组合数学第四版答案.docx
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组合数学第四版答案
组合数学第四版答案
【篇一:
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】
>1.1题从{1,2,……50}中找两个数{a,b},使其满足
(1)|a-b|=5;
(2)|a-b|?
5;
解:
(1):
由|a-b|=5?
a-b=5或者a-b=-5,
由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。
当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。
所以这样的序列有90对。
(2):
由题意知,|a-b|?
5?
|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0;由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对,当|a-b|=0时有50对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2题5个女生,7个男生进行排列,(a)若女生在一起有多少种不同的排列?
(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列?
(c)两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少?
所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若
(a)男生不相邻(m?
n?
1);(b)n个女生形成一个整体;(c)男生a和女生b排在一起;分别讨论有多少种方案。
解:
(a)可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排,形成n+1个空。
因为m?
n?
1正好m个男生可以插在n+1个空中,形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为
pp
n
n
?
n?
1m
(b)n个女生形成一个整体有n!
种可能,把它看作一个整体和m个男生排在一起,则排列数有(m+1)!
种可能。
因此,共有n!
?
(m?
1)!
种可能。
(c)男生a和女生b排在一起,因为男生和女生可以交换位置,因此有2!
种可能,a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)!
(这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。
共有组合数为2!
?
(m?
n?
1)!
1.4题26个英文字母进行排列,求x和y之间有5个字母的排列数解:
c(24,5)*13!
1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目,而且没有相同的数字。
1.7题试证:
(n?
1)(n?
2)?
(2n)被2n除尽。
n
证明:
因(2n)!
?
2n!
(2n?
1)!
!
(n?
1)(n?
2)?
(2n)n!
(n?
1)(n?
2)?
(2n)(2n)!
?
?
?
(2n?
1)!
!
nnn
2n!
2n!
2
因为(2n-1)!
!
是整数所以(n?
1)(n?
2)?
(2n)能被2n除尽。
1.8题求10和20的公因数数目。
404040403010306030402030
解:
因为10?
2*5?
2*5*520?
2*5?
2*2*5
4030
它们最大公因子为2*5转化为求最大公因子能除尽的整数个数,能除尽它的整数是2a*5b,0?
?
a?
?
40,0?
?
b?
?
30
根据乘法法则,能除尽它的数个数为41*31=1271
2
1.9题试证n的正除数的数目是奇数。
2
证明:
设有0?
a?
n,n?
b?
n2,则一定有表达式n?
a?
b,
则可知符合范围的a和b必成对出现,所以为偶数。
22
又当a=b=n时,表达式n=a?
b仍然成立。
所以n的正除数的数目是―偶数?
1‖为奇数。
1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:
证:
对n用归纳法。
0≤ai≤i,i=1,2,…。
40
30
由假设对n-k!
命题成立,设
,其中ak≤k-1,,命题成立。
再证表示的唯一性:
设
不妨设aj>bj,令j=max{i|ai≠bi}
(aj?
bj)?
j!
?
?
(bi?
ai)?
i!
?
j!
?
?
i?
i!
?
?
bi?
ai?
i!
?
?
(bi?
ai)?
i!
矛盾,命题成立。
1.11题证明nc(n-1,r)=(r+1)c(n,r+1),并给予组合解释.
证:
nc(n?
1,r)?
n
(n?
1)!
(r?
1)?
n!
(r?
1)?
n!
?
?
?
(r?
1)c(n,r?
1)
r!
?
(n?
r?
1)!
(r?
1)?
r!
?
(n?
r?
1)!
(r?
1)!
?
(n?
r?
1)!
所以左边等于右边
组合意义:
等式左边:
n个不同的球,先任取出1个,再从余下的n-1个中取r个;
等式右边:
n个不同球中任意取出r+1个,并指定其中任意一个为第一个。
所以两种方案数相同。
1.12题证明等式:
?
kc(n,k)?
n2
k?
1
n
n?
1
?
n?
1?
n?
n?
1?
n?
1?
n?
1?
n?
1
?
n?
n?
nc(n?
1,0)?
c(n?
1,1)?
l?
c(n?
1,n?
1)?
n2?
右边?
?
证明:
等式左边?
?
n?
?
?
?
?
?
?
?
k?
1?
k?
1?
k?
1?
k?
1?
s?
