七年级数学5一元一次方程教学案冀教版.docx

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七年级数学5一元一次方程教学案冀教版

第五章　一元一次方程

1.掌握等式的基本性质.

2.了解方程、一元一次方程、方程的解等概念,会解一元一次方程,体会方程中的“化归”思想.

3.对于一些简单的实际问题,会分析其数量关系,列出一元一次方程并求解,能根据实际问题确定其解,使学生经历用数学解决实际问题的过程.

引导学生经历一元一次方程的建立和应用过程,使学生根据具体问题中的数量关系列出方程,感受模型化的过程,初步形成方程思想.

通过一元一次方程模型的建立和应用,帮助学生提高数学抽象、模型思想以及分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和学习数学的兴趣,积累数学活动经验.

方程和方程组是第三学段“数与代数”的主要内容之一,一元一次方程是最简单、最基本的代数方程,它不仅在实际中有广泛的应用,而且是学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程以及其他后继内容的基础.与一元一次方程有关的一些概念,如方程的解、解方程等又是代数方程中具有共性的重要概念,等式的基本性质是代数方程进行同解变形并最后求出原方程的解的重要依据.所以本章内容无论从实践上还是从进一步学习上看,都是有重要地位的.列一元一次方程解应用题对培养学生的方程思想和建模能力,发展数感、符号感,提高分析问题、解决问题的能力有不可替代的作用.

1.以实际问题为主线引入方程和方程的解的概念,改变传统教材过于注重较为完整的概念体系而与实际脱节的现象,破除陈旧、繁琐的模式训练.在实际问题的应用中,强调对具体内容的分析、抽象,渗透数学建模思想,教材注重实际意义,选用贴近学生生活,具有现代气息的例题、习题,激发学生的学习兴趣,使学生体会方程在现实世界中的作用.

2.淡化概念的过分形式化叙述,删繁就简.注意数学思想方法的渗透,重视学生能力的培养.让学生参与知识的形成过程,改变传统教材“给出法则,让学生模仿练习”的框架,在解方程的教学上打破常规,在学生理解方程的简单变形及其合理性的基础上,鼓励学生自行探索、掌握解一元一次方程的一般步骤.

3.在体现“让不同的人在数学上得到不同的发展”方面,教材注意留有较大的弹性,以适应不同学生的需要.除了在练习、习题和复习题中设置不同要求的问题外,对大多数例题和部分习题均有一定的拓展、探索余地,提出不同的问题供学生思考、拓展.

【重点】

1.理解和掌握一元一次方程的解法.

2.能利用一元一次方程解应用题.

【难点】

1.能熟练地解一元一次方程.

2.正确地找出应用题中的数量关系,正确地列方程并求解.

1.教学应结合具体内容多采用“问题情境—建立模型—应用拓展”的模式展开,从简单而具体的实例中,让学生经历方程的形成与应用的过程,从而更好地理解方程的基本概念及意义,使学生从小学算术的思维方式逐渐过渡到用方程的思想思考和解决实际问题,发展应用数学的意识和能力.

2.在讲解一元一次方程的化简及求解的时候,应该同时练习代数式的有关知识,让学生通过所学的知识,学习和掌握新的知识.这样教学既有利于培养学生综合运用所学知识的能力,又有利于通过知识间的内在联系,化解教学中的难点,使学生更加牢固地掌握知识.

3.有效的数学学习不是单纯的模仿和记忆,解方程的步骤也没有统一的模式,教师应注意引导学生选择合理的解方程步骤,关注他们的个性发展.

4.在讲解如何用一元一次方程解决实际问题的各节中,应该鼓励学生自己分析问题中的量与量之间的关系,并寻找问题中的等量关系,经历从分析问题、解决问题到检验问题的完整过程.教师在这个过程中只是起到一个引导的作用,不宜代替学生的思维过程.

5.运用方程解决实际问题时,注意启发学生从多角度寻找等量关系,关注他们能否恰当地转化和分析量与量之间的关系,并鼓励学生大胆质疑、创新.

