债券相关简易计算器.docx
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债券相关简易计算器
Richmall應用
東吳會碩一90352028廖彩梅
投資學百樂園
1.債券相關簡易計算器
適用範圍:
中央及地方政府公債、建設公債及以台幣發行之國際債券
目的:
債券價值的評斷,可將其視為未來一連串現金流量的折現值,因此當市場利率上下震盪時,債券價格會因而隨之起伏,此時,如何調整投資組合使其不受利率影響,或利用利率波動提高投資組合的價值,就得靠利率風險管理的技巧。
以下將利用存續期間(Duration)的計算與意義及債券凸性(Convexity)的觀念,來衡量債券的利率風險。
存續期間:
簡單地說,就是債券的平均到期期限,由於存續期間的長短可以代表債券價格對利率之敏感度大小,故為衡量債券利率風險一項有利的工具。
但用存續期間來衡量債券的利率風險有一定的限制,只有在利率小幅波動時方方準確估算出債券價格的變化,此乃因存續價格的計算是假設債券價格與殖利率的關係為線性的,然而實際上的關係並非如此,所以利用債券凸性之計算來彌補。
債券凸性:
由馬凱爾債券價格定理,可得知債券價格與殖利率的關係如圖示,是一凸向原點的弧線。
對此可利用泰勒級數展開法,導出價格凸性係數(DollarConvexity),配合存續期間使用,才可更正確的計算出債券的利率風險。
凸性計算說明
存續期間的計算,是假設債券價格與殖利率的關係是線性的,然而實際上債券價格與殖利率的關係卻不是線性的,而是凸向原點的弧線。
用數學式表示為:
故欲衡量殖利率波動較大時的利率風險,除存續期間外,尚需考量債券的「凸性」。
首先,將債券價格波動用泰勒級數展開表示如下:
其中第一項
中即為負的修正存續期間,而第二項的
則稱其為凸性係數。
從公式中,我們也可很清楚的發現,存續期間其實只能代表部分的債券利率風險,還要配合凸性係數才能更正確計算債券的利率風險。
因此若利率變動
,則債券價格變動
+凸性係數*
執行結果:
債券基本資料
日期
表單的頂端
/
/
表單的底部
使用者可自行更改輸入
債券代號
B8801 88央債乙一
88年度乙類第一期中央政府建設公債
票面價格
100
到期期限(年)
17.0438
票面利率
5.875%
殖利率
表單的頂端
%
表單的底部
使用者可自行更改輸入
計息次數(年)
1
債券利率計算結果
報價/合理價
115.577
市場上債券的成交價或根據自行輸入之殖利率計算的合理價
存續期間
11.097
修正存續期間
10.615
當利率微小變動時,債券價格的變動幅度。
價格存續期間
-1061.536
當利率微小變動時,債券價格的變動金額。
價格凸性係數
2.585
當利率變動較大時,債券價格的變動金額需加入價格凸性係數,若價格凸性係數愈大即表示此債券的凸性愈強。
凸性係數
0.026
當利率變動較大時,債券價格的變動幅度需加入凸性係數考慮,所求得的利率風險值會較準確。
簡易結果說明:
1.當殖利率變動很小時,可直接從存續期間的大小來判定期利率風險的大小,存續期間越大其利率風險隨之增大。
2.若已知殖利率的變動,將其乘上修正存續期間即可知債券價格變動的大小。
3.若殖利率變動較大時,則需將凸性係數考慮進去。
表單的底部
從前畫面已經計算出債券的利率風險值,以下我們則提供三個應用工具,投資者
只需輸入利率的變動值,即可得知債券相對應的變動比例,得知實際的債券價格
變動值,另外也以圖表更清楚的表現出此債券的利率風險。
B880188央債乙一
殖利率每增加
表單的頂端
表單的底部
%,價格將變動
表單的頂端
表單的底部
,
債券價格變動率為
表單的頂端
表單的底部
%
殖利率敏感度分析資料表
B880188央債乙一
殖利率每增加0.5%,價格將變動-5.300,債券價格變動率為5.30%
殖利率變動
價格變動率
殖利率變動
價格變動率
-8.0%
0.849
0.5%
-0.053
-7.5%
0.796
1.0%
-0.106
-7.0%
0.743
1.5%
-0.159
-6.5%
0.690
2.0%
-0.212
-6.0%
0.637
2.5%
-0.265