0?
s?
n
1.13题有n个不同的整数,从中间取出两组来,要求第1组的最小数大于另一组的最大数。
解题思路:
(取法由大到小)
第1步:
从n个数由大到小取一个数做为第一组,其它n-1个数为第二组,
组合数为:
c(n,1)*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}
第2步:
从n个数由大到小取两个数做为第一组,其它n-2个数为第二组,
组合数为:
c(n,2)*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)}…
第n-2步:
从n个数由大到小取n-2个数做为第一组,其它2个数为第二组,组合数为:
c(n,n-2)*{c(2,1)}第n-1步:
从n个数由大到小取n-1个数做为第一组,其它1个数为第二组,组合数为:
c(n,n-1)*{c(1,1}总的组合数为:
c(n,1)?
{c(n?
1,1)?
c(n?
1,2)?
?
?
c(n?
1,n?
1)}?
c(n,2)?
{c(n?
2,1)?
c(n?
2,2)?
?
?
c(n?
2,n?
2)}
?
?
?
c(n,n?
2)?
{c(2,1)?
c(n,n?
1)?
c(1,1)}
1.14题6个引擎分列两排,要求引擎的点火顺序两排交错开来,试求从特定一引擎开始有多少种方案?
解:
第1步从特定引擎对面的3个中取1个有c(3,1)种取法,
第2步从特定引擎一边的2个中取1个有c(2,1)种取法,
第3步从特定引擎对面的2个中取1个有c(2,1)中取法,剩下的每边1个取法固定。
所以共有c(3,1)?
c(2,1)?
c(2,1)=12种方案。
1.15题求1至1000000中0出现的次数。
解:
当第一位为0时,后面6位组成的数可以从1-100000,共100000个0;
当第二位为0时,当第一位取0-9时,后面5位可以取1-9999,此外当第一位取0时,后面5位还可以取为
10000,这样共有9999*10+1=99991个0;
同理第三位为0时,共有99901个0;第四位为0时,共有99001个0;第五位为0时,共有90001个0;
第六位为0时,只有1个0;
这样总共的0数为:
100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。
1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里,且每个盒子里不空的放法。
解:
如果用―o‖表示球,用―|‖表示分界线,就相当于用r-1个―|‖把n个―o‖分成r份,要求是每份至少有一个球。
如下图所示:
00|00000000|00000000|00000|000000……
对于第一个分界线,它有n-1种选择,对于第二个分界线只有n-2个选择,(因为分界线不能相临,如果相临它们之间就没有了球,这不合要求),依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。
但是这样的分法中存在重复,重复度为(r-1)!
所以总得放法为:
(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!
=c(n-1,r-1)。
1.18题8个盒子排成一列,5个有标志的球放到盒子中,每盒最多放一个球,要求空盒不相邻,问有多少种排列方案?
5
解:
要求空盒不相邻,这样球的位置共有8种。
而不同标志的球的排列有p5?
5!
。
所以共有8*5!
种排列。
8
a)1111
b)1111
在a)中剩下的一个球有四种位置,b)中剩下的一个球也有四种位置,两者合起来一共有8种1.17题n和r都是正整数,而且r?
n,试证下列等式:
(a)p?
np
rn
n?
1r?
1
(b)
?
1
pp
r
?
(n?
r?
1)p?
r!
?
r(p
?
1
?
1
(c)
n?
1r?
1
p
?
nn?
r
p
n?
1r
r?
n
(d)
p
n?
1r
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p?
rp
(e)
n?
1
?
p
?
l?
p
r
r?
1
)
解:
(a)n
(n?
1)!
n!
pr?
1?
n?
(n?
r)!
?
(n?
r)!
?
n?
1
n
p
等式成立。
nn!
n!
等式成立。
?
?
pr?
1pr(n?
r?
1)!
(n?
r)!
n?
1nnn(n?
1)!
n!
(c)?
?
?
?
pn?
r(n?
r?
1)!
(n?
r)!
pr等式成立。
n?
rr
(b)(n?
r?
1)?
(n?
r?
1)?
(d)
n!
n!
n!
(n?
r?
1)n!
(n?
1)!
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r?
r?
n!
(n?
1)!
pr?
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(n?
r)!
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r?
(n?
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?
(n?
r?
1)!
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r?
(n?
r?
1)!
?
(n?
r?
1)!
?
(n?
1?
r)!
?
n
n
p
n?
1r
(e)利用(d)的结论可证明本题。
r!
?
r(p
?
1
?
p
n?
1r?