5.1　一元一次方程

1课时

5.2　等式的基本性质

1课时

5.3　解一元一次方程

2课时

5.4　一元一次方程的应用

4课时

回顾与反思

1课时

5.1　一元一次方程

1.了解一元一次方程的概念和它的解.

2.引领学生逐步提高分析问题和解决问题的能力.

通过用算术与方程不同的方法解决同一问题的对比,感悟方程的意义和作用.

通过建立一元一次方程的过程,初步认识方程模型,体会数学建模思想.

【重点】　了解一元一次方程及其相关概念.

【难点】　理解方程模型的建立和价值.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习小学学过的方程.

导入一:

丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:

坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.

五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.

你能用方程求出丢番图去世的年龄吗?

大家讨论交流一下.

可以利用我们所学的知识设他的年龄为x岁,列方程为x+x+x+5+x+4=x.

师生交流:

你对方程有什么认识?

列方程解决实际问题的关键是什么?

本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第五章一元一次方程开始.（板书主标题）

[设计意图]　通过阅读图中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模型.

导入二:

（出示多媒体课件）同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样猜出小彬的年龄的?

他利用了什么样的方法呢?

分析:

如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是　　　　,因此可以得到方程:

　　　　.

生:

我知道怎么回事,如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是2x-5,因此可以得到方程:

2x-5=21.根据我们小学所学的方程的解法,解得x=13,所以小彬的年龄为13岁.

师:

这位同学非常聪明,能够利用小学的知识把它解出来很好而且非常正确,同学们给他掌声鼓励.那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢?

[设计意图]　通过小彬和小华在进行猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.

　　[过渡语]　在小学我们就认识了方程,并用方程解决了一些简单的实际问题.本节我们将继续探究方程的相关问题.

活动1　感受方程解决问题的方法

一千五百年前的《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:

“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?

”这是我国古代著名趣题之一.

下面是用列算式与列方程两种不同的方法对问题进行解答的过程.

1.列算式解法.

每只兔子先算2只足（与鸡的足数凑齐）,此时兔子和鸡的足数共有2×35=70（只）.

由于每只兔子少算了2只足,总共少算的足数为94-70=24（只）,

所以兔子数为24÷2=12（只）,

鸡数为35-12=23（只）.

答:

鸡有23只,兔子有12只.

2.列方程解法.

设鸡有x只,那么兔子有（35-x）只.

因为鸡的足数+兔的足数=94,

所以2x+4（35-x）=94.

解这个方程,得x=23.

从而35-x=12.

答:

鸡有23只,兔子有12只.

[处理方式]　首先让学生用列算式和列方程的方法进行计算,初步感受两种解决同一问题的不同方法,再参考教材解决问题方法的基础上,尝试独立解决教材第146页“做一做”中提及的问题.

[设计意图]　对比是一种重要的解决问题的方法.通过对比帮助学生体验两种解决问题的不同思路.

活动2　方程方法和列算式方法解决问题的对比

师:

解决上述问题哪种方法比较简单?

生:

用方程的方法比较简单.

总结:

对上述问题,利用列算式的方法求解,需要先将每只兔子看成2只足,与每只鸡的足数凑齐（或者先将每只鸡看成4只足,与每只兔子的足数凑齐）,然后用足数之差求出兔子（或者鸡）数,思考过程和算式的得出都比较曲折.利用列方程的方法,可就足数之和直接列方程,使得问题的解决比较简单.

活动3　例题讲解

　某市举行中学生足球比赛,规定平局时不再进行加时赛,并且胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.实验中学足球队参加了10场比赛,只负了1场,共得21分.该校足球队胜了几场?

〔解析〕　该校足球队得分满足相等关系:

3×胜的场数+1×平的场数+0×负的场数=21,即3×胜的场数+1×（10-1-胜的场数）=21.

解:

设实验中学足球队胜了x场,

那么3x+（9-x）=21.

解得x=6.

答:

实验中学胜了6场.

活动4　一元一次方程及其相关概念

像2x+4（35-x）=94,3x+（9-x）=21这样含有未知数的等式叫做方程.能使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.

