圆锥曲线基本题型总结.docx
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圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结：
提纲：
一、定义的应用：
1、定义法求标准方程：
2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：
3、焦点三角形问题：
二、圆锥曲线的标准方程：
1、对方程的理解
2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）
3、各种圆锥曲线系的应用：
三、圆锥曲线的性质：
1、已知方程求性质：
2、求离心率的取值或取值范围
3、涉及性质的问题：
四、直线与圆锥曲线的关系：
1、位置关系的判定：
2、弦长公式的应用：
3、弦的中点问题：
4、韦达定理的应用：
一、定义的应用：
1.定义法求标准方程：
（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：
（注意细节的处理）
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线
C．圆D．线段【注：
2a>|F1F2|是椭圆，2a=|F1F2|是线段】
2.设B（－4,0），C（4,0），且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为（ ）
A.＋＝1（y≠0）B.＋＝1（y≠0）
C.＋＝1（y≠0）D.＋＝1（y≠0）【注：
检验去点】
3.已知A（0，－5）、B（0,5），|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为（ ）
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线
D.双曲线一支或一条射线【注：
2a<|F1F2|是双曲线，2a=|F1F2|是射线，注意一支与两支的判断】
4.已知两定点F1（－3,0），F2（3,0），在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是（ ）
A.||PF1|－|PF2||＝5
B.||PF1|－|PF2||＝6
C.||PF1|－|PF2||＝7
D.||PF1|－|PF2||＝0【注：
2a<|F1F2|是双曲线】
5.平面内有两个定点F1（－5,0）和F2（5,0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（ ）
A.－＝1（x≤－4）B.－＝1（x≤－3）
C.－＝1（x≥4）D.－＝1（x≥3）【注：
双曲线的一支】
6.如图，P为圆B：
（x＋2）2＋y2＝36上一动点，点A坐标为（2,0），线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.
7.已知点A（0，）和圆O1：
x2＋（y＋）2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：
8.已知圆A：
（x＋3）2＋y2＝100，圆A内一定点B（3，0），圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
已知动圆M过定点B（－4,0），且和定圆（x－4）2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A.－＝1（x>0）B.－＝1（x<0）
C.－＝1D.－＝1【注：
由题目判断是双曲线的一支还是两支】
9.若动圆P过点N（－2,0），且与另一圆M：
（x－2）2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.
【注：
双曲线的一支，注意与上题区分】
10.如图，已知定圆F1：
x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：
x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
11.若动圆与圆（x－2）2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线
12.已知动圆M经过点A（3,0），且与直线l：
x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【注：
同上题做比较，说法不一样，本质相同】
13.已知点A（3,2），点M到F的距离比它到y轴的距离大.（M的横坐标非负）
（1）求点M的轨迹方程；【注：
体现抛物线定义的灵活应用】
（2）是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？
若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【注：
抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】
（3）其他问题中的圆锥曲线：
14.已知A，B两地相距2000m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【注：
双曲线的一支】
2.
15.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．直线B．圆
C．双曲线D．抛物线
【注：
体现抛物线定义的灵活应用】
2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：
16.设椭圆＋＝1（m>1）上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
17.椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
18.已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（ ）
A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋mD．2a＋4m
19.若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________.
20.设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．直角三角形
21．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
【注：
椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c，最大是a+c】
22.已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________.
【注：
注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a】
23.已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小（O为坐标原点）.【注：
O是两焦点的中点，注意中位线的体现】
24.设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且
·
＝0，则|
＋
|等于（ ）A．3B．6C．1D．2
25.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是（ ）A.B.3C.D.
【注：
抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】
26.已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（ ）A.B.C．2D.
【注：
抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】
27.设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B（1,0），且|AB|＝1，则A的横坐标的值为（ ）
A．－2B．0C．－2或0D．－2或2
【注：
抛物线的焦半径，即定义的应用】
3.焦点三角形问题：
椭圆的焦点三角形周长
椭圆的焦点三角形面积：
推导过程：
双曲线的焦点三角形面积：
28.设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
【注：
小题中可以直接套用公式。
S=
】
29.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
【注：
小题中可以直接套用公式。
】
30.已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
31.已知点P（3,4）是椭圆＋＝1（a>b>0）上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）△PF1F2的面积．
二、圆锥曲线的标准方程：
1.对方程的理解
32.方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－3，－1）B．（－3，－2）C．（1，＋∞）D．（－3,1）
33.若k>1，则关于x，y的方程（1－k）x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线【注：
先化为标准方程形式】
34.对于曲线C：
＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1
35.已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1（0≤α<2π）的焦点在y轴上，则α的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
36.双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m的值.【注：
要根据焦点位置分情况讨论】
2.求曲线方程（已经性质求方程）
37.以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1
38.根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别是（－4,0），（4,0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0,2），并且椭圆经过点.【注：
定义的应用】
39.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P（－5,4），则椭圆的方程为______________．
40.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1
41.设椭圆＋＝1（m>0，n>0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1
42.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1（－，0），且右顶点为D（2,0）．设点A的坐标是.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【注：
相关点法求曲线方程】
43.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0,2），则双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1
44.已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1
45.求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线方程.
46.双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
47.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点（－3，－1）；
（2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
48.抛物线y2＝2px（p>0）上一点M的纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________.
【注：
定义的应用，焦半径】
三、圆锥曲线的性质：
1.已知方程求性质：
49.椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是（ ）
A.B．（0，±1）C．（±1,0）D.【注：
焦点位置】
50.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，
51.设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
【注：
先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】
2.求离心率的取值或取值范围
52.直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1（a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
53.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．
54.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A.B.C.D.
【注：
寻找a,b,c的等量关系，遇b换成a、c，整理成关于a、c的方程】
55.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
56.设椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
57.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为（ ）
A.B.C.D.
58.双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
A.2B.C.D.
59.已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1,2]B．（1,2）
C．[2，＋∞）D．（2，＋∞）
四、直线与圆锥曲线的关系：
1、位置关系的判定：
60.已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P（－2,1），斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：
只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
【注：
双曲线和抛物线中，都有相交只有一个交点的情况，这是二次项系数为0的时候，因此相离、相切、相交有两个交点，需要用⊿判断时，必须要加上二次项系数不为0的条件】
61.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为（ ）
A.（1,2）B.（0,0）C.D.（1,4）
2.弦长公式的应用：
62.已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
63.直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
64.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程.
65.已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
66.已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
2、弦的中点问题：
67.椭圆E：
＋＝1内有一点P（2,1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
68.点P（8,1）平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．
【注：
双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验⊿>0】
69.若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于（ ）
A．2或－1B．－1
C．2D．1±
【注：
涉及弦的中点问题，可以使用点差法，但仍需要注意带回检验⊿>0】
70.已知抛物线y2＝6x，过点P（4,1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
4、韦达定理的应用：
（综合题型）
71.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
72.如图所示，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）求x1x2与y1y2的值；
（2）求证：
OM⊥ON.
73.已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．
【注：
这是个焦点落在y轴的椭圆，以F1F2为底边，将三角形分成上下两部分，而高就是AB点横向的距离，
即|xA－xB|】
74.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若
＝m
，
＝n
，求m＋n的值．
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