对分数的多维多元理解及教学建议.docx
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对分数的多维多元理解及教学建议
对分数的多维多元理解及教学建议
刘加霞
在小学阶段,儿童掌握分数的概念感觉并不太难,但奇怪的是,为什么常常有中学生还不理解分数:
1/2+1/3为什么不等于2/5呢?
为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数呢?
为什么分子、分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的数分数的大小不变?
事实上,真正理解分数绝不是那么简单,因为对分数应有多维、多元的理解。
一、作为“行为的分数”还是“定义的分数”
一对对的数,例如12、52等,或者短语“二分之一”“五分之二”等并不是分数,它只是代表分数概念的符号或者语言。
一般说来,学习分数不能直接从这些符号入手,而是从分数的产生入手。
即理解分数首先是从行为（平均分物体）入手,而不是从定义（形如b/a的数,a≠0）入手。
只有学生经历并体验了把一个整体平均分为几个部分,所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后,才可以给出分数的符号表示,并建立行为与符号之间的一一对应关系。
只有经历这样的过程,学生才能逐步地理解分数概念。
即学生理解分数是从行为开始的,这时,是从率的角度来理解分数。
从行为的角度看,除了从平均分认识分数外,测量也是认识分数的重要途径。
我们知道,自然数主要用于数个数,即数离散的量的个数,当测量连续的量（例如物体的长度）时,首先需要选定度量单位,数被测量物体中包含多少个度量单位。
一般情况下,我们不能数尽,为了得到更准确的值,我们把原来的度量单位分割为更小的度量单位（一般情况下是平均分为十等份,以其中的一份作为新的度量单位）,再以更小的度量单位来测量以得到更精确的结果。
这时,就可以用分数来表示测量的结果（用不同的单位表示）,只不过此时得到的分数不是一般的分数,而是特殊的十进分数,即小数。
这是从度量的角度理解分数。
度量产生的不是一般的分数,一般的分数产生于解方程或除法运算的结果。
二、借助于多种直观模型理解分数的含义
在小学阶段主要学习“行为的分数”。
教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型,建立分数的概念。
例如把一个月饼平均分为两份,其中的一份是1/2,把一张纸平均分为四份,其中的一份是1/4。
这仅仅是从面积模型的角度来理解分数,学生理解分数可以借助于多种模型。
1.分数的面积模型:
用面积的“部分——整体”表示分数。
儿童最早接触分数概念及其术语可能与空间有关,而且更多是三维的,而不是二维的,例如半杯牛奶、半个苹果……
儿童最早是通过“部分——整体”来认识分数。
因此在教材中分数概念的引入是通过平均分某个正方形或者圆,取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数的,这些直观模型即为分数的面积模型。
对于平均分,儿童有丰富的经验。
皮亚杰等的实验发现:
一些学生能成功地把纸张或扁平泥块通过对折进行剪切或切割。
例如:
4￣4.5岁的儿童能把小的规则图形分成两半;6￣7岁的儿童能把小的规则图形进行三等分;7￣9岁的儿童能把小的规则图形通过试错进行六等分;10岁的儿童能把小的规则图形较精确地进行六等分,如先对半分,再三等分。
儿童这些丰富的经验为他们认识分数的面积模型,或者从“部分——整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。
对于分数的面积模型,在学习过程中学生经常会遇到一些困难,例如:
（1）能否认识到图形面积相等的必要性,即“整体1”是否一样大。
（2）是否习惯于由图形语言到符号语言表达的转换。
学生初步学习分数时对,分数的特有表示方法不能立即掌握,需要有熟悉、习惯的过程。
（3）理解大于“整体1”的分数。
（4）从表示多于一个“整体”的图形中确定谁作为“整体”。
例如,对于下面图形,学生的回答往往是6/8,而不是6/4。
这时用面积模型认识分数就带来了困难,分数被理解为表示“单位面积”（关键是哪部分是“单位面积”）的子面积,被理解为整体的一部分,这就为儿童理解假分数带来了困难。