1
?
l?
p
r
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1
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p
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rp?
rp?
rp?
l?
rp?
rp?
p?
rp?
rp?
l?
rp?
rp?
p
r
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1
r?
1
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1
rr
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1r?
1
r?
2r?
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n?
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1
n
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1
r?
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r?
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1
n?
1r?
1
?
1
r
?
rp
n
?
rp
n?
1
?
l?
rp
r
n?
1r
r?
1
1.19题n+m位由m个0,n个1组成的符号串,其中n≤m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。
解:
m个0进行排列,留出m+1个空挡,任选n个空挡放1,共有c(m+1,n)种方案.
1.21题一个盒子里有7个无区别的白球,5个无区别的黑球,每次从中随机取走一个球,已知前面取走6个,其中3个是白的,试问取第6个球是白球的概率。
解:
c(6,2)*c(5,2)*c(5,3)/c(5,3)c(7,3)c(6,3)=3/14
1.20题甲单位有10个男同志,4个女同志,乙单位有15个男同志,10个女同志,由他们产生一个7人的代表团,要求其中甲单位占4人,而且7人中男同志占5人,试问有多少中方案?
解:
1.甲单位出4个男同志,乙单位出1个男同志,从乙单位出2个女同志c(10,4)*c(15,1)*c(10,2)=1417502..甲单位出3个男同志,乙单位出2个男同志,从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。
c(10,3)*c(15,2)*c(4.1)*c(10,1)=504000
3..甲单位出2个男同志,乙单位出3个男同志,从甲单位出2个女同志.c(10,2)*c(15,3)*c(4,2)=1228501+2+3即为所求,总的方案数为7686001.22题求图1-22中从o到p的路经数:
(a)路径必须经过a点;(b)路径必须过道路ab;(c)路径必须过a和c(d)道路ab封锁(但a,b两点开放)解:
(a)分两步走o(0,0)→a(3,2)a(3,2)→p(8,5),根据乘法法则:
?
3?
2?
?
3?
5?
n?
?
?
2?
?
?
?
?
3?
?
?
560
?
?
?
?
3?
2?
?
4?
3?
(b)分两步走o(0,0)→a(3,2),b(4,2)→p(8,5),根据乘法法则:
n?
?
?
?
?
?
?
?
350
?
2?
?
3?
?
?
?
?
3?
2?
?
3?
1?
?
2?
2?
(c)分三步走:
o(0,0)→a(3,2),a(3,2)→c(6,3),c(6,3)→p(8,5),根据乘法法则:
n?
?
?
?
2?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
2?
?
?
240
?
?
?
?
?
?
(d)ab封锁路径数加必经ab路径数即o(0,0)→p(8,5)的所有路径数有加法法则可得:
?
5?
8?
?
3?
2?
?
4?
3?
n?
?
?
5?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
3?
?
?
1287?
350?
937?
?
?
?
?
?
1.23题令s={1,2,…,n+1},n≥2,t={(x,y,z)|x,y,z∈s,xz,yz},试证:
|t|?
?
n?
1?
?
n?
1?
2
k?
?
?
?
?
2?
?
k?
1?
2?
?
3?
n
证明:
要确定x,y,z的取值,有两种方法,
2
2
2
?
k
k?
1
n
2
种可能。
故|t|?
?
k
k?
1
n
2
。
(2)由xz,yz,可以分为三种情况:
①x=yz,x,y可看作一个元素,这种情况等价于从1,2,…,n+1中取2个进行组合,然后比较大小,小者为x(y),大者为z,其组合数为?
?
n?
1?
?
;?
2?
n?
1?
②xyz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合,然后比较大小可得x,y,z,其组合数为?
?
?
;
?
3?
n?
1?
③yxz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合,然后比较大小可得x,y,z,其组合数为?
?
?
。
3?
?
n?
1?
?
n?
1?
?
n?
1?
所以满足题意的x,y,z的组合数为?
n?
1?
+?
n?
1?
+?
=?
?
?
2?
?
。
?
?
?
3?
?
3?
?
?
2?
?
3?
?
?
?
2?
?
?
n?
1?
?
n?
1?
由于这两种方法是等价的,故可得|t|?
?
k2?
?
?
?
2?
?
。
证毕。
k?
1?
2?
?
3?
n
1.24题a={(a,b)|a,b∈z,0≤a≤9,0≤b≤5}(a)求x-y平面上以a作顶点的长方形的数目.(b)求x-y平面上以a作顶点的正方形数目.
