同构式下的函数体系张海4.docx
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同构式下的函数体系张海4
专题6同构式下的函数体系
秒杀秘籍:
第一讲同构式的三问三答
又到了最后一个章节,自从2018年跟大家交流同构式开始,全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”,同构式并不神秘,和很多之前的专题一样,我们需要细化它,透彻理解它,所以我们需要一个同构式的“说明书”.——广东张羊利.
同构式源于指对跨阶的问题,ex+x与x+lnx属于跨阶函数,而ex+lnx属于跳阶函数,所以指对跳阶的函数问题,在中学阶段没有解决它的巧妙方法,只能构造隐零点代换来简化,但通过指对跨阶函数进
⎧xex
⎪
行同构,即h(x)=⎨x+ex
⎧xlnx
⎨
⎩
⇒h(lnx)=⎪x+lnx
我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶
⎪x
⎪⎩e
-x-1
⎪x-lnx-1
函数的同构,变成了两阶问题,类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列,所以,通过构造跨阶函数的同构式,大大简化了分析和计算.
同构式是属于跨阶的复合函数,所以复合函数能解决的一切问题,同构式均能解决.在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中,利用复合函数单调性,复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题.
同构式需要一个构造一个母函数,即外函数,用h(x)表示,这个母函数需要满足:
①指对跨阶;②单
⎧xex
⎪
调性和最值易求;通常,h(x)=⎨x+ex
,基本上搞定这三个母函数,就看内函数,即子函数的构造了.
⎪x
⎪⎩e
-x-1
下面,我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析.
秒杀秘籍:
考点1利用同构式单调性秒杀
l
,
e
e
=1,故答案为[1,+∞).
max
知h(x)在区间(0,+∞)为增函数,即λx≥lnx恒成立,λ≥(lnx)
x
故不等式两边同乘以x,构成λxeλx≥xlnx,乘法的式子构造h(x)=xex,故不等式满足h(λx)≥h(lnx),易
λ
【解析】eλx-lnx≥0⇒λeλx≥lnx,由于指数和对数的“跳阶”问题,故需要构造连续的“跨阶”函数来化简
范围是.
⎧xex
⎪
注意:
h(x)=⎨x+ex
在区间(0,+∞)为增函数,当构造h(p(x))≥h(q(x))恒成立的时候,只需要p(x)≥q(x)
⎪x
⎪⎩e
-x-1
恒成立即可.由于h(x)=xex在(-1,+
,这个在秒1中已经详细介绍,这里不再详述.p(x)=lnx在区间
)
x
(0,e),在(e,+
),易知p(x)
max
=p(e)=1.
e
2
【例2】设k>0,若存在正实数x,使得不等式logx-k2kx≥0成立,则k的最大值为()
A.1loge
B.1ln2
C.elog
eD.1ln2
2
e
k≤1loge,故选A.
,即
≥k
1
eln2
ex
x
在正实数x,使得lnx≥kx⋅ln2,即lnx≥k⋅ln2,易知1≥lnx,故
两边需要乘以x即可,即xlnx≥kx⋅ln2⋅ekx⋅ln2⇒h(lnx)≥h(kx⋅ln2),由于h(x)=xex为单增函数,故只需存
ln2
2
kx⋅ln2
ln2kx
lnx
kx
x
连续的“跨阶”函数,故构造h(x)=xe,此题中,logx≥k⋅2⇒≥k⋅(e)⇒lnx≥kln2⋅e,显然
【解析】关于指对“跳阶”中出现的原函数和反函数问题,一定可以使用同构式构造,由于同构式必须要构造
e2e22
注意:
我们会介绍几个重要的“亲戚函数”,xex、xlnx、
x、lnx利用它们之间的同构式原理来快速求出
最值.
exx
上恒成立,则实数m的取值范围是.
+∞)
【解析】法一:
f(x)=m⋅ln(x+1)-3x-3>mx-3ex⇒m⋅ln(x+1)-3(x+1)>mx-3ex,令h(x)=mx-3ex即
h(ln(x+1))>h(x)恒成立,由于x≥ln(x+1),故函数h(x)↓对x∈(0,+∞)上恒成立,即h'(x)=m-3ex≤0,
解得m≤3ex
min
=3,故答案为m≤3.
法二:
f(x)=m⋅ln(x+1)-3x-3>mx-3ex⇒3ex-3(x+1)>mx-m⋅ln(x+1),构造函数h(x)=ex-x-1,则3h(x)>mh(ln(x+1)),这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”,由于x≥ln(x+1)恒成立,取等条件为
x=0,不在定义域内,故x>ln(x+1)恒成立,所以当m≤3时,3h(x)>mh(ln(x+1))恒成立,故答案为m≤3.
