人教版九年级数学上册一元二次方程知识点及例题整理.docx

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人教版九年级数学上册一元二次方程知识点及例题整理

21.1一元二次方程

知识点一：

一元二次方程的定义

1.等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.注意以下几点：

1只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

例1：

下列方程中是关于x的一元二次方程的是（  ）

A.x2+

=3;B.x2−y2=0;C.x2+x−2=0D.3x+9=0;

例2：

下列方程：

①x2=0，②

−2=0，③2x2−y+1=0，④x3−4x2+1=0中，一元二次方程的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点二：

一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）.其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

例1：

若关于x的方程（a+1）x2−2x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是

例2：

5x−10x2+3=7−x−3x2化为一般式为______（要求二次项系数为正数，方程化简到最简）

例3：

一元二次方程2x2−（m+1）x+1=x（x−1）化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）后一次项的系数为﹣2，则m的值为

知识点三：

一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

例1：

下列各数中，是方程x2=4x−3的根的是（ ）

A.-1；B.0；C.1；D.2；

例2：

下列各数中，是方程−x2+5x−1=6x−2+x2的根的是（   ）

A.-1；B.0；C.1；D.2；

例3：

下列各项中，是关于x的方程x2+2a=a2+1的根的是（   ）

A.a;B.-a-1;C.a+1;D.a-1;

知识点四：

直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义可解得x1=

x2=

.

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或mx2=p（m≠0）或（x+a）2=p或（mx+a）2=p（m≠0）形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

例1：

解下列方程：

（1）x2-16=0

（2）x2−

=0

例2：

解下列方程：

（1）9x2−3=1

（2）49x2−73=27

例3：

解下列方程：

（1）2（x+1）2=72

（2）4（x−4）2=9（5−3x）2

知识点五：

配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：

一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

例1：

解下列方程：

（1）x2+2x=1

（2）x2+8x−19=0

例2：

解下列方程：

（1）x2+6x−9=0

（2）2x2+7x+3=0

例3：

解下列方程：

（1）3x2-4x-2=0

（2）2x2﹣4x+2=6

知识点六：

公式法解一元二次方程

1.一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根

根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根

例1.一元二次方程2x2-4x+1=0的根的判别式的值是______．

例2.关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式是______．

例3.一元二次方程（x-5）（2x-1）=3的根的判别式的值是______．

例4.方程（x+3）（2x+5）+x（3x-1）=1的根的判别式的值等于______．

2.公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

1方程化为一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0），一般a化为正值

2②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

3求出b2-4ac的值；

4若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b2-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

例1.一元二次方程x2-x+2c=0的求根公式为x1=______，x2=______（x1≥x2），其中1﹣8c≥0

例2.当b2+8ac≥0，一元二次方程2ax2+bx-c=0（a≠0）的根为x1=______,x2=______（x1≥x2）

例3.公式法解方程x2−3x−5=0的解为____________．

例4.用公式法解下列方程：

x2+3x+1=03x2﹣x﹣5=02x2﹣7x+1=0

知识点七：

因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：

1移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

2把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

3令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

4解一元一次方程即可得到原方程的解。

例1.用提公因式法解下列方程

x2−x=02x2=4xx2−2x=02（x﹣1）（x+2）=x-1

2（x−2）2=5（2−x）（2x﹣6）（x+7）=x-3

例2.用完全平方公式法解下列方程

x2-4x+4=0x2-6x+9=0x2+10x+25=09x2+6x+1=0

例3.用平方差公式解下列方程

x2−121=0（5x−1）2−（x−1）2=0（3x−1）2−（x−2）2=0

例4.用十字相乘法解下列方程

x2-8x+15=02x2-x-3=03x2+5x-12=0x2-1=3x+3

知识点八：

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=

x1x2=

例1.方程5x2-8x+1=0的两根为x1、x2，那么x1⋅x2=______，x1+x2=______．

例2.设m,n是一元二次方程2x2-6x+1=0的两根，则2m2+2n2=______．

例3.已知关于x的方程x2-7x+4=0的两根为m、n，则m2-8m-n-13的值为______．

例4.已知x1，x2是关于x的方程x2﹣bx﹣7=0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2=4，那么b的值为______.

例5.若关于x的方程x2−（2−m−m2）x−3m=0的两根互为相反数，则m的值是______.

例6.已知关于x的方程x2−x+2k−3=0的两根异号，则k的取值范围是______.

