北师大版初中数学九年级上册期中试题甘肃省兰州市.docx
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北师大版初中数学九年级上册期中试题甘肃省兰州市
2018-2019学年甘肃省兰州市市区片
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3
2．（4分）将方程x2﹣2x﹣3＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，指出m，n分别是（ ）
A．1和3B．﹣1和3C．1和4D．﹣1和4
3．（4分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角互补
4．（4分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．（4分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形
6．（4分）一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．5%B．10%C．15%D．20%
7．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
8．（4分）根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26D．3.25＜x＜3.28
9．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
10．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（ ）
A．116cmB．29cmC．
cmD．
cm
11．（4分）连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（4分）设m＜0，那么方程x2+2x+m＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一正根，一负根且负根的绝对值较大
D．有一正根，一负根且正根的绝对值较大
13．（4分）某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ）
A．5000（1+x2）＝7200
B．5000（1+x）+5000（1+x）2＝7200
C．5000（1+x）2＝7200
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7200
14．（4分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
15．（4分）将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上（如图点B′），若AB＝
，则折痕AE的长为（ ）
A．
B．
C．2D．2
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为 ．
17．（4分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，那么k＝ ，另一个根x＝ ．
18．（4分）已知菱形一条对角线为长8
cm，周长是24cm，则这个菱形的面积是 ．
19．（4分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
20．（4分）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为 ．
三、计算题（共1小题，满分20分）
21．（20分）
（1）（x+5）2＝16
（2）2x2＝3﹣7x
（3）x2﹣7x+6＝0
（4）x2+（
+1）x+
＝0
四、解答题（共6小题，满分50分）
22．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过C、D作BD、AC的平行线交于点E，求证：
四边形OCED是菱形．
23．（6分）如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
24．（8分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：
小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？
若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
25．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
26．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（m为实数）有两个实数根x1、x2．
（1）当m为何值时，x1≠x2；
（2）若x12+x22＝2，求m的值．
27．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝
．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：
当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？
如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
2018-2019学年甘肃省兰州市市区片九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：
B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
2．（4分）将方程x2﹣2x﹣3＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，指出m，n分别是（ ）
A．1和3B．﹣1和3C．1和4D．﹣1和4
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：
移项得x2﹣2x＝3，
配方得x2﹣2x+1＝4，
即（x﹣1）2＝4，
∴m＝1，n＝4．
故选：
C．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：
第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
3．（4分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角互补
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】解：
A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：
A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：
对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
4．（4分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【分析】顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
既是矩形，又是菱形的四边形是正方形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】解：
A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选：
C．
【点评】本题考查了特殊四边形的判定、等边三角形的判定．
5．（4分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形
【分析】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：
根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC＝BD，可得出EH＝EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【解答】解：
顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，
如图所示：
已知：
E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC＝BD，
求证：
四边形EFGH为菱形，
证明：
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝
BD，FG∥BD，FG＝
BD，
∴EH∥FG，EH＝FG＝
BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF为△ABC的中位线，
∴EF＝
AC，又EH＝
BD，且AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：
C．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
6．（4分）一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．5%B．10%C．15%D．20%
【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价x，则第一次降低后的价格是50（1﹣x），那么第二次后的价格是50（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：
设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得50（1﹣x）2＝40.5
解得：
x1＝1.9（不合题意舍去），x2＝0.1，
∴x＝0.1．
故选：
B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：
a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