A.-1
2e
B.-2e
C.-1
e
D.-e
max
,即a³-e,故选D.
x
lnx
xa
立,此时a³-
1
ln对x>1恒成
x
1
xa
xaxa
ln1
ln=exaln
-alnx11
xa
【解析】由题意得:
xa+1exalnx0xex
秒杀秘籍:
考点2同构式问题构造恒等式:
x+ex≥ex+lnex
构造函数h(x)=x+ex,易知h(x)在区间(0,+∞)↑,根据p(x)=ex-x-1≥0恒成立,则p(lnx)=x-lnx-1≥0恒成立,当仅当lnx=0,即x=1时等号成立.由此能得到恒等式:
x≥lnx+1=lnex,所以再利用同构式h(x)≥h(lnex),即x+ex≥ex+lnex恒成立,当仅当x=1时等号成立.
【解析】此题构造乘法的同构显然不可能,因为不等式两边同时乘以x,kx将变成平方,无处遁形,并且出现ex和lnx,常数项为1,构造函数h(x)=x+ex,根据题意,ex≥kx+lnex⇒ex+x≥kx+lnex+x,在此基础上进行同构式转换,即kx+lnex+x=kx+x-ex+lnex+ex=h(lnex)+(k+1-e)x,原不等式可以转化为同构式h(x)≥h(lnex)+(k+1-e)x,由于h(x)≥h(lnex)恒成立,且当仅当x=1时等号成立.故k+1-e£0,即
k£e-1.
.
注意:
若h(p(x))≥h(q(x))恒成立,且h(p(x))≥h(q(x))+ϕ(x),则一定要满足ϕ(x)≤0,此方法属于同构式
的单调性和同构式的“保值性”综合题,有一定难度,原理其实很简单,同构式一旦搞定,剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多,从选填题压轴到解答题压轴,无处不在,常规方法我们不在这里讲述了,大家可以去看一下常规的解答方案.
A.(0,e]
B.(0,e2)
C.[1,e2]
D.(1,e2)
【解析】由题意可知:
ex>aln(ax-a)-a=alna+aln(x-1)-a,由于ex和ln(x-1)明显存在“差一”的错
位,无法构造出乘法同构式,思考加法的同构,由于不等式的右边可以提出公因式a,故将其除去,得到式子
ex
a
>lna+lnx-1-1Þe
()
xlna
-
>lna+ln(x-1)-1,式子右边没有参数a,但左边存在,根据同构式的形式相
似原理,我们需要将lna移至不等式左边,即ex-lna-lna>ln(x-1)-1,显然不等式的两边都加上x即可同
构成功,ex-lna+x-lna>eln(x-1)+ln(x-1),构造函数h(x)=x+ex,h(x-lna)>h(ln(x-1)),易知h(x)在区
间(0,+∞)↑,只需x-lna>ln(x-1)Þx-ln(x-1)>lna,两边取指数得:
x-1>a,这里求最值也可以利
ex
用同构式来解决,令g(x)=,易知g(x)≥e,=⋅e=eg(x-1)≥e>a,\aex
exex-1
2
2
x
x-1x-1
注意:
指数和对数的变量中出现ex和lnx+1,或者ex-1和lnx,或者ex和ln(x+1),这些有着明显的指对不等式恒成立的式子,通常是加法同构式h(x)=x+ex的常客,在内函数的解不等式中,经常需要几个“亲戚函数”来帮忙,所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.
秒杀秘籍:
考点3利用同构式的保值性秒杀
同构式保值性:
若h(x),h(p(x)),h(q(x))中,x∈D,p(x)∈D,q(x)∈D,故h(x),h(p(x)),h(q(x))的最值相等.概括起来就是构造了同构式,可以根据外函数的性质直接求出函数的最值.
同构式倍值性:
在h(x)和g(x)=m⋅h(p(x))满足x∈D,p(x)∈D,则g(x)=m⋅h(p(x))的最值是h(x)的m倍
我们将这个性质概括为同构式的倍值性.
下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论.关于f(x)=x⋅ex的亲戚函数
一、通过平移和拉伸得到的同构函数
如图1:
根据求导后可知:
f(x)=x⋅ex在区间(-∞,-1)↓,在区间(-1,+∞)↑,f(x)min
=f(-1)=-1.
e
图1图2图3图4
如图2:
(x-1)⋅ex=e⋅(x-1)⋅ex-1=ef(x-1),即将f(x)向右平移1个单位,再将纵坐标扩大为原来的e倍,故可得y=(x-1)⋅ex在区间(-∞,0)↓,在区间(0,+∞)↑,当x=0时,ymin=-1.
