债券相关简易计算器.docx

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债券相关简易计算器

Richmall應用

東吳會碩一90352028廖彩梅

投資學百樂園

1.債券相關簡易計算器

適用範圍：

中央及地方政府公債、建設公債及以台幣發行之國際債券　

目的：

　　債券價值的評斷，可將其視為未來一連串現金流量的折現值，因此當市場利率上下震盪時，債券價格會因而隨之起伏，此時，如何調整投資組合使其不受利率影響，或利用利率波動提高投資組合的價值，就得靠利率風險管理的技巧。

以下將利用存續期間（Duration）的計算與意義及債券凸性（Convexity）的觀念，來衡量債券的利率風險。

存續期間：

　　簡單地說，就是債券的平均到期期限，由於存續期間的長短可以代表債券價格對利率之敏感度大小，故為衡量債券利率風險一項有利的工具。

但用存續期間來衡量債券的利率風險有一定的限制，只有在利率小幅波動時方方準確估算出債券價格的變化，此乃因存續價格的計算是假設債券價格與殖利率的關係為線性的，然而實際上的關係並非如此，所以利用債券凸性之計算來彌補。

債券凸性：

　　由馬凱爾債券價格定理，可得知債券價格與殖利率的關係如圖示，是一凸向原點的弧線。

對此可利用泰勒級數展開法，導出價格凸性係數（DollarConvexity），配合存續期間使用，才可更正確的計算出債券的利率風險。

凸性計算說明

　　存續期間的計算，是假設債券價格與殖利率的關係是線性的，然而實際上債券價格與殖利率的關係卻不是線性的，而是凸向原點的弧線。

用數學式表示為：

故欲衡量殖利率波動較大時的利率風險，除存續期間外，尚需考量債券的「凸性」。

首先，將債券價格波動用泰勒級數展開表示如下：

其中第一項

中即為負的修正存續期間，而第二項的

則稱其為凸性係數。

從公式中，我們也可很清楚的發現，存續期間其實只能代表部分的債券利率風險，還要配合凸性係數才能更正確計算債券的利率風險。

因此若利率變動

，則債券價格變動

+凸性係數*

執行結果：

債券基本資料

日期

表單的頂端

表單的底部

使用者可自行更改輸入

債券代號

B8801 88央債乙一

88年度乙類第一期中央政府建設公債

票面價格

100

到期期限（年）

17.0438

票面利率

5.875%

殖利率

表單的頂端

表單的底部

使用者可自行更改輸入

計息次數（年）

債券利率計算結果

報價/合理價

115.577

市場上債券的成交價或根據自行輸入之殖利率計算的合理價

存續期間

11.097

修正存續期間

10.615

當利率微小變動時，債券價格的變動幅度。

價格存續期間

-1061.536

當利率微小變動時，債券價格的變動金額。

價格凸性係數

2.585

當利率變動較大時，債券價格的變動金額需加入價格凸性係數，若價格凸性係數愈大即表示此債券的凸性愈強。

凸性係數

0.026

當利率變動較大時，債券價格的變動幅度需加入凸性係數考慮，所求得的利率風險值會較準確。

簡易結果說明：

1.當殖利率變動很小時，可直接從存續期間的大小來判定期利率風險的大小，存續期間越大其利率風險隨之增大。

2.若已知殖利率的變動，將其乘上修正存續期間即可知債券價格變動的大小。

3.若殖利率變動較大時，則需將凸性係數考慮進去。

表單的底部

從前畫面已經計算出債券的利率風險值，以下我們則提供三個應用工具，投資者

只需輸入利率的變動值，即可得知債券相對應的變動比例，得知實際的債券價格

變動值，另外也以圖表更清楚的表現出此債券的利率風險。

B880188央債乙一

殖利率每增加

表單的頂端

表單的底部

%，價格將變動

表單的頂端

表單的底部

，

債券價格變動率為

表單的頂端

表單的底部

殖利率敏感度分析資料表

B880188央債乙一

殖利率每增加0.5%，價格將變動-5.300，債券價格變動率為5.30%

殖利率變動

價格變動率

殖利率變動

價格變動率

-8.0%

0.849

0.5%

-0.053

-7.5%

0.796

1.0%

-0.106

-7.0%

0.743

1.5%

-0.159

-6.5%

0.690

2.0%

-0.212

-6.0%

0.637

2.5%

-0.265

-5.5%

0.584

3.0%

-0.318

-5.0%

0.531

3.5%

-0.372

-4.5%

0.478

4.0%

-0.425

-4.0%

0.425

4.5%

-0.478

-3.5%

0.372

5.0%

-0.531

-3.0%

0.319

5.5%

-0.584

-2.5%

0.265

6.0%

-0.637

-2.0%

0.212

6.5%

-0.690

-1.5%

0.159

7.0%

-0.743

-1.0%

0.106

7.5%

-0.796

-0.5%

0.053

8.0%

-0.849

0.0%

0.000

2.拔靴法殖利率曲線估計

適用範圍：

利率交換之殖利率曲線

目的：

　　我們從關於固定收益證券的資料中，可發現到期期限不同的固定收益證券，其殖利率往往也不同，若能將各固定收益證券的到期期限與殖利率配對繪成關係圖，藉此不但可清楚的看出長短期固定收益證券的利差關係，也提供了評價固定收益資產及利率衍生證券之基礎。