-5.5%
0.584
3.0%
-0.318
-5.0%
0.531
3.5%
-0.372
-4.5%
0.478
4.0%
-0.425
-4.0%
0.425
4.5%
-0.478
-3.5%
0.372
5.0%
-0.531
-3.0%
0.319
5.5%
-0.584
-2.5%
0.265
6.0%
-0.637
-2.0%
0.212
6.5%
-0.690
-1.5%
0.159
7.0%
-0.743
-1.0%
0.106
7.5%
-0.796
-0.5%
0.053
8.0%
-0.849
0.0%
0.000
2.拔靴法殖利率曲線估計
適用範圍:
利率交換之殖利率曲線
目的:
我們從關於固定收益證券的資料中,可發現到期期限不同的固定收益證券,其殖利率往往也不同,若能將各固定收益證券的到期期限與殖利率配對繪成關係圖,藉此不但可清楚的看出長短期固定收益證券的利差關係,也提供了評價固定收益資產及利率衍生證券之基礎。
但國內市場上所交易的固定收益證券,大多是附息的,其殖利率在應用上,並無法合理的表達利率的涵義,而零息固定收益證券殖利率,其卻無法直接從市場上觀察到。
而關於利率的衍生商品中,利率交換(Interestrateswap)因具有藉交換固定與浮動利息以契合資產負債型態之性質,提供了投資者降低利率風險之功能,其重要性在對利率衍生商品的發展有舉足輕重的地位,因此以下我們將針對利率交換之報價利率,利用市場上現有的資訊,估計出其殖利率曲線。
殖利率曲線:
將債券的到期期限繪於橫軸,相對應的殖利率繪於縱軸,此債券期限與殖利率的關係,即為殖利率曲線(YieldCurve)。
利率交換:
所謂利率交換(Interestrateswap),是藉利息支付方式之改變,而改變債權或債務之結構,利率互換的雙方,在訂定利率交換的契約後,彼此同意契約規定的期間中互換附息的方式,如以浮動利率交換固定利率,可知其與債券擁有類似的性質,是屬於一固定收益證券(Fixed-IncomeSecurities),且期限也達七年之久,適合作為殖利率曲線之標的物。
在估計值利率曲線時,理論上有二種方法,第一種是利用存續期間,在期限上作調整的存續期法(Durationmethod);另一種是直接求取出殖利率的零息債券法(Zerocouponmethod),其中拔靴法(bootstrapping)適合處理樣本少的資料,且此法在理論上亦較簡單,計算結果快速。
而利率交換在我國市場僅有一、二、三、五、七年五筆資料,在觀察值如此少的情況之下,正好拔靴法可以用插補法解決,符合市場實際狀況的需求,因此,本計算器採用拔靴法估計利率交換的殖利率曲線。
遠期利率:
以未來某一時點起算一段時間的利率水準,即稱為遠期利率(ForwardInterestRate)。
假設現欲作一年期的短期投資,在固定收益證券上有兩種選擇方式,一是直接購買一年期的國庫券;另一是先投資六個月期的國庫券,到期後再投資一次,但此種投資方式,後六個月的報酬率是不確定,無法直接從市場上觀察到,但透過「無套利機會」的觀念,利用即期殖利率曲線可推得隱含的遠期利率,由此將對固定收益證券投資標的之選擇有所助益,也可尋找各種期限固定收益證券間的套利機會,賺取無風險的報酬。
首先對利率交換的現金流量作一說明:
利率交換是指浮動利率與固定利率間的交換,而金融界在市場上是以固定利率報價,而其是半年附息一次,因此現金流量可以表示為:
此為一期數為T之利率交換的現金流量圖,特色是並無本金的歸還,因此各期的現金流量皆為固定。
由此從固定收益證券現值的算法,可以推倒出以下的公式:
其中,P(T):
第T期債券的現值。
T:
債券的到期期數。
Ct:
在第t期所收到的現金流入。
DFt:
折現因子,即
。
Y(t):
到期日為t期之零息殖利率。
從公式
(1)中,可知由市場上附息固定收益證券的殖利率rT,可求得到DFt,若有第一期的零息殖利率Y
(1),再使用疊代法便可推得各期零息的殖利率Y(t),詳細步驟如下:
1、率交換在我國市場上,僅有一、二、三、五、七年五筆資料,附息方式是
半年為一期,首先使用線性差補法或指數差補法,將各半年期殖利率rT求得,
差補法的公式如下:
考慮兩個資料點(T1,r1)與(T2,r2),已知Ti,欲求ri1:
線性差補法:
指數差補法:
二、在貨幣市場上選取180天期商業本票的賣出利率,將其視為半年期的殖利率
r1,至此我們已求得rT,T=1,2,3………14。
三、一年期的利率交換現金流量圖為:
在步驟一中已知r2,而步驟二將180天期商業本票的賣出利率,視為半年期的殖利率,因其無票息效果的問題,可將其視為Y
(1),再利用公式
(1),便可求得一年期零息利率交換的殖利率。
四、一年半期的利率交換現金流量圖為:
在步驟一中已求得r3,而步驟二中可得Y
(1),步驟三也可求得Y
(2),再利用公式
(1),便可求得一年半期零息利率交換的殖利率Y(3)。
五、反覆進行步驟三、四,即可求出各期之零息殖利率。
遠期利率計算方法說明
在求得殖利率曲線後,我們可利用「無套利機會」的觀念,推得遠期利率與即期利率間的關係式,可得
即
其中,Ct:
在第t期所收到的現金流入。
Y(t):
表示第t期的即期利率。
fs,t:
表示第s期至第t期的遠期利率。
現我們若固定s,式
(2)可轉換為:
依此我們可求得s年後為起始日,各期零息債券的殖利率。
執行結果:
以線性內插法估計殖利率曲線
利率交換(IRS)之殖利率曲線圖
年期
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
殖利率
5.000%
5.424%
5.647%
5.924%
5.890%
6.015%
6.023%
年期
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
殖利率
6.107%
6.191%
6.276%
6.194%
6.239%
6.284%
6.331%
遠期殖利率──線性內差法
使用者輸入年數3年,即代表使用者選擇3年後為計算起始日,又因利率交換是以半年為一期,若以S代表期數,也可視為是6期後為計算起始日,下圖即為3年後各期債券的殖利率曲線圖。
遠期利率交換(IRS)之殖利率曲線圖
年期
0.5
1.0
1.5
2.0
殖利率
6.075%
6.383%
6.544%
6.669%
年期
2.5
3.0
3.5
4.0
殖利率
6.408%
6.463%
6.516%
6.568
以指數內插法估計殖利率曲線
利率交換(IRS)之殖利率曲線圖
年期
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
殖利率
5.000%
5.424%
5.641%
5.929%
5.888%
6.017%
6.020%
年期
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
殖利率
6.105%
6.191%
6.280%
6.192%
6.239%
6.284%
6.332%
遠期殖利率──指數內差法
使用者輸入年數3年,即代表使用者選擇3年後為計算起始日,又因利率交換是以半年為一期,若以S代表期數,也可視為是6期後為計算起始日,下圖即為3年後各期債券的殖利率曲線圖。
遠期利率交換(IRS)曲線圖
年期
0.5
1.0
1.5
2.0
殖利率
6.044%
6.371%
6.541%
6.675%
年期
2.5
3.0
3.5
4.0
殖利率
6.403%
6.461%
6.514%
6.569%
3.存續期間調整法之殖利率曲線估計
適用範圍:
以每日成交之政府公債及普通公司債計算殖利率曲線
目的:
所謂的利率期間結構(termstructureofinterestrate)是描述即期利率(spotrate)與到期日之間的關係,也可看作是零息債券的殖利率與到期日間的關係。
而任何固定收益證券都可以視為一連串零息債券的組合,所以若知道零息債券的殖利率曲線,則所有的固定收益證券就可以評價出來。
更進一步,對由債券、利率衍生出來的金融商品,也可以進行訂價。
但市場上發行的債券多是附息債券,此時即面臨票息效果的問題,因此,本計算器利用存續期間調整法,求出所需的零息債券殖利率曲線。
殖利率曲線估計方法:
本計算器利用存續期間調整法,求出所需的零息債券殖利率曲線。