如图3:
(x-2)⋅ex=e2⋅(x-2)⋅ex-2=e2f(x-2),即将f(x)向右平移2个单位,再将纵坐标扩大为原来的e2
倍,故可得y=(x-2)⋅ex在区间(-∞,1)↓,在区间(1,+∞)↑,当x=1时,ymin=-e.
如图4:
(x+1)⋅ex=e-1⋅(x+1)⋅ex+1=e-1f(x+1),即将f(x)向左平移1个单位,再将纵坐标缩小为原来的1
e
倍,故可得y=(x+1)⋅ex在区间(-∞,-2)↓,在区间(-2,+∞)↑,当x=-2时,y
二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数
min
=-1.
e2
如图5:
y=x
ex
=x⋅e-x=-f(-x),即将f(x)关于原点对称后得到y=x
ex
,故可得y=x
ex
在区间(-∞,1)↑,
在区间(1,+∞)↓,当x=1时,y
max
=1.
e
图5图6图7图8
如图6:
y=x-1=1(x-1)⋅e-(x-1)=-1f(-(x-1)),即将f(x)关于原点对称后,向右移一个单位,再将纵坐
exee
标缩小1倍,得到y=x-1,故可得y=x-1在区间(-∞,2)↑,在区间(2,+∞)↓,当x=2时,y=1.
eexex
ex111
maxe2
ex
如图7:
y=
x=--x⋅e-x=-f(-x)(x>0),属于分式函数,将f(x)关于原点对称后得到,故可得y=x在
区间(0,1)↓,在区间(1,+∞)↑,当x=1时,ymin=e.
ex
如图8:
y==-
x+1
11=-11
e(-x-1)⋅e-x-1ef(-(x+1))
(x>0),属于分式函数,将
1
f(x)
关于原点对称后,左
移一个单位,再将纵坐标缩小
1倍,故可得y=
e
ex
x+1
在区间(-1,0)↓,在区间(0,+∞)↑,当x=0时,ymin=1.
三、通过取反函数构成的同构函数
图9图10图11图12
如图9:
xlnx=elnx⋅lnx=f(lnx),当lnx∈(-∞,-1),即x∈⎛0,1⎫↓,当lnx∈(-1,+∞),即x∈⎛1,+∞⎫↑,
ymin
=-1.
e
ç⎪
⎝e⎭
ç⎪
⎝e⎭
如图10:
lnx=-lnx-1⋅x-1=-f(-lnx),实现了凹凸反转,原来最小值反转后变成了最大值,当
x
-lnx∈(-∞,-1),即x∈(e,+∞)↓,当-lnx∈(-1,+∞),即x∈(0,e)↑,y
max
=1.
e
如图11lnx+1=elnex=-ef(-lnex),当-lnex∈(-∞,-1),即x∈(1,+∞)↓,当-lnex∈(-1,+∞),即x∈(0,1)↑,
:
xex
ymax=1.
lnx=1lnx2=-1(-2)
-2∈(-∞-)
∈(+∞)↓
-2∈(-
+∞)
如图12:
x2
2x2
flnx
2
,当lnx
1,即xe,
,当lnx
1,,即
x∈(0,
e)↑,y
max
=1.
2e
注意:
y=lnx可以成为模型函数,也可以作为模板来进行同构,本专题之所以这样设计是让读者思考这一
x
系列函数的同构原理,达到举一反三的目的.例题中我们会以y=lnx为模板进行求最值讨论.
x
数a的取值范围是()
1212
A.ae
2
B.a>e
C.ae
D.a>e
2
【解析】由题意得:
f'(x)=ex-2ax=0有两个实根,即y=2a=g(x)=e有两个交点,如图7所示,y=e
x
x
x
x
在区间(0,1)↓,在区间(1,+∞)↑,当x=1时,y=e;∴2a∈(e,+∞),a>e,故选D.
min
2
122121
则实数a的取值范围是()
]
A.(-∞e
B.(-∞,-e]
C.[0,e]D.[-e,0]
【解析】由题意可知函数f(x)是(-∞,0)上的单调递减函数,且f(x)为偶函数,则f(x)在区间(0,+∞)单调
递增,当x>0时,f(x)=e-ax,f(x)=e-2ax≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即2a≤()min=e,∴a≤,
x2
'
x
ex
e
x
2
故选A.
