512 整数数列.docx

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512整数数列

12整数数列

学习目标:

通过细心地观察数与数、图形与图形、算式与算式之间的关系，大胆地猜想，从中归纳出一般性的规律（有时还必须先考虑几个简单的问题，作一些简单的试算，才能找到规律），然后去证明这规律，并运用规律。

这是数学研究的基本方法。

教学重点:

引导学生体验“观察→大胆猜想→归纳总结→证明→应用”的数学思考过程，从而形成自己的数学思考方式。

教学难点：

如何有效的、有针对性的引导学生思考发现规律。

教学过程：

一、情景体验

PPT展示图片

师：

同学们，数一数图片中每种花有多少片花瓣？

学生数数，汇报结果

师：

三角梅有3瓣，长春花有5瓣，格桑花有8瓣，瓜叶菊有13瓣。

3、5、8、13，你们发现这些数字有什么特征没？

其实稍加观察就可以发现，每一个数都是前面两个数的和。

事实上，在许多数学问题中也是一样，需要我们通过仔细观察，大胆猜测，归纳其中的规律，并利用这些规律解决问题。

今天我们就一起来学习整数数列，探究数列当中奇妙的规律吧！

（板书：

整数数列）

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1

例1：

有一列数：

1，2，3，2，1，2，3，4，3，2，3，4，5，4，3，……，这列数中，第200个数是多少？

第212个数是多少？

学生读题

师：

转动你的火眼金睛，发现这列数有什么规律？

学生思考

师引导：

大家看老师划的这条线上有几个数？

这些数有什么特点？

生1：

有五个数。

生2：

是连续数1、2、3，然后再反过来3、2、1。

生3：

第一个和第五个数都是1。

师：

哇，大家观察得真仔细，真是爱动脑的好孩子！

继续观察划的第二条线上的数字，又有什么特点？

生1：

还是有五个数。

生2：

是连续数2、3、4，然后再反过来4、3、2。

生3：

第一个和第五个数都是2。

师：

好，接下来第三条线上的数是不是也有这些特点呢？

生：

是的，还是有五个数，是连续数3、4、5，再反过来5、4、3，第一个和第五个数都是3。

师：

现在我们已经找到这些数的特点了，如果老师把第一条线上的五个数看作是第一组，这组的首位和末位数字都是1；把第二条线上的五个数看作是第二组，这组的首位和末位数字都是2；把第三条线上的五个数看作是第三组，这组的首位和末位数字都是3。

那么，同学们可以大胆猜想、归纳一下本题的规律吗？

学生尝试归纳总结

师小结：

5个数为一组，每组的首位和末位数字相同，这组数是第几组，首位和末位数字就是几。

师：

既然已经找到了规律，现在就要利用规律解决问题了。

要求这列数中第200个数是多少，首先要判断第200个数在第几组。

一组5个数，所以200÷5=40（组），没有余数，表明第200个数是第40组的末位数，是40。

同理，要求第212个数是多少，首先判断它在第几组。

212÷5=42（组）……2（个），有余数2，表明第212个数是第43组的第二个数。

第43组的首位数是43，第二个数就是44，因此第212个数是44。

师总结：

解决这类数列问题，可以考虑从周期入手，找出数列间的周期规律。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例2

例2：

把自然数1、2、3、4、5、…，依次排成4列，把最左边的一列叫做第一列，从左往右依次编号，那么56出现在第几行？

第几列？

67呢？

学生读题

师：

本题中的自然数组成了一个有行、列的数阵，已经标注出了第一列、第二列、第三列、第四列。

请大家观察一下，这个数阵每一行有几个数？

有什么特点？

生1：

每一行有4个数。

生2：

每一行的第一个数位于第一列，第二个数位于第二列，第三个数位于第三列，第四个数位于第四列。

师引导：

刚才例题1的规律是5个数为一组，本题是4个数为一行。

那么，能不能用例题1的方法解决本题呢？

生：

可以试试。

师：

这些自然数是从1开始排列的，一行4个数，要求56出现在第几行第几列，我们可以先找出行，56÷4=14（行），没有余数，表明56是第14行的末位数，是第四列。

因此，56出现在第14行第4列。

同理，要先找出67出现在第几行。

67÷4=16（行）……3（个），有余数3，表明67是第17行的第三个数，位于第三列。

因此，67出现在第17行第3列。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例3

例3：

把自然数中的奇数1、3、5、7、9、…，依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左往右依次编号，那么第65个数出现在第几行？

