人教版九年级数学上册同步练习 2422第3课时 切线长定理和三角形的内切圆最新学习文档.docx
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人教版九年级数学上册同步练习2422第3课时切线长定理和三角形的内切圆最新学习文档
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云:
“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。
”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见,“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。
24.2.2 直线和圆的位置关系
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云:
“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。
”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见,“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。
1.如图24-2-42,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,连接OP.若∠APO=30°,OA=2,则BP的长为( )
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。
图24-2-42
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:
“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!
”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
A.
B.
C.4D.2
2.三角形的内心是( )
A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点
3.如图24-2-43,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=________°.
图24-2-43图24-2-44
4.如图24-2-44,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形ABCD的周长为( )
A.32B.34C.36D.38
5.如图24-2-45,PA,PB分别切⊙O于点A,B,MN切⊙O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5cm,则△PMN的周长是( )
图24-2-45
A.7.5cmB.10cmC.12.5cmD.15cm
6.如图24-2-46,PA,PB,CD分别切⊙O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为( )
A.50°B.62°C.66°D.70°
图24-2-46图24-2-47
7.如图24-2-47,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,AC=6,△ABC的内切圆⊙O分别切AB,BC,AC于点D,E,F,则AF的长为( )
A.5B.10C.7.5D.4
8.如图24-2-48,PA,PB分别切⊙O于点A,B,连接PO与⊙O相交于点C,连接AC,BC.求证:
AC=BC.
图24-2-48
9.如图24-2-49所示,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,AC为⊙O的直径,PO交⊙O于点E.
(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.
(2)若⊙O的半径为4,P是⊙O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?
若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.
图24-2-49
10.若等腰直角三角形的外接圆的半径为2,则其内切圆的半径为( )
A.
B.2
-2C.2-
D.
-2
11.⑨如图24-2-50,⊙O是四边形ABCD的内切圆.若∠AOB=70°,则∠COD的值是( )
图24-2-50
A.110°B.125°C.140°D.145°
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?
”其意思是:
“如图24-2-51,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?
”( )
图24-2-51
A.3步B.5步C.6步D.8步
13.2019·玉林如图24-2-52,大小不同的两个磁块,其截面都是等边三角形,小三角形边长是大三角形边长的一半,点O是小三角形的内心,现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动,当由①位置滚动到④位置时,线段OA绕点O顺时针转过的角度是( )
图24-2-52
A.240°B.360°C.480°D.540°
14.如图24-2-53,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,点O为△ABC的内心,M为斜边AB的中点,则OM的长为________.
图24-2-53 图24-2-54
15.如图24-2-54,在△ABC中,AB=AC,∠BAC为锐角,CD为AB边上的高,点O为△ACD的内切圆圆心,则∠AOB的度数为________.
16.如图24-2-55,在扇形OAD中,∠AOD=90°,OA=6,P为
上任意一点(不与点A,D重合),PH⊥OD于点H,点I为△OPH的内心,过O,I和D三点的圆的半径为r,则当点P在
上运动时,求r的值.
图24-2-55
17.如图24-2-56,在ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,O是△BDC的内心,E,F分别为⊙O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.
(1)求证:
①AE⊥EF,②AE∥DO;
(2)若AC=6,⊙O的半径为1,求AE的长.
图24-2-56
18.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.
定义:
到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:
如图24-2-57①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:
如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,且PF=
BP.求证:
点P是△ABC的内心.
图24-2-57
19.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:
到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:
如图24-2-58①,PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
(1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
AB,连接AP,BP,求∠APB的度数;
(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
图24-2-58
答案详析
1.D 2.B 3.130
4.B [解析]设AB,BC,CD,DA与圆分别相切于点E,F,G,H.根据切线长定理可得AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,所以AB+CD=AD+BC,所以四边形ABCD的周长为2(BC+AD)=34.
5.D [解析]由切线长定理,可得PA=PB,AM=MC,CN=BN,
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=PM+MC+CN+PN=PM+AM+BN+PN=2PA=15cm.
6.D
[解析]∵∠P=40°,
∴∠PCD+∠PDC=140°.
∵PA,PB,CD分别切⊙O于点A,B,E,
∴AC=CE,DE=DB,
∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.
∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,
∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,
∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°,
∴∠PAE+∠PBE=70°.
7.A
[解析]由切线长定理可得CF=CE,AF=AD,BD=BE,∴2AF+2BE+2CE=AB+BC+AC=20,∴AF+BC=10,∴AF=5.
8.[证明:
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,
∴AC=BC.
9.解:
(1)∠APB=2∠BAC.
理由:
∵PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO,
∴∠PAB=∠PBA.
∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,
∴∠APO+∠PAB=90°.
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,即∠PAB+∠BAC=90°,
∴∠APO=∠BAC,
∴∠APB=2∠BAC.
(2)存在.
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.
而OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,
∴PO=
OA=4
.
这样的点P有无数个,当点P在以点O为圆心,4
为半径的圆上时,四边形PAOB为正方形.
10.B [解析]若等腰直角三角形外接圆的半径为2,则其斜边长为4,则其周长为4+4
,其内切圆半径为周长的一半减去斜边长,即2+2
-4=2
-2.
