批判精神在数学学习中的认识与实践.docx
《批判精神在数学学习中的认识与实践.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《批判精神在数学学习中的认识与实践.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
批判精神在数学学习中的认识与实践
毕业论文
题目:
批判精神在数学学习中的认识与实践
英文题目:
CognitionandpracticeofthecriticalspiritintheStudyofMathematics
院系:
理学院
专业:
数学教育
姓名:
毛婷婷
年级:
2008级
学号：
20808050201
指导教师:
吴海银老师
二零一一年四月
目录
批判精神在数学学习中的认识与实践
摘要（3）
一、引言（3）
二、在批判精神中进步着的数学（4）
（1）、先来看看数学史上的三次危机（3）
（2）、中、英两国数学符号体系发展的对比（4）
（3）、走进罗马与中世纪（5）
（4）伟大的笛卡尔与解析几何（5）
（5）从非欧几何的诞生中得到的启示（5）
（6）、布尔巴基学派的启示（5）
三、勾股定理的证明（6）
四、哥尼斯堡七桥问题的发展与批判精神的作用（10）
五、马克思和他的《数学手稿》（13）
六、发展批判性思维能力（14）
七、总结（15）
参考资料（16）
摘要
辩证批判性思维是一种重要的思维形式，它对培养学生的创新精神实施素质教育具有重要的意义,批判是一种洞察力、辨别力和判断力。
它关注对论证作多方面的、反思性的分析与考察。
批判性思维要求人们用慎思的怀疑态度去从事活动的倾向和技能，是个体对做什么和相信什么做出合理决策的能力。
批判性思维要求在思考的时候需要考虑自己的想法,包含质疑、弄清、主动地思考以及独立的分析。
通过在数学学习中培养和应用批判创新精神来增强数学创造意识，可以使数学的批判创新精神成为数学创新和数学教育的精神动力源泉。
进而提高数学学习的效率和从本质上认识数学学习。
关键词：
批判思维数学学习应用创新
批判精神在数学学习中的认识与实践
一、引言
批判精神是促使人类社会进步的一种重要的积极的精神。
从人类发展的历史来看，大到时代更替、社会文明的传承，小到日常生活的点点滴滴，批判精神都无不显示着其强大的生命力以及积极的推动作用。
正是因为有着批判精神，我们对自身、对社会的认知才能不断深入，才能不断改进不足，才会不断取得进步。
我相信，人类只要拥有正确的批判精神，就可以不断地剖析自我，改造自我，完善自我，从而达到剖析世界，改造世界，完善世界的终极目的。
批判精神在数学学习中应用很广泛，因为数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门很严谨的学科。
在数学世界里，只有拥有批判精神，才能有所发展，才能不断创新。
批判精神应用在数学中是指以一种平等、宽容和真诚的态度有目的地对数学原理的原有观点、方法、视角、证明方法、表达方式、应用价值等重新“审视”、“分析”、和再思考，以期发现问题和解决问题。
因此，我们要深入理解批判精神的内涵，在解决数学问题的过程中，可以深入思考，用来训练批判性思维，从而不断提高自己，应用到其他方面，也是一种超越自我的途径。
二、在批判精神中进步着的数学。
翻开任何一部数学发展史，你都不难发现，数学每前进一步，都伴随着无数人奋斗的汗水。
数学史可说是一部批判与反批判的历史，从中我们可以看到是无数的具有批判精神的人推动了历史的发展．
（1）、先来看看数学史上的三次危机
第一次数学危机由希泊索斯抛出
而掀起轩然大波，毕达哥拉斯学派在面对自己“万物皆数”的信仰被怀疑的时刻，首先是震惊，既而是把反对者残酷地扔进海里喂鱼．这是毕达哥拉斯学派无自我批判精神的例证，最终他们被历史的车轮碾得粉碎。
相比之下，希泊索斯对自己发现的真理坚贞不渝，即使被投入海中也在所不惜，最终被历史永远记住。
只有卓越的欧多克斯提出了建设性意见：
修改量度和比例理论．
第二次数学危机由微积分的出现而引起，由于微积分刚出现时主要概念没有获得严格的理论基础，人们对微积分基础的本质存在着普遍的疑问。
但有许多人不是去寻找解决问题的办法，而是恶劣攻击。
如在英国，牛顿的流数法遭到了贝克莱主教的猛烈攻击，只因他是主观唯心论者，怨恨牛顿的科学对唯物论的支持。
所以，我们后人称他们为阻挡历史前进的绊脚石．
第三次数学危机中，也有大批批判与反批判的人物上场，从康托尔的遭遇就可见一斑．康托尔可以说是个独立思考，坚持真理，不畏权威的典范，而以他导师克朗内克为代表的一派对康托尔的态度与毕达哥拉斯学派对待
的态度是何等的相似！
他们粗暴地攻击康托尔达10年之久，最终把他逼死在疯人院里．但是，真理是不可战胜的，集合论最终获得了数学界的普遍承认．后人不会忘记康托尔等人独立探索的精神，更不会忘记他们在批判与反批判中坚持真理，修改自我的勇气！
（2）、中、英两国数学符号体系发展的对比
先来看看中国的祖冲之，他虽然是个地位不高的小官，但却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一，何故？