第几列？

第2011个数呢？

学生读题

师：

这个数阵是几个数为一行？

生：

四个数为一行。

师：

但是这个数阵和前面的排列方式有些不同，并不是所有行的第一个数都是从第一列开始的，对吗？

而且这些数是按“S”型排列的，比如说写1、3、5、7是从左往右的顺序，再写9、11、13、15则是紧跟着7，从右往左的顺序。

我们发现，数字按照从左往右的顺序排列都位于奇数行，第一个数是第二列；而数字按照从右往左的顺序排列都位于偶数行，第一个数是第四列。

师：

已知4个数为一行，要判断第65个数出现在第几行第几列，能不能用例2的方法计算，怎么算？

生：

可以，65÷4=16（行）……1（个），有余数1，表明第65个数是第17行的第一个数，奇数行的第一个数在第二列。

因此第65个数出现在第17行第二列。

师：

大拇指给你点赞！

那么第2011个数呢？

生：

2011÷4=502（行）……3（个），有余数3，表明第2011个数是第503行的第三个数，奇数行的第一个数在第二列，第三个数在第四列。

因此第2011个数出现在第503行第四列。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例4

例4：

从1到1001的所有自然数，按下列格式排在一起（如图），用一个方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于：

（1）1986

（2）2520（3）1989

问：

能否办到？

若能办到，请写出这框出的九个数。

学生读题

师：

大家观察这个数阵，很明显，每一行有七个数字，并且每一行的末位数都是7的倍数，比如14是7的2倍，21是7的3倍，28是7的4倍……

师：

现在题目要判断能否用一个方框框出九个数，使这九个数的和分别等于1986、2520、1989，那么首先需要找出方框框出的这九个数之间的规律，对吗？

同学们仔细观察题中方框里排列的数，能发现什么规律？

学生思考回答

师引导：

很明显，从行看，每一行的三个数都是连续自然数；从列看，每一列相邻的两个数的差是7。

如果大家把这九个数相加，算出的和是多少？

生：

10+11+12+17+18+19+24+25+26=162

师追问：

和是162，怎么计算这九个数的平均数？

生：

162÷9=18

师：

大家发现算出来的平均数与方框里的哪个数相同？

生：

平均数和方框里最中间的数相同，都是18。

师小结：

对啦，因此可以得出规律：

框出的九个数的平均数是这个方框里的中心数。

师：

怎么利用这个规律呢，第一步判断题目给的和是不是9的倍数，即和能否被9整除；第二步找出中心数。

首先来看1986，大家算一算它能不能被9整除？

生：

1986÷9=220……6，有余数，不能被9整除。

师：

既然不能被9整除，说明办不到。

师：

同学们再算一算2520能不能被9整除？

生：

2520÷9=280，没有余数，能被9整除。

师：

说明平均数是280，但是280是7的倍数，前面我们已经找出7的倍数都是位于每行的末位数，你们认为中心数能不能是末位数？

生：

不能。

师：

所以，虽然2520能被9整除，但算出的平均数280是7的倍数，不能当做中心数，说明办不到。

师：

最后，我们一起来算一算1989，1989÷9=221，能被9整除，221也不是7的倍数，因此可以当做中心数。

中心数是221，根据前面从行、列找出的特点，可以写出符合的九个数。

师引导学生写出方框里的九个数

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例5

例5：

自然数1，2，3，…，排成一行分组，即｛1｝，｛2，3｝，｛4，5，6｝，｛7，8，9，10｝，｛11，12，…｝，…

（1）第10组的第一个数是几？

（2）第10组中所有的自然数的和是多少？

（3）100这个数位于哪一组中？

是第几个？

学生读题

师：

题目将自然数1、2、3……进行分组，写成一行好像看不出规律，我们不妨写成竖列的形式，标出第一组、第二组、……（师参考PPT格式）

师：

发现这组数是第几组，括号里就有几个数。

比如说第一组，括号里有1个数；第二组，括号里有2个数；……依此类推。

师：

第

（1）问要写出第10组的第一个数是几，我们先观察每组的第一个数，有什么规律呢？

学生观察思考

师引导：

第1组的第一个数是1；

第2组的第一个数是2,2=1+1；

第3组的第一个数是4,4=2+2=1+1+2；