解(b):
如下图(b),网格左边是b的取值,下面是a的取值。
网格里是x-y平面上对应每个顶点a(a,b)所得的正方形的数目。
1.26题s={1,2,……,1000},a,b∈s,使ab≡0mod5,求数偶{a,b}的数目
解:
根据题意,ab可以整除5,2*c(200,1)*1000=4000001.25题平面上有15个点p1,p2。
。
。
P15,其中p1p2p3p4p5共线,此外不存在3点共线的。
(1)求至少过15个点中两点的直线的数目
(2)求由15个点中3点组成的三角形的数目
解:
1)由题意知:
p1p2p3p4p5共线,此外不存在3点共线的,所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为:
5*10=50。
另外十个点两两相连得直线数目为:
c102=45
又因为p1p2p3p4p5共线,所以可算作一条至少2点相连的直线所以至少过15个点中两点的直线的数目=50+45+1=96
2)有三种情况a:
没有p1p2p3p4p5这五个点的三角个数:
c103=120
b:
有这五个点的其中一个点:
5*c102225c:
有着五个点的两个点:
10*c52=100由15个点中3点组成的三角形的数目=425故数目为c(15,2)-c(5,2)+1
(b)c(5,0)c(10,3)+c(5,1)c(10,2)+c(5,2)c(10,1)
1.27题6位男宾,5位女宾围一圆桌而坐,
(1)女宾不相邻有多少种方案?
(2)所有女宾在一起有多少种方案?
(3)一女宾a和两位男宾相邻又有多少种方案?
解:
(1)若5位女宾不相邻,先考虑6位男宾围圆桌而做的方案数,然后女宾插入q(6,6)*6*5*4*3*2=86400
(2)把5位女宾看成一个整体,然后插入q(6,6)*6*p(5,5)=86400(3)c(5,1)*c(6,2)*q(8,8)=194000
c(5,1)*c(6,2)*c(5,2)*p(4,2)*7!
1.28题k和n都是正整数,kn位来宾围着k张圆桌而坐,试求其方案数。
解:
若每个圆桌的的人数相等,则每个桌子有n个人。
因为圆周排列的个数为因此本题的结果为
p
r
(kn)!
(kn)!
?
k。
n?
n?
nn
1.29题从n个对象中取个r做圆排列,求其方案数目。
1=r=n
解:
c(n,r)*q(r,r)=c(n,r)*(r-1)!
1.31题试证任意r个相邻数的连乘:
(n?
1)(n?
2)?
(n?
r)被r!
除尽.
【篇二:
组合数学+卢开澄版++答案第四章】
x是群g的一个元素,存在一最小的正整数m,使xm=e,则称m为x
m
n
m?
n
m
等式右边xx=x
nmm?
n
,?
ab?
ba,即所有
的阶,试证:
c={e,x,x2,…,xm-1}证:
x是g的元素,g满足封闭性所以,xk是g中的元素c∈g
再证c是群:
xa∈c,(xa)-1=xb=xm-a
4.3设g是阶为n的有限群,则g的所有元素的阶都不超过n.
证明:
设g是阶为n的有限群,a是g中的任意元素,a的阶素为k,则此题要证k?
n
首先考察下列n+1个元素
a,a,a,a,..a..
234n?
1
由群的运算的封闭性可知,这n+1个元素都属于g,,而g中仅有n个元素,所
以由鸽巢原理可知,这n+1个元素中至少有两个元素是相同的,不妨设为
a
i
i
?
a
i
i?
j
(1?
j?
n)
j
a
?
a?
a
j
j
由群的性质3可知,a是单位元,即a=e,又由元素的阶数的定义可知,当a为k阶元素时a=e,且k是满足上诉等式的最小正整数,由此可证k?
j?
n
k
4.4若g是阶为n的循环群,求群g的母元素的数目,即g的元素可表示a的幂:
a,a2……..an
所以群g中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个.4.5
证明循环群的子群也是循环群
证明:
设h是g=a的子群,若h=e,显然h是循环群,否则取h中最小的正方幂元am,下面证明am是h的生成元,易见am?
h,只要证明h中的任何元素都可以表成am的整数次方,由除法可知存在q和r,使得l=qm+r,其中0?
r?
m-1,因此有ar=al?
qm,因为am是h中最小的正方幂元,必有r=0,这就证明出
a
l
=amq?