2.分数的集合模型:
用集合的“子集——全集”来表示分数。
这也是“部分——整体”的一种形式,与分数的面积模型联系密切,甚至几乎没有区别,但学生在理解上难度更大。
关键是“整体1”不再真正是“一个整体”了,而是把几个物体看做“一个整体”,作为一个“单位”,所取的一份也不是一个,可能是几个作为一份。
例如,在下图中,深色长条占全部长条的3/5。
分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力,其核心是把多个物体看做“整体1”。
分数的集合模型的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。
这时,我们把分数看做是算子,即把分数看做是一个映射。
例如,下面深色长条与无色长条之比为3∶2,或者写为3/2。
有研究者认为:
学生对离散量的集合的“部分——整体”的理解,不如对“面积模型”的理解,但随着学生年龄的增长,认知水平的提高,这种差别并不明显。
分数的集合模型的缺点仍然是容易对假分数产生误解,这与面积模型的问题完全一样:
谁作为“整体1”,这既是认识分数的一个核心,同时也是一个难点。
J.Martin总结出“整体1”可以分为以下六种情况（以1/5为例）:
（1）1个物体,例如1个圆形,平均分为5份,取其中的1份。
（2）5个物体,例如5块糖,其中的1块占5块的15。
（3）5个以上但是5的倍数,例如15块糖,平均分为5份,取其中的1份。
（4）比1个多但比5个少,例如2块巧克力作为“整体”。
（5）比5个多但不能被5整除,例如7根香蕉作为“整体”。
（6）一个单独物体的一部分的1/5,例如1米的3/4的1/5。
上述六种情况不可能让学生同时学习,但学生逐步地经历这些“情境”对学习分数是非常必要的,尤其是
（1）
（2）（3）这三种情境。
（4）（5）两种情境对于学生进一步理解分数与除法的关系非常必要,情境（6）对于学生理解分数乘分数则是很好的模型。
3.分数的数线模型:
数线上的点表示分数。
分数的数线模型就是用数线上的点表示分数。
它把分数化归为抽象的数,而不是具体的事物,对这个模型的理解需要学生有更高水平的抽象能力,甚至有的初中学生对用分数表示点仍然感到困难。
分数的数线模型与分数的面积模型有着密切的联系:
一个分数可以表示单位面积的一部分,也可表示“单位长度的一部分。
前者是二维的,后者是线性的,是一维的。
作为数线模型的数轴的前身,是数轴的局部放大和特殊化,是用点来刻画分数。
4.分数与除法、比的关系。
对分数的另一种理解是把分数与除法联系起来:
3/7被解释为7个人平均分3个东西。
分数是除法运算的结果,但事实上,小学生对此并不理解,其典型表现就是在解决实际问题或者解方程时,当结果为分数时,有很多学生认为“还没有计算完”,一直要把分数再化为小数为止。
分数与除法的互相转化有重要的应用:
把分数化为小数或百分数。
当刻画两个量的数量关系时,我们经常用比,例如,下图中A与B的点数之比是3∶5,也可以记作3/5,其比值则是3除以5的结果即为3/5,小学生更习惯于写作0.6。
从上述分析中可以看出,我们对分数的理解可以从多个角度,借助于多个直观模型,其抽象水平越来越高,因此在分数的教学设计时要注意:
（1）提供多样的模型:
提供多种不同的实物模型,在分割中使儿童逐步体验分数的解释的多样性与表示法的多样性。
（2）把握抽象水平:
精心设计,精心控制,逐步提升儿童对分数的理解水平。
分数的每一种解释都与某一特殊的认知结构有关,如果忽略了其中某一必要的认知结构,可能导致儿童缺乏关于分数某些方面的理解,有的儿童可能对于日常生活中分数的某些应用有很好的理解,但换一种情境就感到困难。
例如,他们能把3米长的木条等分成5段,并取其中3段,每段为60厘米。
但他们却不理解:
3÷5=0.6。
（3）学生对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展。
学生对分数的不同理解存在显著的个体差异,有些学生很早就能在抽象水平理解分数,而另一些则需要等待很长的时间。
为此,一开始就要利用不同的实物模型,从平均分中,帮助学生体验分数含义的多重性和复杂性。
三、作为“定义的分数”
小学阶段所理解的主要是“行为的分数”,即借助于大量的操作活动,例如分一分、画一画等活动来理解分数的意义。
作为“定义的分数”学生是否能够理解呢?