但國內市場上所交易的固定收益證券，大多是附息的，其殖利率在應用上，並無法合理的表達利率的涵義，而零息固定收益證券殖利率，其卻無法直接從市場上觀察到。

而關於利率的衍生商品中，利率交換（Interestrateswap）因具有藉交換固定與浮動利息以契合資產負債型態之性質，提供了投資者降低利率風險之功能，其重要性在對利率衍生商品的發展有舉足輕重的地位，因此以下我們將針對利率交換之報價利率，利用市場上現有的資訊，估計出其殖利率曲線。

殖利率曲線：

　　將債券的到期期限繪於橫軸，相對應的殖利率繪於縱軸，此債券期限與殖利率的關係，即為殖利率曲線（YieldCurve）。

利率交換：

　　所謂利率交換（Interestrateswap），是藉利息支付方式之改變，而改變債權或債務之結構，利率互換的雙方，在訂定利率交換的契約後，彼此同意契約規定的期間中互換附息的方式，如以浮動利率交換固定利率，可知其與債券擁有類似的性質，是屬於一固定收益證券（Fixed-IncomeSecurities），且期限也達七年之久，適合作為殖利率曲線之標的物。

在估計值利率曲線時，理論上有二種方法，第一種是利用存續期間，在期限上作調整的存續期法（Durationmethod）；另一種是直接求取出殖利率的零息債券法（Zerocouponmethod），其中拔靴法（bootstrapping）適合處理樣本少的資料，且此法在理論上亦較簡單，計算結果快速。

而利率交換在我國市場僅有一、二、三、五、七年五筆資料，在觀察值如此少的情況之下，正好拔靴法可以用插補法解決，符合市場實際狀況的需求，因此，本計算器採用拔靴法估計利率交換的殖利率曲線。

遠期利率：

　　以未來某一時點起算一段時間的利率水準，即稱為遠期利率（ForwardInterestRate）。

假設現欲作一年期的短期投資，在固定收益證券上有兩種選擇方式，一是直接購買一年期的國庫券；另一是先投資六個月期的國庫券，到期後再投資一次，但此種投資方式，後六個月的報酬率是不確定，無法直接從市場上觀察到，但透過「無套利機會」的觀念，利用即期殖利率曲線可推得隱含的遠期利率，由此將對固定收益證券投資標的之選擇有所助益，也可尋找各種期限固定收益證券間的套利機會，賺取無風險的報酬。