如果方程中含有一个未知数（也称元）,并且所含未知数的项的次数是1,那么我们就把这样的方程叫做一元一次方程.

即时练习:

判断以下哪些是一元一次方程.

（1）-2+5=3;

（2）3x-1=7;

（3）m=0;

（4）x>3;

（5）x+y=8;

（6）2x2-5x+1=0;

（7）2a+b.

【师生活动】　以抢答的形式来完成此题,并让学生找出不是的理由.教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.

[设计意图]　进一步强化一元一次方程的概念满足的两个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

[知识拓展]　

（1）实际上,判断一个方程是一元一次方程需同时满足三个条件:

①方程中的代数式都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的指数都是1.

（2）方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实际生活中有意义.

一元一次方程:

在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.

方程的解:

使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.

1.下列方程中,是一元一次方程的是（　　）

A.x2+1=2　　　　B.y=x-1

C.=1D.=1

解析:

一元一次方程满足两个条件:

只含有一个未知数,未知数的次数是1.故选C.

2.已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则m的值为（　　）

A.　　B.-2　　C.2　　D.-

解析:

方程定义:

含有未知数的等式叫做方程.本题已知方程的解是m,将m代入原方程得出:

4m-3m=2⇒m=2.故选C.

3.小华打算寒假期间读一本720页的书,若他每天读40页,读了x天,还剩下27页,可列方程为　　　　,列出的方程　　　　一元一次方程（填“是”或“不是”）.

解析:

每天读40页,x天共读40x页,已读的页数+未读的页数=总页数,所以40x+27=720,此方程为一元一次方程.

答案:

40x+27=720　是

4.在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,设乙班植树x株.

（1）列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数;

（2）根据题意列出含未知数x的方程;

（3）检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.

解:

（1）根据甲班植树的株数比乙班多20%,得甲班植树的株数为（1+20%）x;根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2（x-10）.　

（2）由题意得（1+20%）x=2（x-10）.　（3）当x=25时,甲班植树的株数为25（1+20%）=30≠35,2×（25-10）=30≠35,所以乙班植树的株数是25株,甲班植树的株数是30株,而不是35株.

5.1　一元一次方程

活动1　感受方程解决问题的方法

活动2　方程方法和列算式方法解决问题的对比

活动3　例题讲解

活动4　一元一次方程及其相关概念

一、教材作业

【必做题】

教材第147页练习第1题.

【选做题】

教材第148页习题A组第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列说法中正确的是（　　）

A.方程是等式

B.等式是方程

C.含有字母的等式是方程

D.含有未知数的不等式是方程

2.下列各式中,不是方程的是（　　）

A.x=1B.3x=2x+5

C.x+y=0D.2x-3y+1

3.方程x（x+2）=0的解为（　　）

A.0　　　B.-2　　C.0或-2　　　D.0或2

4.若xa+1=2是一元一次方程,则a2015=　　　　.

5.设某数为x,根据下列条件列出方程.

（1）某数的平方减去该数的等于9;

（2）某数比它的倒数大2.

【能力提升】

6.下列说法中正确的是（　　）

A.含有一个未知数的等式是一元一次方程

B.未知数的次数都是1次的方程是一元一次方程

C.含有未知数,并且未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程

D.2y-3=1是一元一次方程

7.下列方程中,一元一次方程的个数是（　　）

①2x+3y=5;②x2+1=2;③m-3=6;④x-6=5x;⑤+2=7.

A.1B.2C.3D.4

8.下列方程中,解是x=4的方程是（　　）

A.3x-2=-10B.x+3=2x+3

C.3x+8=5xD.2（x+3）=x+3

9.关于x的方程2x+m=5的解是x=2,则m=　　　　.

10.甲、乙两车分别从相距400千米的A,B两地同时出发相向而行,5小时后相遇,已知甲车每小时比乙车多行驶8千米,求乙车的速度,请列出方程（不用解）.