選取四種模型:
折線圖法:
以直線連結各點。
二次多項式:
最常見的方法,Y=a1+a2d+a3d2。
Adams&Deventer法:
─文獻實証結果較佳的方法,Y=b1+b2d+b3d4。
Hull法:
以倒數方法來進行配適,Y=c1+c2d+c3/(1+d)。
理論上,應以「零息債券」之交易價格,來推估零息債券之殖利率曲線。
但國內零息公債並不盛行,截至目前,僅發行過兩個。
實務上,只能「附息債券」來推估殖利率曲線。
當同時到期的兩個公債,一個附息,一個零息,報價一樣的話,由於附息債券在到期之前一直有票息收入,所推算出來的殖利率就比零息債券的殖利率小,導致附息債券殖利率曲線低於所要的零息債券殖利率曲線。
如下圖所示:
存續期間的詳細計算公式為:
推估yieldcurve
執行結果:
在91/04/11有成交的政府公債
債券名稱
成交量(千元)
殖利率
到期日期
光投債9A01
1,029
2.000
2006/12/11
亞泥債51A
2,101
2.308
2006/10/22
南亞債6BA無
2,047
2.390
2008/12/10
台電債8902AC無
1,091
2.431
2005/4/20
宏碁債1F
2,169
2.569
2005/1/21
90台電2B04無
11,311
2.638
2011/7/3
央債85-3
51,568
2.650
2002/12/22
台塑石債5C07
22,414
2.666
2011/6/8
88高建債二
164,531
2.733
2005/11/3
麥寮債2F
2,260
2.750
2008/2/12
台塑石債2C01
2,142
2.795
2004/7/26
長榮航債6C
1,088
2.796
2005/7/25
91央債甲一
148,582
2.800
2004/1/18
鴻海債1AA無
989
2.803
2006/12/14
新光三越債1I
2,040
2.960
2006/10/11
台電8901H無
2,150
2.983
2007/1/18
聯電90A03無
2,123
3.079
2006/4/18
台電9001AQ無
2,102
3.100
2006/6/18
怡華債3B
1,048
3.290
2004/5/27
亞泥債51B
2,004
3.446
2006/10/22
台塑石債2A06
1,055
3.500
2004/8/2
88台塑石1C
2,081
3.507
2004/5/13
陽明8E無
2,093
3.538
2008/7/20
89央債甲12
105,011
3.540
2005/9/13
91央債甲二
1,756,488
3.558
2007/1/29
台積電5BG無
4,733
3.654
2009/1/18
台電債903AH無
289,899
3.700
2006/11/30
華航2M無
2,073
3.739
2006/8/3
聯電90B17無
2,125
3.873
2008/4/24
中鋼鋁90B01
948
4.050
2006/12/11
91央債甲四
11,747,363
4.089
2012/3/8
德勤債2C01
1,030
4.212
2005/7/11
90央債甲一
210,431
4.391
2011/1/9
89央債甲六
110,215
4.401
2009/12/17
89央債甲二
57,687
4.401
2009/8/20
89央債甲五
109,262
4.413
2009/11/23
麥寮債2E
1,035
4.500
2008/2/9
88央債甲三
2,282,202
4.501
2019/1/22
90央債甲六
183,732
4.532
2016/8/7
91央債甲三
1,203,107
4.540
2022/2/5
88央債乙一
1,213,573
4.542
2019/4/23
90央債甲七
267,006
4.549
2016/10/19
89央債乙一
1,160,646
4.550
2020/4/21
台電8802無
1,023
4.553
2006/5/6
90央債甲八
364,218
4.574
2021/11/13