在教学中如何运用?
作为“定义的分数”就是将分数定义为“形如b/a（a≠0）的数,就叫分数”,不考虑其现实意义,只是从形式上给出描述,即分数是由一对数对决定的,有一个数对就有唯一一个分数和它对应。
在小学的高年级,在学生掌握了分数的现实意义后,定义的分数学生也可以解。
下面举一例子:
构造分数表。
由于把分数看做一对数对,由此我们可以在直角坐标系内将所有的分数一一排列出来:
以横轴上的自然数做分母,纵轴上的自然数做分子,就可以将所有的分数一一排列,形成分数表。
而这张分数表具有很多优美的特点:
任何一个分数都能在这张表中找到。
从左下方到右上方的主对角线上的数都是“1”。
这条对角线下方的都是真分数,上方的都是假分数,并且有一一对应关系,例如3/2与3/2,其位置也是对称地分布在这条主对角线的两侧。
……
当学生跳出分数的现实意义（即跳出“行为的分数”）,而从形式上来领略分数,不正好能进一步感受数学的神奇魅力吗?
数学不也走了两条不同的发展道路（水平数学化与垂直数学化）吗?
从两条道路上来理解数学、欣赏数学应该是数学教学的本真追求!
话说分数（上）
德国数学家克罗内克有一句名言:
“上帝创造了自然数,其余都是人造的。
”人类从蛮荒时代开始结绳记数。
随着分配猎获物的需要,数的加减乘除也很“自然”地开始使用,于是有了自然数。
后来因减法的需要出现了负数,因除法的封闭性引入分数,更因开方的通行无阻出现实数和复数,这些就都不是“自然”的了。
第一个“人为”的数是正分数。
从逻辑上看,应该是先有负整数,再有分数,但是历史顺序却正好相反。
负数最早出现于中国的《九章算术》（约公元前1世纪成书）,而有历史记录的分数则出现在古埃及的纸草书上,距今约4000年。
《九章算术》也叙述了完整的分数知识。
中文数学名词“三分之一”“几分之几”,确实既精确又达意,比起英文的“one–third（一和第三）”来,要容易理解得多。
东亚许多使用汉字的国家和地区,学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好,据说与此有关。
时至今日,分数知识是普通百姓数学素养的组成部分之一。
全世界的学生,无一例外地要学习分数。
欧美各国的数学课程,分数大多放在中学（六至七年级）,我国的分数则要早些,20世纪60年代,分数内容安排在五年级,现在则在三年级或四年级就开始学习了。
1.分数是我们认识自然数以后的“新朋友”。
各国的分数教学,多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的。
如,将一个圆形大饼平均切成四块,每块是整个大饼的1/4,读作四分之一。
一般地,将一个单位平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数称为分数。
这种用“份数”来定义的分数,易懂好学。
不过,把它作为教学的切入点可以,但其内涵却很局限,尤其不可形成思维定势。
分数的真正来源在于自然数除法的推广。
一个大饼,由四个人平均分,得到有确定大小的一块大饼。
对于这个客观存在的量,依除法的意义,应该是1÷4所得的商。
可是,这种除数大于被除数的除法,以前不能除,因而也没有“商”。
于是,“创新”的机会来了。
我们把已经认识的自然数当做老朋友,把1÷4的商看做新朋友,它的名字叫做四分之一。
认识了这样的“新朋友”,任何两个自然数之间的除法就可以进行了。
于是有这样的定义:
分数是两个自然数a和b（b≠0）相除的商。
a÷b的商是新数a/b,读作b分之a。
当b=1时,分数就是自然数。
总之,由“份数”定义到“商”的定义,是数系的扩充。
这是一次跨越、一次升华,每个学生都必须面对。
现在的教科书,对于数的扩充只字不提,连“分数是新朋友”这样的话也不说,应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。
2.分数是一个特殊的“大家庭”。
分数运算之难,在于通分。
小学生不知道为什么要扩分、通分、约分。
明明是同一个分数,老是化来化去,像变戏法似的,难以捉摸。
（注:
扩分是指将1/2写成4/2、8/4……这一说法在香港通行,大陆不大使用。
其实,它和约分运算一样,彼此对立统一,有其独立使用的价值）
其实,这里用到一个很深刻的思想:
等价类。
一个分数,和它的所有扩分和约分相等:
这些数构成一个由无限多个分数组成的等价类,其中的每两个分数彼此相等,但是形式却不同。
这是以前学习自然数时从未碰到过的数学现象。
依照通常的思考,既然相等,选一个代表就行了,要那么多等价的分数做什么?