11.A [解析]∵⊙O为四边形ABCD的内切圆,
∴∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA,
∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°,
则∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°,
∴∠COD=180°-∠AOB=110°.
12.C
[解析]如图,设BC=8,AC=15,
∴AB=
=17.
∵S△ABC=
AC·BC=
AB·r+
AC·r+
BC·r=
r(AB+AC+BC),
∴r=
=
=3.故直径为6.
13.C [解析]由题意可得第一次OA顺时针转动了120°,第二次OA顺时针转动了240°,第三次OA顺时针转动了120°,故当由①位置滚动到④位置时,线段OA绕点O顺时针转过的角度是120°+240°+120°=480°.
14.2
[解析]如图,∵∠C=90°,AC=12,BC=16,∴AB=20.作△ABC的内切圆⊙O,设⊙O与△ABC的三边分别相切于点E,D,F.由切线长定理可得AE=AF,BF=BD,CD=CE.∵AE+AF+BF+BD+CD+CE=AC+AB+BC=48,∴BF=
×48-12=12,CE=
×48-20=4.连接OE,OD,OF可得∠CEO=∠CDO=90°.又∵∠C=90°,∴四边形CEOD是矩形.∵OE=OD,∴矩形CEOD是正方形,∴OE=OD=CE=OF=4.∵M是AB的中点,∴BM=10,∴FM=BF-BM=12-10=2,
∴OM=
=2
.
15.135°
[解析]连接CO,延长AO交BC于点F.
∵CD为AB边上的高,∴∠ADC=90°,
∴∠BAC+∠ACD=90°.
又∵点O为△ACD的内切圆圆心,
∴AO,CO分别平分∠BAC和∠ACD,
∴∠OAC+∠OCA=
(∠BAC+∠ACD)=
×90°=45°,∴∠AOC=135°.
在△AOB和△AOC中,
∴△AOB≌△AOC(SAS),
∴∠AOB=∠AOC=135°.
16.解:
如图,连接OI,PI,DI.
∵△OPH的内心为点I,
∴∠IOP=∠IOD,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-
(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OD,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°-
(∠HOP+∠OPH)=180°-
×(180°-90°)=135°.
在△OPI和△ODI中,
∴△OPI≌△ODI(SAS),
∴∠PIO=∠DIO=135°,
∴点I在以OD为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上.
过D,I,O三点作⊙O′,如图,连接O′D,O′O.
在优弧DMO上取点P′,连接P′D,P′O.
∵∠DIO=135°,∴∠DP′O=180°-135°=45°,
∴∠DO′O=90°,而OD=6,
∴O′O=O′D=3
,∴r的值为3
.
17.解:
(1)证明:
①如图,连接OB,OF.
∵点O是△BDC的内心,∴OB平分∠DBC.
∵BD=BC,∴OB⊥CD.
∵CD与⊙O相切于点F,∴OF⊥CD,
∴B,O,F三点共线,∴DF=CF.
∵CD=2AD,∴AD=DF.
∵BD与⊙O相切,
∴由切线长定理可知DE=DF,
∴AD=DE=DF,
∴A,E,F三点共圆,且圆心为点D.
∵AF是⊙D的直径,∴∠AEF=90°,
∴AE⊥EF.
②∵点O是△BDC的内心,∴DO平分∠BDC,
∴∠EDF=2∠EDO.
由①知AD=DE,∴∠DAE=∠DEA.
又∵∠EDF=∠DAE+∠DEA,
∴2∠EDO=2∠DEA,∴∠EDO=∠DEA,
∴AE∥DO.
(2)如图,设DO与EF相交于点G.
由
(1)可知DE=DF,DO平分∠EDF,
∴DO⊥EF.
∵AD=DF=CF,AC=6,∴DF=2.
∵OF=1,∴由勾股定理可求得OD=
.
∵
DF·OF=
OD·FG,
即
×2×1=
×
FG,∴FG=
.
由垂径定理可知EF=2FG=
.
∵AF=2DF=4,∠AEF=90°,
∴由勾股定理可求得AE=
=
=
.
18.证明:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∵BF为△ABC的角平分线,
∴∠PBE=30°,∴PE=
BP.
∵BF是等边三角形ABC的角平分线,
∴BF⊥AC.
∵点P是△ABC的准内心,PD⊥AB,PE⊥BC,PF=
BP,
∴PE=PD=PF,∴点P是△ABC的内心.
19.解:
(1)①若PB=PC,则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=∠PCB=30°,
∴PD=
BD=
AB,与已知PD=
AB矛盾,∴PB≠PC;
②若PA=PC,同理可推出矛盾,∴PA≠PC;
③若PA=PB,由PD=
AB,
得PD=BD=AD,
∴∠PAB=∠PBA=45°,∴∠APB=90°.
综上可得,∠APB=90°.
(2)①若PB=PA,连接PB.
设PA=x,则PB=x.
∵∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴AC=12,∴PC=12-x.
在Rt△BCP中,有x2=(12-x)2+52,
解得x=
,即PA=
.
②若PA=PC,则PA=6.
③若PC=PB,由图知,不可能.
综上可得,PA的长为
或6.