{am}证明完毕。
4.6若h是g的子群,x和y是g的元素,试证xh?
yh或为空,或xh?
yh4.7若h是g的子群,|h|=k,试证:
|xh|=k其中x?
g.
证明:
∵h是g的子群,x?
g∴|xh|≤k
如果|xh|k,则必存在a,b?
h,使得xa=xb,因为且x?
g所以存在逆元x-1xa=x-1xb∴a=b∴|h|k又∵|h|=k∴|xh|=k
.4.8有限群g的阶为n,h是g的子群,则h的阶必除尽g的阶。
答案:
已知|g|=n,|h|=|g|
m
r
设g={a0,a1,a2.......an?
1},h={b0,b1,b2......bn?
1}
因为h是g的子群,所以在h中的一个(bm)r一定在g中对应一个am使得
m
(b)?
a
,
所以有brm?
am,则rm一定是m的倍数,所以则h的阶必除尽g的阶。
4.9g是有限群,x是g的元素,则x的阶必除尽g的阶。
解:
证:
设|g|=g,则x,x2,x3,?
xg?
1中必有相同元。
设xk?
xl,1?
k?
l?
g?
1,则xl?
k?
e,1?
l?
k?
g。
对于给定的x,存在最小的正整数r,使得xr?
e。
于是h?
{x,x2,x3,?
xr}是g的子群,
若h?
g,则?
a?
h,显然,h?
ha?
?
,h?
ha?
2r。
若h?
ha?
g,则
2r?
g,r|gr(k?
1)?
g
,否则?
b?
h?
ha,hb?
(h?
ha)?
?
。
于是h?
ha?
hb?
?
?
g,,r|g。
证毕。
4.10若x和y在群g作用下属于同一等价类,则x所属的等价类ex,y所属的等价类ey有
|ex|=|ey|
解:
因为x和y在群g作用下属于同一等价类,所以x和y在群g作用下存在置换p1使x和y互相转变,即
ex=ey={x,y}
所以|ex|=|ey|。
置换群:
格式:
(1)9,1个.
(1)3
(2)3,4个.
(1)(4)2,2个.
(1)
(2)4,1个
=(36+24+4)/8=8
其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案.
4.12:
试用burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。
解:
图一
c1
……………………………………
如图:
n个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。
一共n!
个。
…………………………
旋转360/i,i={n,n-1,n-2,……1};得到n种置换
当且仅当i=1的置换(即顺时针旋转360/1度:
p1=(c1)(c2)……(cn!
);)
时有1阶循环存在(因为只要圆桌转动,所有圆排列中元素的绝对位置都发生了变化,所以不可能有1阶循环存在)。
不同的等价类个数就是不同的圆排列个数,根据burnside引理,
所以一共有(n-1)!
种排列。
4.13对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色,试问有多少种不同的方案,旋转使之重合作为相同处理
解:
首先对每个顶点进行编号,分别为1,2,3,4,5,6,根据旋转的角度不同,共可以旋转6次,得到不同的旋转方式
c
(1)=64?
?
5?
6旋转0度:
1?
?
1?
?
2?
?
?
3?
?
?
旋转60度:
2?
?
123456?
c
(1)=1旋转120度:
3?
?
135?
?
246?
c
(1)=2旋转180度:
4?
?
14?
?
25?
?
36?
c
(1)=3旋转240度:
5?
?
153?
?
264?
c
(1)=2旋转300度:
6?
?
165432?
c
(1)=1所以g=6,根据polya定理,m=5,
l?
11g
?
mc
(1)?
mc
(2)?
...?
mc(6)?
?
?
?
612321
?
?
?
5?
5?
5?
5?
5?
5?
?
6
?
2635
故一共2635种涂色方案
4.15对一个正六面体的8个顶点,用y和r两种颜色染色,使其中有5个顶点用色y,其余3个顶点用色r,求其方案数。
解:
相当于4.7节中例2中求b5r3的系数,为[c(8,5)+8c(2,1)]/24=3
【篇三:
李凡长版组合数学课后习题答案习题4】
1.求下列数列的生成函数:
(1){0,1,16,81,…,n4,…}解:
g{k}=
4
x(1?
11x?
11x2?
x3)
5
(1?
x)
?
?
3?
?
4?
?
n?
3?
?
(2)?
?
?
?
?
?
?
?
?
333?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n?
3?
?
1解:
g?
?
=?
?
(1?
x)4n?
?
?
?
(3){1,0,