确实,作为分数的等价类,一个特殊的代表是有的,就是最简分数。
但是,最简分数作为代表有时候并不方便,需要在等价类中找出适当的分数表示才能参与运算。
例如1/2+1/3,两个分数都是最简分数,却不能直接相加。
还得找出以两个分母的最小公倍数为分母的那些特殊表示,写成3/6+2/6,才能相加。
这就是说,分数等价类中的每一个表示,各有各的用处,都有其特定的价值。
分数的这个特点,既有学习难度,又有思想高度,是一个重要的数学思想方法。
这样一来,我们可以这样比喻:
每一个分数都是一个大家庭。
一个家庭有许多人格上平等的成员,可以有一个户主（最简分数）。
但是,每个家庭成员各有各的作用:
爸爸耕田,妈妈织布,爷爷养花,奶奶管家,小明读书……在通分的时候,最简分数和每一个扩分,都会派上用场。
用这样的比喻来认识作为等价类的“分数”,是否比较直白易懂呢?
还可以有另外的比喻。
一个人可以有不同的装束:
校服、运动服、唐装、西装、夹克衫、牛仔服等。
尽管装束多种多样,却都是同一个人。
两个分数通分,相当于两个人都穿一样的服装。
在教室里上课,大家都穿校服;在运动会比赛时,大家都穿运动服;文艺演出时,大家又要换成演出服……
扩分、约分、通分的学术形态是所谓的“分数基本性质”。
这个基本性质是分数知识的学术形态,较难把握。
上述的比喻尽管不完全准确,有点蹩脚,却可以让人觉得数学的原始思想也很平常,呈现出一种使人容易理解的教育形态。
3.正分数密密麻麻地分布在数射线上。
“切大饼”是分数的直观表示,但并非最好的表示。
“切大饼”是学习分数过程的一根“拐棍”,能够独立行走了,应该及时丢掉,否则会影响进一步的学习。
让我们先看一个教学调查。
问题是:
“从右边的图形中,你看到了什么分数?
”全班学生异口同声地说:
“1/4!
”“还有别的分数吗?
”大家都摇摇头.
把这一图形看成1/4唯一的几何解释,是一种不当的思维定势。
实际上,除了以整个圆作为单位之外,还可以看到一块黑、三块白,即以三块白为单位,看到1/3。
甚至还可以看到1/2和1/1。
我们不是强调分数的单位吗?
为什么单位不能多样化地选择呢?
一个重要的几何表示是线段模型（教学上可以用折纸条的方式得到折痕）.
