数与代数 的概念.docx
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数与代数的概念
六整理和复习
数与代数
(一)
1.整数的意义:
像…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数统称整数。
整数的个数是无限的。
没有最小的整数,也没有最大的整数。
自然数是整数的一部分。
2.自然数的意义:
在数物体个数的时候,用来表示物体个数的1,2,3,4,5,…叫做自然数。
一个物体也没有用0表示。
自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0,没有最大的自然数。
(1)一个自然数有两方面的意义:
一是表示事物的多少,称为基数;二是表示事物的次序,称为序数。
如“3个学生”中的“3”是基数,“第三个学生”中的“3”就是序数。
(2)自然数的基本单位:
任何非0自然数都是由若干个“1”组成的,所以“1”是自然数最基本的单位。
1.正数和负数的意义:
像1(或+1),2,3…这样的数叫做正数;像-3,-2,-1,…这样的数叫做负数。
自然数是大于或等于0的整数,也可以说是不小于0的整数,即“非负整数”。
2.分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(1)分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。
一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一;分子是几,它就有几个这样的分数单位。
(注意:
带分数只有化成假分数后,它的分子才能是这个带分数中含有分数单位的个数。
)
(2)分数的分类。
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。
1.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用“%”表示。
分数和百分数的关系:
分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比;而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能用来表示具体数。
因此,百分数是一种特殊的分数,但分数可以有单位,而百分数不能有单位。
1.小数的意义:
把整数“1”平均分成10份,100份,1000份,…这样的一份或者几份是十分之一,百分之一,千分之一,…或十分之几,百分之几,千分之几,…可以用小数表示。
小数的单位是0,1,0.01,0.001,…它是十进制分数的另一种表现形式。
小数的分类
按小数的整数部分是否为0纯小数
带小数
小数按小数部分的位数有限小数
是否是有限的无限小数无限不循环小数
无限循环小数纯循环小数
混循环小数
(1)纯小数和带小数:
整数部分是0的小数叫做纯小数,纯小数小于1;整数部分不是0的小数叫做带小数,带小数大于1。
(2)有限小数和无限小数:
小数部分位数有限的小数,叫做有限小数;小数部分位数无限的小数,叫做无限小数。
如4.28是有限小数,π是无限小数。
(3)循环小数:
一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
循环小数都是无限小数。
(4)循环节:
一个循环小数的小数部分中,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
(5)纯循环小数和混循环小数:
循环节是从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数;循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
计数单位和数位
1.计数单位:
个、十、百、…以及十分之一、百分之一、…都是计数单位。
2.数位:
各个计数单位所占的位置,叫做数位。
数位是按一定的顺序排列的。
3.十进制计数法:
“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。
它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”,就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位(通常所说的“逢十进一”)。
这种以“十”为基础进位的计数方法,叫做十进制计数法。
4.数的分级:
按照我国的计数习惯,整数从个位起,每四个数位是一级。
个位、十位、百位、千位是个级,表示多少个一;万位、十万位、百万位、千万位是万级,表示多少个万;亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级,表示多少个亿…
数与代数
(二)
一.数的读法和写法
1.整数的读、写法
读法:
从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,其他数位连续有几个0,都只读一个零。
读数前通常先把这个数分级,再按各数级来读。
写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
2.小数的读、写法
读法:
读小数的时候,从左往右,整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作“零”),小数点读作“点”,小数部分从高位到低位顺次读出每一个数位上的数字,即使是连续的0,也要依次读出。
写法:
写小数时,也是按照从左到右的顺序写,整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作“0”),小数点写在个位的右下角,小数部分从高位到低位依次写出每个数位上的数字。
3.分数的读、写法
读法:
读分数时,先读分数的分母,在读“分之”,最后读分子。
读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加一个“又”字。
写法:
写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。