因他的“探古异今”、“革新变旧”，更因他与权臣戴法兴的辩论，因他勇敢地直指戴“浮辞虚贬”、“坚执偏论”，正因为他的这种坚持真理的批判精神，才有了现今世界范围广泛应用的
值。
再看看中国数学符号系统的使用历程，康熙帝可以说是能正视自己缺点的伟大人物，他请人教他欧几里得几何和其他数学知识，并采用符号体系。
但总的来说，中国人是很舍不得自己的古董的，虽然这个古董有很多不完美的地方，数学符号体系的采用就是一个典型例子．中国人在很长的一段时间里都坚持“西学中源说”，这大大阻碍了中国学习西方数学的积极性，以至在理性思维方面，远远落在后面，就因为中国人不肯接受西洋文化，以致徐光启在翻译《几何原本》时还在用“甲、乙、丙、丁……”而不是引进“1、2、3……”．而正是中国繁杂的符号体系大大地阻碍了中国数学在世界范围的推广。
英国情况如何呢？
英国在世界上是以保守著称的，表现在对待数学的发展上也如此。
以他们对待牛顿与莱布尼兹的微积分成就为例，他们为了坚持捍卫牛顿是第一个发明微积分的人，这种过激的爱国行为致使他们不愿承认莱布尼兹创设的微积分符号体系的优良，而一直采用牛顿的复杂的符号体系，也因为如此，致使他们在牛顿后的200年里没有出现多少伟大的数学家。
从中、英两国的数学发展史来看，良好的批判与自我批判的氛围对一个民族的发展来说是多么重要，固步自封，无自我批判精神带来的后果是多么沉重！
（3）、走进罗马与中世纪
先来看看罗马人给人类带来的灾难，在恺撒的大火烧掉了埃及人的图书馆之后，阿拉伯基督教徒奥马等人又烧掉了缪斯艺术馆，其原因在于罗马人只看到了计算的好处，漠视几何等其他数学知识带给人的智慧与严谨；在于奥马等人的固执己见，无视科学的优点．
从此欧洲进入黑暗的中世纪，在此期间，由于宗教势力的猖獗，以至在公元400年到1400年这1000年左右的时期里不但没有出现多少杰出的数学家，而且使以前的很多优秀遗产失传，仅仅保留了一些能为神学服务的几何计数之类．
（4）伟大的笛卡尔与解析几何
笛卡尔创立解析几何是在他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．他的《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭，在这里表现出笛卡尔向传统和权威挑战的巨大勇气，他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短．”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，正是批判性思维的精神！
解析几何的诞生正是他批判地继承前人的成就的结果．
（5）从非欧几何的诞生中得到的启示
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯，但他生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。
这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。
后来罗巴切夫斯基公布他的新几何学定理时，的确遭到了高斯所预测的“波哀提亚人的叫嚣”。
罗巴切夫斯基为了坚持自己的理论，穷尽了一生的精力去研究、去宣传，坚持不懈，一心一意地完善和发展自己的新几何思想。
而高斯为罗巴切夫斯基写的推荐信中只字不提他对非欧几何的贡献，正可谓“伟大人物也疯狂”。
（6）、布尔巴基学派的启示
人类的每一次变革都是那些具有批判精神的人引发的，数学也不例外．历史记下了希泊索斯、牛顿、莱布尼兹、康托尔．从他们那里我们知道了批判精神对人类发展的重要性．最后，我们还可从布尔巴基学派那里得到批判性精神对一个人的发展是多么的重要！
布尔巴基学派的成员不定期更换，年龄限制在50岁以下，如果哪一位有前途的青年被注意到并被邀请参加布尔巴基的一次大会而且能经受住讨论会上“火球般”的攻击，积极参加讨论，就自然而然被吸收为新成员，但如果他只是保持沉默，下次决不会受到邀请．布尔巴基学派成员一般每年举行两三次集会，在会上确定由谁来写数学原本的哪些章节．一两年之后，将所完成的初稿提交大会，然后一页不漏地大声宣读，接受对每个证明的仔细审查，并且受到无情的批评．有时一个题目要几易作者，第一个人的原稿被否定，由第二个人重写，下次大会上第二个人的原稿也许会被撕得粉碎，再由第三个人重新开始．从确定题目到完成一卷书在书店发售，平均要花费8至12年的时间．布尔巴基学派历久不衰，至今已有三四代之久，却仍保持着旺盛的生命力，就是靠着这种严谨的作风和批判的精神力量维系着．
历史告诉我们：
是批判精神推动着历史前进的车轮！
只有具有批判精神的人，才能对自己的事情精益求精；只有具有批判精神的团队，才能一代一代传承下去；只有具有批判精神的民族，才能列于世界民族前列！
去年是伟大的人民数学家、民盟前辈华罗庚先生诞辰100周年。
不久前，在华老的家乡——江苏省金坛市，举办了“全国华罗庚金杯少年数学邀请赛”的总决赛和颁奖典礼。