2222
xx
A.(-∞,1)
B.(0,1)C.(0,e)
D.(1,+∞)
【解析】f(x)=1+lnx=e⋅lnex,由于函数lnx在区间(0,e)↑,(e,+∞)↓,则f(x)=e⋅lnex,当ex∈(0,e),
x
ex
x
ex
即x∈(0,1)时,f(x)↑,故选B.
A.
1
(0,)
2
B.(-∞,0)
C.(0,1)D.(0,+∞)
【解析】f'(x)=lnx+1-2mx=0有两个根,则2m=elnex,由于函数lnx在区间(0,e)↑,(e,+∞)↓,最大
exx
值为1
,参考图10,故2m=e
lnex
⇒
2m
=
lnex
有两根时满足0<
2m
<
1
,即01,故选A.
e
ex
e
ex
e
e
2
lnx1
x
4e
4e
范围为()
4e
A.[1
,1)2e
B.(1
,1)2e
C.[1
e2
,1]
D.[1
e2
,1]
e
【解析】f(x)=lnx-kx=0⇒k=lnx=1lnx,当x∈[e,e]时,x∈[e,e],由于函数在区间(0,e)↑,
2
1
4
2
1
2
2
lnx
x
x2
2
x2
x
(e,+∞
)↓,则当x∈[e,e]时,
2
1
2
lnx2∈1
1
lnx221
1
2
x
2
[,],当x∈[e,e]时,
2
2
2e
e
x
2
∈[2,],由于>,故当
e
e
2e
e2
秒杀秘籍:
第二讲同构式保值性定理
x
2e
4e
∈[,)时,f(x)=-kx有两个不同零点,故选A.
x2
2
lnx
11
1lnx2
k=
保值性定理1:
若h(p(x))≥h(q(x))恒成立,且满足h(p(x))≥h(q(x))+ϕ(x),则一定要满足ϕ(x)≤0;
保值性定理2:
若h(p(x))≥h(q(x))恒成立,且满足h(p(x))≥m⋅h(q(x))(h(x)≥0),则一定要满足m≤1;若要满足h(p(x))=mh(q(x))有实根,则一定要满足m≥1;
保值性定理3:
若h(p(x))≥0,h(q(x))≥0,且满足当x=m时,h(p(x))=h(q(x))=0,则一定满足不等式
h(p(x))+h(q(x))≥0;若h(p(x))=0时和h(q(x))=0时的x取的值不相等,则h(p(x))+h(q(x))>0
A.(-∞,-e)
B.(-∞,-2e)
C.(e,+∞)
D.(2e,+∞)
【解析】由f'(x)=ex+alnx+a=0,得ex=-alnex⇒xex=-a⋅exlnex.构造h(x)=xex,则
e
由于h(x)在(0,+∞)↑,且x≥lnex,故h(x)≥h(lnex)恒成立,若h(x)=-ah(lnex)有两不等实根,则一定需
e
要-a>1,解得a<-e,故选:
A.
e
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:
当a≥1时,f(x)≥0.
造函数h(x)=xex,易知h(x)在区间(0,+∞)为增函数,故不等式满足h(x)≥h(lnex),即f(x)≥0恒成立.注意:
此题也可以采用反证法,当f(x)≥0,只需aex≥lnex,只需ae⋅xex≥exlnex恒,只需ae⋅h(x)≥h(lnex)
恒成立,故只需ae≥1,即a≥1.
e
=g
(1)=0,故x≥lnex恒成立,构
min
x
xex≥exlnex恒成立,由于g(x)=x-lnex中,g'(x)=1-1,易知g(x)
e
e
e
e
(2)当a≥1时,aex-lnx-1≥1⋅ex-lnex,故只需证1ex≥lnex,故只需证1⋅exex≥exlnex,即证明
【解析】
(1)略;
e
y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:
f(x)>1.
lnx+
bex-1x
,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为
【解析】
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aexlnx+aex-bex-1+bex-1,由题意可得f
(1)=2,
x
x2
x
f'
(1)=e,故a=1,b=2;
(2)由
(1)知,f(x)=exlnx+2ex-1,要证f(x)>1,,只需xlnx>xe-x-2⇒xlnx+(-x)e-x>-2,
x
e
e
构造函数h(x)=xex,显然h(x)³-
1
e
,当仅当x=-1时等号成立,xlnx+(-x)e-x=h(lnx)+h(-x),根据同
构式的保值性可得h(lnx)≥-1,当lnx=-1⇒x=1时等号成立,同理h(-x)≥-1,当