7．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：
根据题意，知，
，
解方程得：
m＝2．
故选：
B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（4分）根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26D．3.25＜x＜3.28
【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．
【解答】解：
由图表可知，ax2+bx+c＝0时，3.24＜x＜3.25．
故选：
B．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正（或由正到负）时，对应的自变量取值范围．
9．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：
由题意可得，
×100%＝30%，
解得，n＝20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
10．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（ ）
A．116cmB．29cmC．
cmD．
cm
【分析】根据菱形的性质：
两条对角线相互垂直且互相平分，求出AO＝CO＝2，BO＝CO＝5，然后根据勾股定理求出AB的长．
【解答】解：
因为菱形的两条对角线互相垂直平分，
所以AC⊥BD，AO＝CO＝2cm，BO＝CO＝5cm，
由勾股定理得AB＝
＝
cm．
故选：
D．
【点评】此题主要考查菱形的性质及勾股定理的运用．
11．（4分）连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：
画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的只有1种情况，
∴3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是
，
故选：
C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）设m＜0，那么方程x2+2x+m＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一正根，一负根且负根的绝对值较大
D．有一正根，一负根且正根的绝对值较大
【分析】根据一元二次方程根的判别式可以判断根的情况，然后根据根与系数的关系即可判断两根的情况，本题得以解决．
【解答】解：
∵方程x2+2x+m＝0，m＜0，
∴△＝22﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设这两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m＜0，
∴该方程有一正根，一负根且负根的绝对值较大，
故选：
C．
【点评】本替考查根的判别式、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式解答．
13．（4分）某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ）
A．5000（1+x2）＝7200
B．5000（1+x）+5000（1+x）2＝7200
C．5000（1+x）2＝7200
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7200
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．
【解答】解：
设平均每月的增长率为x，
根据题意列出方程为5000（1+x）2＝7200．
故选：
C．
【点评】本题是一元二次方程的应用，可按照增长率的一般规律进行解答．
14．（4分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
【解答】解：
根据平行四边形的性质得：
OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：
BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝
×20＝10cm．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．
15．（4分）将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上（如图点B′），若AB＝
，则折痕AE的长为（ ）
A．
B．
C．2D．2
【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
【解答】解：
延长EB′与AD交于点F；
∵∠AB′E＝∠B＝90°，MN是对折折痕，
∴EB′＝FB′，∠AB′E＝∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE＝AF，
∴∠B′AE＝∠B′AD（等腰三角形三线合一），
故根据题意，
易得∠BAE＝∠B′AE＝∠B′AD；
故∠EAB＝30°，
∴EB＝
EA，
设EB＝x，AE＝2x，
∴（2x）2＝x2+AB2，x＝1，
∴AE＝2，
则折痕AE＝2，
故选：
C．
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为
．
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．
【解答】解：
小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率为
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．
17．（4分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，那么k＝ 3 ，另一个根x＝ ﹣3 ．
【分析】可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．
【解答】解：
设方程的另一根为x1，
又∵x＝1，
∴
，
解得x1＝﹣3，k＝3．
故填空答案为k＝3，x＝﹣3．
【点评】此题也可先将x＝1代入方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0中求出k的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．
18．（4分）已知菱形一条对角线为长8
cm，周长是24cm，则这个菱形的面积是 16
．
【分析】画出草图分析，因为周长是24，所以边长是6，根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【解答】解：
因为周长是24cm，所以边长是6cm，如图所示：
AB＝10cm，AC＝8
cm．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO＝4
cm，AB＝6cm，
在Rt△AOB中，BO＝
＝2cm，
∴BD＝2BO＝4cm，
∴面积S＝
×4×8
＝16
（cm2）．
故答案为16
．
【点评】本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，还考查了菱形面积的计算，对角线乘积的一半．
19．（4分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是 k
且k≠0 ．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0，
即：
4+12k≥0，
解得：
k≥﹣
，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，
故答案为：
k
且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
20．（4分）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为 4 ．
【分析】根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP+CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．
【解答】解：
连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP+CP的值最小，
∵C、A关于BD对称，
∴CP＝AP，
∴EP+CP＝AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP+CP＝AE＝AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∴EP+CP＝4，
故答案为：
4．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
三、计算题（共1小题，满分20分）
21．（20分）
（1）（x+5）2＝16
（2）2x2＝3﹣7x
（3）x2﹣7x+6＝0
（4）x2+（
+1）x+
＝0
【分析】
（1）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
（1）（x+5）2＝16，
（x+5）2﹣16＝0，
（x+5+4）（x+5﹣4）＝0，
∴x+9＝0或x+1＝0，
x1＝﹣9，x2＝﹣1．
（2）2x2＝3﹣7x，
2x2+7x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣3，△＝72﹣4×2×（﹣3）＝73，
∴x＝
＝
，
∴x1＝﹣
，x2＝
．
（3）x2﹣7x+6＝0
（x﹣6）（x﹣1）＝0，
x﹣6＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣6，x2＝1
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