决赛是在晚上7点半进行的，金坛体育馆里挤满了4000多名青少年儿童。
带着对探索神秘数学王国的憧憬，来自菲律宾、马来西亚、香港、澳门和内地的74支代表队、1000多名小选手参加了比赛，孩子们个个争先恐后，跃跃欲试，绷紧的小脸上流露出神圣、紧张和兴奋，赛场气氛热烈而肃穆。
比赛中有一个情节很直的人关注：
当主持人出了一道弯弯绕的数学题，北京星队的选手神速抢答“57”，但主持人遗憾地宣布“错”，正确答案应该是“30”。
就在大家等待主持人的下一个问题时，戏剧性的场面出现了:
北京星队的选手坚持自己的答案是正确的，星队的孩子们也一个劲地为他呐喊助威。
为保证比赛的正常进行，主持人要求孩子们顾全大局，服从评委的裁决，但据理力争的孩子，就是不肯放下高高举起的小手。
现场僵持不下，由数学界的专家组成的评委只好到台后重新演算，结果正确答案就是“57”。
敢于挑战权威的孩子们赢得了最后的胜利，全场观众对他们报以热烈的掌声。
孩子们的这种敢于挑战权威的精神其实就是一种批判精神，值得赞赏，也值得深思。
三、勾股定理的证明
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”下面列举几种勾股定理的证明方法
（1）、（赵爽弦图）
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；中间小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。
于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）^2=c^2
化简后便可得：
a^2+b^2=c^2
亦即：
c=（a^2+b^2）（1/2）
（2）、（欧几里德（Euclid）射影定理证法）
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：
1）（BD）^2;=AD·DC，
（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。
由公式
（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD）·AC=（AC）^2;，
图1
即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。
．
（3）、下图的证明方法，据说是L·达·芬奇（daVinci,1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如下图。
由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。
华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。
其证明的梗概是：
（AC）^2=2△SJAB=2S△CAD=
ADKL。
同理，（BC）^2=
KEBL
所以（AC）^2+（BC）^2=
ADKL+
KEBL=（BC）^2
（4）、有几位美国总统与数学有着微妙联系。
G·华盛顿曾经是一个著名的测量员。
T·杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。
A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。
更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield,1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。
在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。
证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。
如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。
用不同公式，求相同的面积。
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣
即a^2+2ab+b^2=2ab+c^2
a^2+b^2=c^2
（5）、（梅文鼎图）
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。
可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。
设五边形ACKDE的面积=S
一方面，S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积=c2+ab
（1）
另一方面，S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab.