首先對利率交換的現金流量作一說明：

　　利率交換是指浮動利率與固定利率間的交換，而金融界在市場上是以固定利率報價，而其是半年附息一次，因此現金流量可以表示為：

　　此為一期數為T之利率交換的現金流量圖，特色是並無本金的歸還，因此各期的現金流量皆為固定。

由此從固定收益證券現值的算法，可以推倒出以下的公式：

其中，P（T）：

第T期債券的現值。

T：

債券的到期期數。

Ct：

在第t期所收到的現金流入。

DFt：

折現因子，即

。

Y（t）：

到期日為t期之零息殖利率。

從公式

（1）中，可知由市場上附息固定收益證券的殖利率rT，可求得到DFt，若有第一期的零息殖利率Y

（1），再使用疊代法便可推得各期零息的殖利率Y（t），詳細步驟如下：

1、率交換在我國市場上，僅有一、二、三、五、七年五筆資料，附息方式是

半年為一期，首先使用線性差補法或指數差補法，將各半年期殖利率rT求得，

差補法的公式如下：

考慮兩個資料點（T1,r1）與（T2,r2），已知Ti，欲求ri1：

線性差補法：

指數差補法：

二、在貨幣市場上選取180天期商業本票的賣出利率，將其視為半年期的殖利率

r1，至此我們已求得rT，T=1,2,3………14。

三、一年期的利率交換現金流量圖為：

在步驟一中已知r2，而步驟二將180天期商業本票的賣出利率，視為半年期的殖利率，因其無票息效果的問題，可將其視為Y

（1），再利用公式

（1），便可求得一年期零息利率交換的殖利率。

四、一年半期的利率交換現金流量圖為：

在步驟一中已求得r3，而步驟二中可得Y

（1），步驟三也可求得Y

（2），再利用公式

（1），便可求得一年半期零息利率交換的殖利率Y（3）。

五、反覆進行步驟三、四，即可求出各期之零息殖利率。

遠期利率計算方法說明

　　在求得殖利率曲線後，我們可利用「無套利機會」的觀念，推得遠期利率與即期利率間的關係式，可得

即

其中，Ct：

在第t期所收到的現金流入。

Y（t）：

表示第ｔ期的即期利率。

fs,t：

表示第ｓ期至第ｔ期的遠期利率。

現我們若固定ｓ，式

（2）可轉換為：

依此我們可求得s年後為起始日，各期零息債券的殖利率。

執行結果：

以線性內插法估計殖利率曲線

利率交換（IRS）之殖利率曲線圖

年期

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

殖利率

5.000%

5.424%

5.647%

5.924%

5.890%

6.015%

6.023%

年期

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

殖利率

6.107%

6.191%

6.276%

6.194%

6.239%

6.284%

6.331%

遠期殖利率──線性內差法

使用者輸入年數3年，即代表使用者選擇3年後為計算起始日，又因利率交換是以半年為一期，若以S代表期數，也可視為是6期後為計算起始日，下圖即為3年後各期債券的殖利率曲線圖。

遠期利率交換（IRS）之殖利率曲線圖

年期

0.5

1.0

1.5

2.0

殖利率

6.075%

6.383%

6.544%

6.669%

年期

2.5

3.0

3.5

4.0

殖利率

6.408%

6.463%

6.516%

6.568

以指數內插法估計殖利率曲線

利率交換（IRS）之殖利率曲線圖

年期

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

殖利率

5.000%

5.424%

5.641%

5.929%

5.888%

6.017%

6.020%

年期

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

殖利率

6.105%

6.191%

6.280%

6.192%

6.239%

6.284%

6.332%

遠期殖利率──指數內差法

遠期利率交換（IRS）曲線圖

年期

0.5

1.0

1.5

2.0

殖利率

6.044%

6.371%

6.541%

6.675%

年期

2.5

3.0

3.5

4.0

殖利率

6.403%

6.461%

6.514%

6.569%

3.存續期間調整法之殖利率曲線估計

適用範圍：

以每日成交之政府公債及普通公司債計算殖利率曲線　

目的：

　　所謂的利率期間結構（termstructureofinterestrate）是描述即期利率（spotrate）與到期日之間的關係，也可看作是零息債券的殖利率與到期日間的關係。

而任何固定收益證券都可以視為一連串零息債券的組合，所以若知道零息債券的殖利率曲線，則所有的固定收益證券就可以評價出來。

更進一步，對由債券、利率衍生出來的金融商品，也可以進行訂價。

但市場上發行的債券多是附息債券，此時即面臨票息效果的問題，因此，本計算器利用存續期間調整法，求出所需的零息債券殖利率曲線。

殖利率曲線估計方法：

本計算器利用存續期間調整法，求出所需的零息債券殖利率曲線。

選取四種模型：

折線圖法：

以直線連結各點。

二次多項式：

最常見的方法，Y=a1+a2d+a3d2。

Adams＆Deventer法：

─文獻實証結果較佳的方法，Y=b1+b2d+b3d4。

Hull法：

以倒數方法來進行配適，Y=c1+c2d+c3/（1+d）。

理論上，應以「零息債券」之交易價格，來推估零息債券之殖利率曲線。

但國內零息公債並不盛行，截至目前，僅發行過兩個。

實務上，只能「附息債券」來推估殖利率曲線。

　　當同時到期的兩個公債，一個附息，一個零息，報價一樣的話，由於附息債券在到期之前一直有票息收入，所推算出來的殖利率就比零息債券的殖利率小，導致附息債券殖利率曲線低於所要的零息債券殖利率曲線。