【拓展探究】

11.小华买了桃和香蕉共6千克,用去20元,其中桃每千克3元,香蕉每千克4元,设小华买了x千克桃,列出方程正确的是（　　）

A.3x+4x=20

B.6x+4x=20

C.3x+4（6-x）=20

D.（3+4）x=20

12.某音像公司对外出租光盘的收费方式是:

每张光盘出租的前2天每天收费0.8元,以后每天收费0.5元,那么一张光盘出租x（x>2且为整数）天应收费　　　　　　　　;当收费为5.6元时,可列方程为　　　　　　　　.

13.早晨,小猴把一天要吃的桃,按早、中、晚三餐依次放在三个盘子里.看了看,觉得晚餐太多,早餐太少.于是,他从第一个盘里拿了2个桃放在第二个盘里,又从第二个盘里拿了3个桃放在第三个盘里,再从第三个盘里拿了5个桃放在第一个

盘里.这时三个盘里各有6个桃.小猴满意地笑了.想一想:

小猴第一次分桃时,早、中、晚三餐各分得多少个桃?

（只列方程,不求解,提示:

每个盘里各列一个方程）

【答案与解析】

1.A（解析:

方程是等式,但等式不一定是方程.）

2.D（解析:

判断方程需要两个条件:

一是含有未知数,二是等式.）

3.C（解析:

根据方程的解的定义,将0,-2,2分别代入方程的左边和右边,当x=0和x=-2时,左边=右边,所以x=0和x=-2都是方程的解;当x=2时,左边=8,右边=0,左边≠右边,所以x=2不是方程的解.）

4.0（解析:

由一元一次方程的定义得a+1=1,所以a=0,则a2015=02015=0.）

5.解:

（1）x2-x=9.　

（2）x=+2.

6.D（解析:

只含有一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0（a,b是常数且a≠0）.据此可得出答案.A.未涉及未知数的次数;B.未涉及未知数的个数;C.未知数的个数只能为1;D.符合一元一次方程的定义.）

7.B（解析:

③④是一元一次方程.）

8.C（解析:

把x=4分别代入四个方程,符合方程左边=右边的为所求.）

9.1（解析:

把x=2代入2x+m=5中,得2×2+m=5,解得m=1.）

10.解:

设乙车的速度为每小时x千米,则5（x+8）+5x=400.

11.C（解析:

由题意可知小华买桃用去3x元,买香蕉用去4（6-x）元.故选C.）

12.[2×0.8+0.5（x-2）]元　2×0.8+0.5（x-2）=5.6（解析:

本题相等关系为:

前2天的收费+后些天的收费=5.6元.）

13.解:

设第一次分桃时,第一个盘里有x个桃,则x-2+5=6;设第一次分桃时,第二个盘里有y个桃,则y+2-3=6;设第一次分桃时,第三个盘里有z个桃,则z+3-5=6.

以小游戏作为情境引入,让学生在一个轻松的环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情境问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.

利用情境列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际问题的能力要求.

在整个教学实施的过程中,自始至终坚持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.

练习（教材第147页）

1.解:

x-1=3,5x+5=-1,2x+4=0是一元一次方程.

2.解:

x=是方程2x-1=0的解.x=2是方程2x-4=0的解,x=5是方程3x-15=0的解.x=-5是方程x+5=0的解.

习题（教材第148页）

A组

1.解:

方程:

x=1,2x+7=0,5x-1=5-x,x2-1=0,x+y=3,3y-6=0.一元一次方程:

x=1,2x+7=0,5x-1=5-x,3y-6=0.

2.解:

答案不唯一,如:

x-2=0.

3.解:

当x=2时,2×2-1=m,m=3.即m的值为3.

4.解:

（1）2（2x+x）=90.　

（2）当x=15时,左边=2×（2×15+15）=2×45=90,右边=90,左边=右边,所以x=15是所列方程的解.当x=20时,左边=2×（2×20+20）=120,右边=90,左边≠右边,所以x=20不是所列方程的解.　（3）2=90.

B组

1.解:

（1）设这个数为x,由题意列方程为2x+30=6x-14.　