（2）
由
（1），
（2）得
c2=a2+b2
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任何定理无法比拟的。
数学在批判精神中进步着，有着批判精神的先人们为我们提供了这么多种精彩的证明方法，我们也应该批判的继承下来并且发扬下去
四、哥尼斯堡七桥问题的发展与批判精神的作用
古城哥尼斯堡，景致迷人，碧波荡漾的普瑞格尔河横贯其境。
普瑞格尔河的两岸及河中的两个美丽的小岛，由七座桥连接组成了这座秀色怡人的城市（如图）。
古往今来，吸引了无数的游人驻足于此。
早在十八世纪，哥尼斯堡属于东普鲁士。
那时候，哥尼斯堡市民生活富足。
市民们喜欢四处散步，于是便产生这样的问题：
是否可以设计一种方案，使得人们从自己家里出发，经过每座桥恰好一次，最后回到家里。
这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
热衷于这个有趣的问题的人们试图解决它，但一段时间内竟然没有人能给出答案。
后来，问题传到了著名数学家欧拉那里，居然也激起了他的兴趣。
他从人们寻求路线屡遭失败的教训中敏锐地领悟到，也许这样的方案根本就不存在。
欧拉经过悉心的研究，1736年，年方29岁的欧拉终于解决了这个问题，并向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。
论文不仅仅是解决了这一难题，而且引发了一门新的数学分支——图论的诞生。
论文的核心就是著名的“一笔画原理”：
对满足下列两个要求的图就可以一笔画出：
i.首先是连通图；ii.其次奇点个数为0或2，当且仅当奇点个数为0时，始点和终点重合，形成的一笔画称为欧拉回路，而当奇点个数为2时，形成的一笔画称为欧拉迹。
我们知道，对于可一笔画出的图，首先必须是连通的；其次对于图中的某点，如果不是始点或终点，那么它必有进有出，即交汇于此点的弧线总是成双成对的，此点必定是偶点。
如图，七桥问题的图的奇点的个数为4，这表明它不是欧拉回路，也不是欧拉迹，因而，不论始点和终点是否重合都不可能找到一条经过七座桥且每座桥只走一次的路线！
随着时间的推移，图论不断发展，欧拉回路问题也有所拓广。
就这样到了二十世纪，又出现了一个新的问题。
一个邮递员，每次送信必须从邮局出发，走遍如图示的投递区域内的所有道路，最终回到邮局（图中路旁各数字分别表示对应路段的长度，单位：
华里）。
他习惯按路线KHGFEDCBAIABJDEKJIHK投递（图中★为邮局）。
聪明的读者朋友，你知道他的路线是最短的吗？
如果不是，请你帮助这位邮递员设计一条最短路线，并说明最短路线比他的路线少几华里？
1959年，我国山东大学管梅谷等一批科研人员把物资调运中的图上作业法与一笔画原理科学地结合起来，解决了这类邮递员投邮路线问题，因此它被数学界称为“中国邮递员问题”。
下面，我们一起来分析这个问题：
由于网络的奇点必定成双，又图中奇点有6个，根据一笔画原理，此图不存在欧拉回路，则必须通过添加弧线，使每个顶点均变成偶点，同时考虑添加的弧线长度总和最短才满足要求。
显然两奇点间可直接添弧一条；奇点与偶点间添弧一条且此偶点还须与另一奇点添弧一条；两偶点间不必添弧。
添弧时应注意：
（1）不能出现重迭添弧。
重迭添弧应成对抹去，这样并不改变每一点的奇偶性；
（2）每一个圈上的添弧总长不能超过圈长一半。
否则应将此圈上的原添弧抹去，而在此圈上原没有添弧的路线上加添弧，这样也不改变每一点的奇偶性。
注意了
（1）、
（2），既保证了不改变每点奇偶性，又保证了添弧总长最短。
现在我们看邮递员的投邮路线，如图1。
添弧后的新图形已是不含奇点的脉胳，根据一笔画原理，这个脉胳的全部弧线可构成一条欧拉回路。
对照
（1）、
（2）可知，图中添弧总长不是最短，必须调整。
显然在[ABJKHI]圈中，添弧总长超过了该圈长一半。
调整后，如图2。
此时，添弧不重迭并且每一个圈上的添弧总长都不超过本圈长的一半。
另外，每点奇偶性相对于图1没有改变，全是偶点。
全部弧线仍可构成一条欧拉回路，并且这条路线才是最短投邮路线。
因此，邮递员的投邮路线并非最短。
根据以上分析，最短投邮路线可设计为：
KHGFEDCBAIHIJBJDEKJK或KJKHGFEDCBAIHIJBJDEK等等。
此时，最短路线比邮递员路线少0.8华里。