知识点九：

实际问题与一元二次方程

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：

1审：

指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

2设：

指设元，也就是设出未知数。

3列：

列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

4解：

解方程，求出未知数的值。

5验：

指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

6答：

写出答案。

2.列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题

例1.有一个两位数，个位数字比十位数字大2，且个位数字与十位数字的平方和等于20，这个两位数是______.

例2.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为______．

例3.一个两位数等于它的个位数字的2倍的平方，且个位数字比十位数字小2，则这个两位数为______.

例4.一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是______．

（2）传播问题

例1.有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有225只鸡患了禽流感，那么每轮传染中平均一只鸡传染给______只鸡．

例2.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．试求每轮传染中平均一个人传染了______个人.

例3.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感．试求每轮传染中平均一个人传染了______个人.

（3）增长率问题

例1.某公司在2012年的盈利额为200万元，预计2014年的盈利额将达到242万元．若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2013年的盈利额为______万元．

例2.受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为______%．

例3.某城市的房价从2015年到2016年底上涨了21%，从2016年底到2017年底上涨了44%，那么此城市房价从2015年底到2017年底平均上涨的百分率是______．

（4）减少率问题

例1.一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改进后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为______.

例2.为应对金融危机，拉动内需，吉祥旅行社3月底组织赴风凰古城、张家界风景区旅游的价格为每人1000元，为了吸引更多的人赴凤凰古城、张家界旅游，在4月底、5月底进行了两次降价，两次降价后的价格为每人810元，那么这两次降价的平均降低率为______.

例3.某地大力发展经济作物，果树种植己初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较去年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年增加的百分数正好是销售均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的销售总金额与去年的销售总金额相同；则销售均价比去年减少的百分数为______.

（5）销售问题

例1.某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：

若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件．若该商店计划该商品每天获利1125元，求该商品的售价是______元？

例2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价______.

例3.某超市销售一种饮料，平均每天可售出80箱，每箱利润10元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利960元，则每箱应降价为______元.

（6）排列问题

例1.如图所示，点阵从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有4个点…第n行有2n个点……，若这个点阵中前n行的点数和S=156，则n=______.

例2.如图所示，点阵从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有4个点…第n行有2n个点…，若这个点阵中前n行的点数和S=10100，则n=______.

例3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=91时，则n的值为______.

（7）握手问题

例1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯28次，则参加酒会的人数为______人.

例2.在一次同学聚会上，连同3名老师在内，见面时每两人都握了一次手，所有人共握手120次，则这次参加聚会的同学有______人.

例3.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，经统计所有人一共握了4950次手，这次会议到会的人数为______人.

（8）长方形截四个角折叠成长方体问题

例1.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，

如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，

如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，则剪掉的正方形纸片的边长是______cm．

例2.如图：

一块长和宽分别为47厘米和19厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为828平方厘米．则截去小正方形的边长为______厘米．

例3.如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为288cm2，则截去的正方形的边长是______厘米．

（9）简单修路问题

例1.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分作为耕地为551m2．则道路的宽为______米.

例2.学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为176平方米，求小道的宽为______米．

（10）复杂修路问题

例1.如图，某小区在宽20m，长32m的矩形场地上修同样宽的三条人行道（阴影部分），余下的部分种花草．若种植花草的面积为589m2，则道路的宽度为______米．

例2.如图，某校要在长为32m，宽为20m的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为______m．

（11）一面靠墙的长方体面积问题

例1.如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图），其面积为30m2．若将平行于墙的一面记为长，则这个生物园的长为______米．

例2.如图，矩形花圃ABCD一面靠墙（墙足够长），另外三面用总长度是24m的篱笆围成，当矩形花圃的面积是40m2时，则BC的长为______米．

（12）赠礼物问题

例1.春天到了，生物兴趣小组的学生收集了很多蝴蝶标本．若每位同学将自己收集的标本向其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，则这个小组有______名同学．

例2.在一次同学聚会上，连同2名老师在内，聚餐时每两人都碰一次杯，所有人共碰杯66次，则这次参加聚会的同学有______人.

（13）动态几何问题

例1.已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，则______秒后，△PBQ的面积等于6cm2.

例2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，则经过______秒后，三角形PQB的面积是三角形ABC的面积的三分之一.

例3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到______秒时，点P和点Q的距离是10cm．