c2112c25c11c35c1
22511
5c411c211
1D4
1232511
155
1231522
D1D
1112
5212315
1550
5220
2c13c252c32c2110
256
D2D
0100
r3r2r25r1
271424
D3D
3,x4
D4D
1
所以，x11,x22,x3
§4-2齐次线性方程组
一、选择题
1．已知mn矩阵A的秩为n1，1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX0的通解为（D）.A.k1；B.k2；C.k（12）；D.k（12）.
解：
因为mn矩阵A的秩为n1，所以方程组AX0的基础解系含1个向量。
而1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解，所以120为AX0的解，则方程组AX0的通解为k（12）。
kx1x2x30
2．设线性方程组x1kx2x30有非零解，则正确的是（C）
2xxx0
231
A.k必定为0；B.k必定为1；
C.k为0或1；D.这样的k值不存在.
a1b1a2b1
3．A
Manb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bn
a2bn
且a0（i1,2,L,n），0（j1,2,L,n），bijManbn
则Ax0的基础解系中含有（A）个向量.
A.n1；B.n；C.1；D.不确定.
a1b1a2b1
解：
因为A
Manb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bna1
a2bna
2b
1
MManbnan
b2
L
bn
所以，R（A）1；又a1b10R（A）1，所以，R（A）1。
4．设A为n阶方阵，r（A）n3，且a1,a2,a3是Ax0的三个线性无关的解向量，则Ax0的基础解系为（A）．
A．a1a2,a2a3,a3a1；B．a2a1,a3a2,a1a3；C．2a2a1,二、填空题
1．n元齐次线性方程组AmnX0有非零解的充分必要条件是R（A）n.
（1）x12x24x30
2．当0或2或3时，齐次线性方程组2x1（3）x2x30有非零解.
xx
（1）x0
231
12
a3a2,a1a3；D．a1a2a3,a3a2,a12a3．
3．写出一个基础解系由12,1,0，23,
T
0,
1组成的
T
齐次线性方程组_____x12x23x30.
x12x23x3
解：
方程组可为x2x2
xx33
即x12x23x30
x12x23x33x47x50
3x12x2x3x43x50
三、求解齐次线性方程组
x12x32x46x50
5x4x3x3xx0
23451
解：
1
233723r31
A
321132
r148r0*****
3r1
0215
4
3
31r5r4106
12
r（1/4）1
23372
r（1/1
r2r0122633）32
r003311
22r3
r0
046r2
00
0r2r123r30
x4x1
5/3x
4x5/3
所以，同解方程组为
2x3
x411x5/3，x4x4x5
x5
04/3
04/3
则11,211/3为一组基础解系，
1001
所以，通解为xk11k22。
37
824
11
12360004/3
1004/3
01111/3
00
0
x12x22x30
四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组2x1x2x30的解.
3xxx0
123
①求的值；②证明B0.
①解：
因为3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。
1
211
2
系数行列式A2
3
01。
1
②证明：
依题意，ABO。
假设B0，则B可逆，
ABOABB
1
OB
1
AO，矛盾。
所以，B0。
补充：
求证：
Amn,Bnp，AB0R（A）R（B）n.
证明：
依题意，矩阵B的所有列向量1,,p都是齐次线性方程组
Ax0的解，而Ax0解空间的维数是nR（A），
所以，R（B）R（1,,p）nR（A），即R（A）R（B）n。
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