89央債甲13
439,258
4.577
2020/11/14
90央債甲四
100,570
4.579
2021/5/8
88央債甲二
220,348
4.608
2018/11/24
90央債乙01
1,289,133
4.625
2021/9/11
90央債甲五
335,276
4.646
2031/7/17
台塑石債4B06
2,030
4.860
2006/2/15
麥寮港債1A
2,045
5.085
2004/11/19
88台塑石1N
998
5.641
2004/5/20
陽明債6J無
1,998
6.105
2010/6/9
存續期間調整法之殖利率曲線估計
模型一:
折線法圖法,配適殖利率曲線
在91/04/11所估計出的殖利率曲線
折線法殖利率曲線圖
存續期間
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
殖利率
2.000%
2.308%
2.431%
2.638%
2.666%
2.750%
2.796%
2.803%
存續期間
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
殖利率
2.983%
3.100%
3.446%
3.507%
3.538%
3.654%
3.739%
4.050%
存續期間
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
殖利率
4.212%
3.873%
3.700%
4.500%
3.500%
3.290%
4.553%
3.079%
存續期間
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
殖利率
2.960%
2.795%
5.085%
6.105%
5.641%
4.860%
2.569%
2.390%
存續期間
0.699
1.750
1.972
3.150
4.516
5.985
6.298
6.346
殖利率
2.650%
2.800%
2.733%
3.540%
3.558%
4.401%
4.413%
4.401%
存續期間
7.225
8.438
10.893
11.097
11.221
11.373
11.508
11.672
殖利率
4.391%
4.089%
4.532%
4.542%
4.549%
4.608%
4.550%
4.501%
存續期間
12.279
12.558
13.271
13.550
13.553
16.913
殖利率
4.577%
4.579%
4.625%
4.540%
4.574%
4.646%
存續期間調整法之殖利率曲線估計
模型二:
二次多項式法,配適殖利率曲線
在91/04/11所估計出的殖利率曲線
二次多項式配適殖利率曲線
存續期間
1
2
3
4
5
6
7
殖利率
3.538%
3.650%
3.757%
3.861%
3.960%
4.054%
4.145%
存續期間
8
9
10
11
12
13
14
殖利率
4.231%
4.313%
4.391%
4.464%
4.534%
4.599%
4.659%
迴歸統計ANOVA
R平方
0.2700
自由度
SS
MS
F
截矩係數
3.4214
迴歸
2
12.3077
6.1539
9.4
變數1係數
0.11835
殘差
51
33.2690
0.6523
變數2係數
-0.00214
總和
53
45.5768
存續期間調整法之殖利率曲線估計
模型一:
Adams&Deventer法,配適殖利率曲線
在91/04/11所估計出的殖利率曲線
Adams&Deventer法配適殖利率曲線
存續期間
1
2
3
4
5
6
7
殖利率
3.528%
3.636%
3.744%
3.851%
3.956%
4.059%
4.159%
存續期間
8
9
10
11
12
13
14
殖利率
4.255%
4.344%
4.426%
4.499%
4.561%
4.610%
4.643%
迴歸統計ANOVA
R平方
0.2726
自由度
SS
MS
F
截矩係數
3.4193