如下圖所示：

存續期間的詳細計算公式為：

推估yieldcurve

執行結果：

在91/04/11有成交的政府公債

債券名稱

成交量（千元）

殖利率

到期日期

光投債9A01

1,029

2.000

2006/12/11

亞泥債51A

2,101

2.308

2006/10/22

南亞債6BA無

2,047

2.390

2008/12/10

台電債8902AC無

1,091

2.431

2005/4/20

宏碁債1F

2,169

2.569

2005/1/21

90台電2B04無

11,311

2.638

2011/7/3

央債85-3

51,568

2.650

2002/12/22

台塑石債5C07

22,414

2.666

2011/6/8

88高建債二

164,531

2.733

2005/11/3

麥寮債2F

2,260

2.750

2008/2/12

台塑石債2C01

2,142

2.795

2004/7/26

長榮航債6C

1,088

2.796

2005/7/25

91央債甲一

148,582

2.800

2004/1/18

鴻海債1AA無

989

2.803

2006/12/14

新光三越債1I

2,040

2.960

2006/10/11

台電8901H無

2,150

2.983

2007/1/18

聯電90A03無

2,123

3.079

2006/4/18

台電9001AQ無

2,102

3.100

2006/6/18

怡華債3B

1,048

3.290

2004/5/27

亞泥債51B

2,004

3.446

2006/10/22

台塑石債2A06

1,055

3.500

2004/8/2

88台塑石1C

2,081

3.507

2004/5/13

陽明8E無

2,093

3.538

2008/7/20

89央債甲12

105,011

3.540

2005/9/13

91央債甲二

1,756,488

3.558

2007/1/29

台積電5BG無

4,733

3.654

2009/1/18

台電債903AH無

289,899

3.700

2006/11/30

華航2M無

2,073

3.739

2006/8/3

聯電90B17無

2,125

3.873

2008/4/24

中鋼鋁90B01

948

4.050

2006/12/11

91央債甲四

11,747,363

4.089

2012/3/8

德勤債2C01

1,030

4.212

2005/7/11

90央債甲一

210,431

4.391

2011/1/9

89央債甲六

110,215

4.401

2009/12/17

89央債甲二

57,687

4.401

2009/8/20

89央債甲五

109,262

4.413

2009/11/23

麥寮債2E

1,035

4.500

2008/2/9

88央債甲三

2,282,202

4.501

2019/1/22

90央債甲六

183,732

4.532

2016/8/7

91央債甲三

1,203,107

4.540

2022/2/5

88央債乙一

1,213,573

4.542

2019/4/23

90央債甲七

267,006

4.549

2016/10/19

89央債乙一

1,160,646

4.550

2020/4/21

台電8802無

1,023

4.553

2006/5/6

90央債甲八

364,218

4.574

2021/11/13

89央債甲13

439,258

4.577

2020/11/14

90央債甲四

100,570

4.579

2021/5/8

88央債甲二

220,348

4.608

2018/11/24

90央債乙01

1,289,133

4.625

2021/9/11

90央債甲五

335,276

4.646

2031/7/17

台塑石債4B06

2,030

4.860

2006/2/15

麥寮港債1A

2,045

5.085

2004/11/19

88台塑石1N

998

5.641

2004/5/20

陽明債6J無

1,998

6.105

2010/6/9

存續期間調整法之殖利率曲線估計

模型一：

折線法圖法，配適殖利率曲線

在91/04/11所估計出的殖利率曲線

折線法殖利率曲線圖

存續期間

0.000

殖利率

2.000%

2.308%

2.431%

2.638%

2.666%

2.750%

2.796%

2.803%

存續期間

0.000

殖利率

2.983%

3.100%

3.446%

3.507%

3.538%

3.654%

3.739%

4.050%

存續期間

0.000

殖利率

4.212%

3.873%

3.700%

4.500%

3.500%

3.290%

4.553%

3.079%

存續期間

0.000

殖利率

2.960%

2.795%

5.085%

6.105%

5.641%

4.860%

2.569%

2.390%

存續期間

0.699

1.750

1.972

3.150

4.516

5.985

6.298

6.346

殖利率

2.650%

2.800%

2.733%

3.540%

3.558%

4.401%

4.413%

4.401%

存續期間

7.225

8.438

10.893

11.097

11.221

11.373

11.508

11.672

殖利率

4.391%

4.089%

4.532%

4.542%

4.549%

4.608%

4.550%

4.501%

存續期間

12.279

12.558

13.271

13.550

13.553

16.913

殖利率

4.577%

4.579%

4.625%

4.540%

4.574%

4.646%

存續期間調整法之殖利率曲線估計

模型二：

二次多項式法，配適殖利率曲線

在91/04/11所估計出的殖利率曲線

二次多項式配適殖利率曲線

存續期間

殖利率

3.538%

3.650%

3.757%

3.861%

3.960%

4.054%

4.145%

存續期間

殖利率

4.231%

4.313%

4.391%

4.464%

4.534%

4.599%

4.659%

迴歸統計ANOVA

R平方

0.2700

自由度

截矩係數

3.4214

迴歸

12.3077

6.1539

9.4

變數1係數

0.11835

殘差

33.2690

0.6523

變數2係數

-0.00214

總和

45.5768

存續期間調整法之殖利率曲線估計

模型一：

Adams＆Deventer法，配適殖利率曲線

在91/04/11所估計出的殖利率曲線

Adams＆Deventer法配適殖利率曲線

存續期間

殖利率

3.528%

3.636%

3.744%

3.851%

3.956%

4.059%

4.159%

存續期間

殖利率

4.255%

4.344%

4.426%

4.499%

4.561%

4.610%

4.643%

迴歸統計ANOVA

R平方

0.2726

自由度

截矩係數

3.4193

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