（2）设陆地面积为x亿平方千米,由题意列方程为x+x=5.1.　（3）设这个月份第一个星期日的日期数是x.由题意列方程为x+（x+7）+（x+14）+（x+21）=58.

2.解:

设小明他们共去了x人.由题意列方程为5×20×80%+15=5x.

　下列各式中,是方程的为（　　）

A.3=5-2　　　　B.3+4x

C.5a-6=3D.2x+3>4x-5

〔解析〕　本题考查方程的定义.A选项为一个等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.

[解题策略]　方程的定义有两个条件:

（1）式子中必须含有未知数;

（2）式子必须是等式.

　检验2,1,0三个数是否为方程3（x+1）=2（2x+1）的解.

〔解析〕　判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程的未知数,并计算方程左右两边的值是否相等.

　　解:

将x=2分别代入原方程的左右两边,

左边=3×（2+1）=9,右边=2×（2×2+1）=10,

左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.

将x=1分别代入原方程的左右两边,

左边=3×（1+1）=6,右边=2×（2×1+1）=6,

左边=右边,所以x=1是原方程的解,

将x=0分别代入原方程的左右两边,

左边=3×（0+1）=3,右边=2×（2×0+1）=2,

左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.

[解题策略]　使方程左右两边式子相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.

5.2　等式的基本性质

1.理解并掌握等式的基本性质.

2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质求一元一次方程的解.

3.理解并掌握移项的法则.

1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.

2.初步体验解方程的化归思想.

1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.

2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.

【重点】　理解和应用等式的基本性质.

【难点】　应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.

【教师准备】　多媒体课件、天平、砝码等.

【学生准备】　复习一元一次方程的定义.

导入一:

在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗?

我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程（简单举例说明）.

对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:

某数与2的和的,比某数的2倍与3的差的大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是+1.

怎样才能求出x呢?

如果还用以前的方法容易求出方程的解吗?

观察思考,小组内简单交流后认同不易求出方程的解.

师:

因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的性质,以解决这个问题.（板书课题）

[设计意图]　通过问题串,让学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决问题,学生遇到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学习情境中去.

导入二:

用估算的方法,我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出方程

（1）3x-5=22,

（2）0.23-0.13y=0.47y+1的解吗?

第

（1）题要求学生给出解答,第

（2）题较复杂,估算比较困难.

师:

通过估算的方法,我们可以求得方程的解,可是我们也看到,通过估算求解,需要通过多次尝试才能得到正确的答案,而且有的方程要利用这种方法求解很困难.有没有相对简单的方法,使我们可以获得方程的解呢?

从今天开始我们就来学习解方程.

[设计意图]　通过对上节课内容的回忆和教师提出的问题,引发学生的思考,激发学生的探究欲望,进而引入本节课的内容.

　　[过渡语]　利用等式的基本性质,可以对方程进行恒等变形,进而达到解一元一次方程的目的.

活动1　等式的基本性质

1.感受等式的基本性质.

游戏一:

如图所示,此时天平架是平衡的.在托盘上增加或减少一定数量的砝码,使其仍保持平衡.请你最少摆出5种不同的平衡形式,并说明保持平衡的道理.

通过游戏,我们可认识到什么?

活动提示:

（1）天平两端放置同类型的砝码,怎样使天平平衡?

（2）天平两端放置不同类型的砝码,怎样使天平平衡?

（3）在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样增加砝码可以使天平继续保持平衡?

（4）在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样减少砝码可以使天平继续保持平衡?

（5）请你思考使天平平衡,增加或减少砝码有什么规律?

[设计意图]　天平游戏可以往两端添加等量的砝码,又可以取走等量的砝码.其中蕴含了等式关于加、减、乘、除的基本性质.

2.总结等式的基本性质.

（1）等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c=b±c.

（2）等式的两边乘（或除以）同一个数（除数不等于0）,结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc.

[处理方式]　根据等式的基本性质,分别设置两种不同的平衡形式.

活动2　天平的平衡与解方程

如图所示,天平架是平衡的.如果一个黄砝码的质量为1g,一个蓝砝码的质量为xg,请你观察下面的操作过程,并说出1个蓝砝码