这是一个半抽象的模型。
首先,它的单位是抽象的“1”。
虽与圆形、三角形相比有点抽象,但是仍然是几何直观,可以帮助学生感知分数的含义。
其次,这是数轴的雏形,早在学习自然数的时候,就用过这样的表示方法。
再次,通过操作可以看到分数是“填”在自然数之间的“新”数,位置在两个相邻的自然数之间,并和分数大小、扩分、约分、通分以及运算都可以呼应。
线段模型是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”,可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。
我国的分数教学,擅长分数的计算,不太注意在数轴上直观地加以表示。
其实,这是数学素养的重要组成部分。
应该让小学生知道,正的真分数是密密麻麻地分布在（0,1）区间上的。
至少,在（0,1）区间内画出所有的以10为分母的真分数,加强分数和数直线之间的联系,乃是改进分数教学的一个方面。
4.分数学习让学生面对“无限”的大门。
由于循环小数的出现,分数和小数的关系成了小学生学习的又一障碍。
小数的基础是十进制,即采取10等分而获得的分数。
从理论上说,应该是分数更为基础。
但是,小数更容易学,生活中学生对小数的经验远比分数要多,货币中的元、角、分,长度度量中的米、分米、厘米,实际使用的都是小数。
因此,就生活经验来说,小数似乎更基本,应该先学。
这就产生一个问题:
只学特殊的10等分的分数——有限小数,不学或少学一般的分数行不行?
回答是“不行”。
因为有限小数只能表示一部分分数,大量分数的小数表示却是循环小数。
特别是,无限小数不能直接进行加减乘除运算。
所以分数的加减乘除化成无限小数的加减乘除是不行的。
至于通过有限小数的运算和极限理论来教学,那不是小学数学的内容。
无限,只是人们的一种想象,只有数学,才真正面对无限。
可以说,分数学习已经抵达了“无限”的大门。
小学阶段,只能在大门之外望一望,还没有办法走进去。
如果问:
0.99999……=1吗?
我们只能说无限接近,但永远达不到。
不过,分数的小数表示,可以用来整体地比较大小。
众所周知,任取两个分数,要比较他们的大小,只要通分之后,比较它们分子的大小即可。
这是局部的关于两个数的比较。
另一方面,从整体上考察,全体正分数是可以像自然数那样从小到大排列起来的。
如果一律化成有限或无限小数,然后按照整数位和小数位的位数,就可以依字典式的顺序区分大小。
把它们一一标在数射线上,可以直观地想象为:
所有真分数由小到大密密麻麻地排列在（0,1）上,左边为小,右边为大,没有最小的真分数,也没有最大的真分数,两个正分数之间没有空当。
这是分数的半直观几何模型,数轴的雏形。
分数究竟该如何定义？
张奠宙
用份数的定义来引入分数是非常自然的。
但这样说还没有体现引进分数的本质：
分数是一个不同于自然数的新数。
份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。
1份，3份，是分数还是自然数？
因此必须尽快过渡到分数的“商”定义：
即分数是正整数a除以正整数b的商，记为a/b。
……当除得尽时（整除），答案仍是“老朋友”——自然数。
关键在于除不尽的情况，这时得到的就是我们要结识的新朋友——分数。
这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。
比如1/4，……1除以4的商是多大呢？
它一定比1小，却又比0大。
我们可以在数射线（即数轴）上标出它的位置：
它在0和1之间，……这样一画，分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。
原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻地填在射线上。
商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。
目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。
分数的第三个定义是比的定义：
……比和除，本来是一个问题的两个方面，……用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。
（随后举例：
对一个被分割为四等份且其中一份涂成黑色的圆，宽广的视野可以看出1/4、3/4、1/2、4/1、1/3、3/1等分数）……我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。
“分数的商定义”最大的必要性是：
使数从自然数集扩大到非负有理数集。
所以分数最重要的本质是“它是一个数”即“是一个数值”，它比自然数更能准确地刻画事物的“量”特性，实现数学“量化思想方法”的意义。
正因为此，历史上人们才努力制定了分数的运算定义与运算规则，并使其内涵自然数的运算定义与运算规则。
“分数的比定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学“结构化思想方法”的意义。
如果只停留在“分数的份数定义”，不但局限了分数的价值，而且会给学生解决分数问题造成阻碍。
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