第4组的第一个数是7,7=4+3=1+1+2+3；

第5组的第一个数是11,11=7+4=1+1+2+3+4；

师：

大家观察这些算式，发现了什么？

生1：

都是做加法，从1开始，每一组加到最后的数都比组数少1；

生2：

第一个数是1，第二个数开始是连续自然数相加，从1开始。

师：

大家说的都对，那么第10组的第一个数怎么求呢？

一直加到几？

生：

一直加到9,1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46，第一个数是46。

师：

再来看第

（2）问，要求第10组所有自然数的和，首先需要找出这组分别有哪些数。

一开始我们已经知道这组数是第几组，括号里就有几个数。

那么第10组，很明显有10个数，已知第一个是46，你们能写出第10组所有的数吗？

生：

｛46，47，48，49，50，51，52，53，54，55｝

师：

大家动手算一算，和是多少？

生：

46+47+48+49+50+51+52+53+54+55=505

师：

第（3）问，怎么判断100这个数位于哪一组？

是第几个呢？

学生思考

生：

根据第

（1）问找出的每组第一个数的规律，可以先计算出接近100且位于第一个的某个数。

师：

你这个想法不错，我们一起来试试。

1+1+2+3+……，一直加到多少就非常接近100呢？

生：

1+1+2+3+……+13=92，1+1+2+3+……+14=106

师追问：

你是怎么计算的？

生：

用以前学过的等差数列求和公式。

师：

106已经超过100，所以选择92,92是第几组的第一个数？

生：

第14组。

师：

既然已知第14组第一个数是92，我们依次写出后面的数，写到100，数一数，是这组的第几个数？

学生数一数，是这组的第九个数，因此100是第14组第九个数。

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

五、创新应用

展示例6

例6：

自然数如下图的规则排列：

（1）求上起第10行，左起第13列的数。

（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

学生读题

师：

大家先自己动眼观察这个排列，能发现什么规律？

学生思考，发表意见。

师：

这个数阵有行有列，我们先来看每行的首位数有什么特点。

第一行的首位数是1,1=1×1，是1的平方；

第二行的首位数是4,4=2×2，是2的平方；

第三行的首位数是9,9=3×3，是3的平方；

第四行的首位数是16,16=4×4，是4的平方；

第五行的首位数是25,25=5×5，是5的平方。

师：

通过刚才发现的特点，你们能归纳出每行首位数的规律吗？

生：

是第几行，这行的首位数就是几的平方。

师：

大拇指给你点赞，真棒！

行的规律找到了，我们再来看看每列的首位数有什么特点。

第一列的首位数是1,1=0+1；

第二列的首位数是2,2=1+1=12+1；

第三列的首位数是5,5=4+1=22+1；

第四列的首位数是10,10=9+1=32+1；

第五列的首位数是17,17=16+1=42+1。

师：

通过刚才发现的特点，你们能归纳出每列首位数的规律吗？

生：

是第几列，这列的首位数就是（列数-1）的平方+1。

师：

除了每列首位数有规律之外，大家还能发现每列数其他的规律吗？

学生思考

师：

第一列有1，第二列有2、3两个连续自然数，第三列有5、6、7三个连续自然数，第四列有10、11、12、13四个连续自然数，第五列有17、18、19、20、21五个连续自然数，依此类推，是第几列，这列就有几个连续自然数，对吗？

生：

是的。

师：

好，我们已经找出行列的规律。

现在来看第

（1）问，求上起第10行，左起第13列的数。

根据列的规律，可知第13列的首位数是（13-1）的平方+1，为145。

同时，第13列有13个连续自然数，首位是145，那么第10个就是145+10-1=154。

因此第10行、第13列是154。

再来看第

（2）问，要确定127的行数、列数，可以先找出离127很近的平方数来确定行数。

11的平方是121,12的平方是144,121＜127＜144，所以121是第11行的首位数，那么122就是第12列的首位数，第12列有12个连续自然数，122是首位第一行，127就是第六行。

因此127排在第6行、第12列。

六、总结

通过这次课的学习，你学到了什么呢？