中国邮递员问题的巧妙解决，也使它成为数学知识古为今用的典范。
通过对七桥问题的分析，我们可以知道批判精神对数学的发展起着极其重要的作用，数学的每一次进步都需要人们对从前的结论进行总结、反思及批判创新。
没有批判精神发挥的作用，就没有当今数学的高度发展。
五、马克思和他的《数学手稿》
《数学手稿》是马克思主义理论宝库中的重要文献，是用马克思主义统帅自然科学的光辉样板。
马克思在谈到他的学说的时候，曾经指出这个学说的全部价值在于“按其本质来说，它是批判的和革命的”。
（<<马克思恩格斯全集》第23卷第24页）这也正是体现在《数学手稿》中的基本精神。
学习《数学手稿》，就要学习马克思如何运用历史的和辩证的科学方法，揭露和批判数学中的唯心论和形而上学;又如何用唯物辩证法对旧的数学理论进行革命的改造的。
只有抓住这个基本精神，才能掌握《数学手稿》的实质。
在数学发展史上，微积分是由牛顿和莱布尼茨大体完成的，但是由于在形而上学思想的支配下，他们不能理解微积分的本质，反而把它神秘化了。
这种神秘性，突出地表现在他们进行微分演算过程中，为了得出正确的结果，却采用了数学上不正确的方法，即对某些项的“魔术般地丢掉”。
马克思指出，造成这种神秘化的根源是“通过形而上学的解释来假设”:
由于不能说明微分dx的来源，于是就先假定它存在。
以后，达兰贝尔曾经对牛顿和莱布尼茨的神秘算法作了修正，从而向前迈进了一步，但并没有从根本上放弃牛顿和莱布尼茨的出发点，因此在他的微分演算中也仍不免“引起了某些形而上学的恐怖”。
拉格朗日的纯粹代数的微分演算，也是直接从牛顿的出发点开始的。
微分学史证明，不彻底批判牛顿和莱布尼茨的出发点，不批判隐藏在这个出发点中的形而上学思想方法，就不可能揭示微分学的本质。
因此，马克思所着重批判的，不是这些数学家的个别错误，而是他们的共同的形而上学思想方法。
牛顿、莱布尼茨、达兰贝尔、拉格朗日的理论及其改头换面，都在马克思的批判之列。
马克思在《数学手稿》中指明:
这些数学家所共同遵循的微分演算的出发点意味着他们不能辩证地看待变数的变化，而把变数的变化形而上学地理解为数量的增减，即用两个数的和表示一个数的变化，把变数的改变量看作脱离变数本身的变化而独立存在的，因而不能从变数自身的变化中说明dx的来源。
马克思正是深刻地批判了这种形而上学的思想方法，才粉碎了认识微分的思想障碍，廓清了微分学的本质。
马克思主义的批判是彻底的，是与旧的形而上学与唯心论的传统观念彻底决裂的，但这并不意味着割断历史。
恰恰相反，马克思主义是从批判旧世界中发现新世界的，“破字当头，立也就在其中了。
”对历史上一切正确的东西，都加以批判地吸收。
《数学手稿》中对微分学历史发展的论述，体现了马克思主义的历史主义。
马克思是在“历史发展过程”中来考察微分学的。
他具体分析了人们认识微分过程中所经历的三个阶段，这就是以牛顿和莱布尼茨为代表的“神秘的微分演算”、以达兰贝尔为代表的“理性的微分演算”和以拉格朗日为代表的“纯粹代数的微分演算”。
马克思指出:
牛顿和莱布尼茨没有说明微分的起源，一开始就在微分学地盘上活动了，因此无法揭露微分学的秘密。
达兰贝尔方法和牛顿、莱布尼茨的方法具有直接的联系。
拉格朗日则相反地从代数函数出发，把一切函数都看成有待展开的代数表达式，使微分演算完全溶化在代数展开式的演算中，没有说明代数学和微分学的历史联系，因而他最终也无法治服“神秘的微分演算”，只能用自己“纯粹代数的微分演算”和它简单地对立起来。
马克思批判地吸取这三个阶段所取得的积极成果提出的微分方法，是这三种微分演算历史发展的必然结果。
通读《数学手稿》，可以使我们对马克思所提出的方法的革命意义有一个深刻的了解，使我们必然得出一个结论:
“除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维，在这里没有其他任何出路，没有达到思想清晰的任何可能。
”（<<自然辩证法》第29页）
历史的方法和辩证的方法是一致的。
马克思正是应用辩证法，通过分析批判各种微分学理论，并给予革命的改造，才使微分学恢复了它历史的本来面目。
六、发展批判性思维能力
批判性思维有程度的区分，没有人完全不具备批判性思维能力，也没有人完全拥有它而不需要改进。
如何发展我们的批判性思维能力？
美国著名的哲学家杜威特别强调，一位好的思考者必须能够同时把正确的态度和原则性知识结合起来，并将二
升级会员 