数字信号处理实验二.docx
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数字信号处理实验二
实验二快速傅里叶变换(FFT)及其应用
一、思考题
(1)实验中的信号序列
和
在单位圆上的z变换频谱
会相同吗?
如果不同,说出哪一个低频分量更多一些,为什么?
答:
设
因为为单位圆,故r=1.因为
,故
比较可知频谱不相同,
的低频分量多。
(2)对一个有限长序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFS展开,因为DFS也只是取其中一个周期来运算,所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。
如果实正弦信号
用16点FFT来做DFS运算,得到的频谱是信号本身的真实谱吗?
为什么?
答:
针对原来未经采样的连续时间信号来说,FFT做出来的永远不会是信号本身的真实频谱,只能够是无限接近。
FFT频谱泄露问题是一定会存在的,因为毕竟采样率再高,也不能完全达到原来的连续时间信号准确。
原题的采样率是1/10,就是将2*pi分成10份,即每个正弦波周期进行10次采样,这样的采样率很低,而最后你只截取16个点来做分析,泄露一般会挺严重,看到的频谱,应该是一个上头尖,下面慢慢变宽的尖锥形,而纯正的正弦波的理想频谱应该是在某频点只有一个尖峰。
二. 实验原理:
(1)混叠:
采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓,当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候,就会发生混叠,使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。
(2)泄露:
根据理论分析,一个时间的信号其频带宽度为无限,一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。
因此对一个时间有限的信号,应用DFT进行分析,频谱混叠难以避免。
对一个时间无限的信号虽然频带有限,但在实际运算中,时间总是取有限值,在将信号截断的过程中,出现了分散的扩展谱线的现象,称之为频谱泄露或功率泄露。
(3)栅栏效应:
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样,所以它不可能将频谱视为一个连续函数,就在一定意义上看,用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样,只能在离散点上看到真实的频谱,这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住,不能被我们观察到。
(4)圆周卷积:
把序列X(N)分布在N等份的圆周上,而序列Y(N)经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。
两圆上对应的数两量两相乘求和,就得到全部卷积序列。
这个卷积过程称做圆周卷积。
(5)互相关函数反映了两个序列X(N)和Y(N) 的相似程度,用FFT可以很快的计算互相关函数。
二、上机内容
实验中用到的信号序列:
a)高斯序列
b)衰减正弦序列
c)三角波序列
d)反三角波序列
实验内容思考题:
1、观察高斯序列的时域和幅频特性,固定信号xa(n)中参数p=8
,改变q的值,使q分别等于2、4、8,观察他们的时域和幅频特性,了解当q取不同值时,对信号序列的时域和幅频特性的影响;固定
q=8,改变p,使p分别等于8、13、14,观察参数p变化对序列的时域和幅频特性的影响,注意p等于多少时,会发生明显的泄漏现象,
混叠是否也随之出现?
记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域和幅频特性曲线。
答:
时域:
当p固定,q变化时,由时域波形可知,q代表了波形以p为中心向两侧衰减的速度,发现当q越大时,衰减的速度越快,反之,衰减的速度相对较慢,高频分量越小。
频域:
当q固定,p变化时,由时域波形可知,p代表了波形的移序,在频谱上,显而易见,在p更大的时候产生了更多的高频分量。
右移之后,序列相当于被截断,那么相对应的其频谱泄漏的情况更加的严重,从而出现了高频分量较多的情况。
信号的频谱中高频分量逐渐增加,频谱泄漏逐渐明显,并逐渐出现频谱混叠现象。
当p=16时,能力泄漏至旁边的频率,出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。
随着p值增大,信号被截断部分增多,截断部分的过渡带过陡,产生高频分量增多,而造成频谱泄漏与混叠。
2、观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性,a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确,注意频谱的形状,绘出幅频特性特性曲线,改变f,使f分别等于0.4375和0.5625,观察这两种情况下,频谱的形状和谱峰出现位置,有无混叠和泄漏现象?
说明产生现象的原
因。
答:
如图可知满足Nyquist定理时,
,f=0.5625时不满足Nyquist定理。
随着f的增大,频谱的谱峰逐渐向右平移,两谱峰逐渐向中间靠拢。
因为0.4375=0.5-0.0625,0.5625=0.5+0.0625, f=0.4375和f=0.5625频谱图关于=对称 ,造成观察到的频谱完全相同,但实际上表示的意义却不相同。
由于存在泄漏现象,出现了高频分量,虽然在f=0.4375时满足Nyquist定理但实际上已发生了频谱混叠。
3、一个连续信号含有两个频率分量,经采样得 xn=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+df)*n) n=0,1,2,···,N-1 已知
N=16,df分别为1/1和1/64,观察其频谱;当N=128时,df不变其结果有何不同,为什么?
答:
正三角波和逆三角波的时域波形上的走势是不一样的。
在频域上可以发现,N=8时,两者的fft互为相反数,因为两者的和实际上就是一个矩形窗函数,rectwin(8),由于rectwin(8)的fft为80000000,所以除了fft(0)以外,其他都为相反数。
而当N=16时,两者之间的和为一个补零了的rectwin(8),对于N不同时得到的结果发现,实质上同一个序列补零以后的频谱并没有发生太大的变化,补零后的序列相当了有了更多的采样点,在对应位置处的fft值还是相同的,不同的是,当N变大时,补零长度变大时,暴露出来的更多的采样点值可以减轻fft的栅栏效应。
4、一个连续信号含两个频率分量,经采样得
x(n)=sin[2π*0.125n]+cos[2π*(0.125+∆f)n] n=0,1,…N-1 已知N=16,∆f分别为1/16和1/64,观察其频谱;当N=128时,∆f不变,其结果有何不同?
答:
由fft频谱图可知,在N=16时,deltaf=1/16时,fft频谱是正确的应该是两个冲激,但是在deltaf=1/64时,此时的信号的带宽减小,由于采样点数是固定的,导致卷积的过程中出现了泄露的情况,因此在第二种情况下出现了谱线扩散的情况。
在N=128时,相当于扩展了加窗的宽度,因而没有出现频谱的泄漏。
源程序:
第一题图:
第二题图:
第三题图:
第四题图:
第五题图:
第六题图:
第七题图:
第八题图:
三、实验总结与分析
(1)利用FFT来估计模拟信号的频率,FFT的点数越多,信号的频谱分辨率越高,利用频谱估计得到的信号频率与实际的误差越小。
要想提高估计精度,应当使FFT点数在允许的范围内尽可能的大。
(2)当信号发生截断效应时,会产生高频分量,这种情况下会出现频谱混叠和频谱泄漏现象,截断效应越明显,泄漏越大。
(3)对信号抽样时,在满足Nyquist定理的情况下,由于频谱泄漏,会发生频谱混叠,因此,采样频率尽量高。
(4)由于栅栏效应使得有些不同的信号的频谱图相同,这种情况可以通过增加FFT点数来判断。
(5)随着p值增大,信号被截断部分增多,截断部分的过渡带过陡,产生高频分量增多,而造成频谱泄漏与混叠。