写带分数时,要先写整数部分,再写分数部分。
整数部分要对准分数线,距离要紧凑。
再列式计算中,分数要对准“=”号中两横线的中间。
4.百分数的读、写法
读法:
先读百分号,再读百分号前面的数。
写法:
写百分数时,先写分子,再写百分号。
5.正、负数的读、写法
①正数的读法:
“+”读作“正”,正号后面是几就读作几。
②负数的读法:
“-”读作“负”,负号后面是几就读作几。
③正、负数的读法:
正、负数表示两种具有相反意义的量,为了区分正、负数,正数就在数的前面加“+”,也可以省略不写;负数则在数的前面写“-”,不可省略。
二.数的改写
1.假分数与带分数、整数之间的互化
①假分数化成整数或者带分数的方法:
根据分数与除法的关系,用假分数的分子除以分母,如果分子是分母的倍数,所得的商就是整数;如果分子不是分母的倍数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是分数部分的分子,原分母不变。
②整数化成假分数的方法:
把整数(0除外)化成假分数,用指定的分母(0除外)作分母,用分母和整数的乘积作分子。
2.分数、小数与百分数之间的互化
判断一个分数能否化成有限小数的方法:
要先看这个分数是否是最简分数。
如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数。
如果分母中含有质因数2和5,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
三.数的大小比较
1.整数的大小比较
比较两个整数的大小,要看它们的位数,如果位数不同,那那么位数多的数就大;如果数位相同,就从高位比起,相同数位上的数大的那个数就大。
2.小数的大小比较
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数相同,百分位的数大的那个数就大……以此类推
3.分数的大小比较
①真、假分数或整数部分相同的带分数:
分母相同,分子大则分数大;分子相同,则分母小的分数大;分子和分母都不相同,通分后化成同分母或同分子分数再比较大小。
②整数部分不同的带分数:
整数部分大则分数大。
4.正负数的大小比较
①正数大于负数。
②负数与负数比较,负号后面的数越大,这个数反而越小;负号后面的数越小,这个数反而越大。
数的认识(三)
数的性质
1、分数的基本性质:
分数的分子或分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。
2、小数的基本性质:
(1)小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
(2)小数的基本性质与分数的基本性质之间的关系:
小数的基本性质与分数的基本性质是一样的。
4.小数点位置移动引起小数大小变化的规律:
小数点向右移动一位、两位、三位……该数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……该数就缩小到原来的10/1、100/1、1000/1……应用小数位置移动的变化规律,如果要把一个数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……就要把它的小数点向右移动一位、两位、三位……如果要把一个数缩小到原来的10/1、100/1、1000/1……就要把它的小数点向左移动一位、两位、三位……
数的认识(四)
1、已知a、b、c均为整数(为了方便,在研究因数和倍数时,所指的数不包括0)且a×b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
倍数和因数是相互依存的。
2、一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数既是它本身的因数,也是它本身的倍数。
3、2的倍数的特征:
个位上的数字是0、2、4、6、8。
4、3的倍数的特征:
各个位数上的数字的和是3的倍数。
5、5的倍数的特征:
个位上的数字是0或者是5。
6、既是2又是5的倍数的特征:
个位上的数字是0。
7、奇数:
在自然数中,不是2的倍数的数叫做奇数。
8、偶数:
在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数。
9、研究奇数、偶数时包括0,因此自然数不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。
10、质数的意义:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(素数)。
最小的质数是2,2是唯一的偶质数,没有最大的质数。
11、合数的意义:
一个数如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
最小的合数是4,没有最大的合数。
12、1既不是质数也不是合数。
13、最大公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
14、最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。
其中最大的一个叫做这几个数的最小公倍数。
15、互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
数的运算
整数
小数
分数
加法意义
把两个数合成一个数的运算。
与整数加法的意义相同。
与整数加法的意义相同。
减法意义
已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
与整数减法的意义相同。
与整数减法的意义相同。
乘法意义
求几个相同加数的和的简便运算。
小数乘整数与整数乘法的意义相同;一个数乘小数,就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。
分数乘整数与整数乘法的意义相同;一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。
除法意义
已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
与整数除法的意义相同。
与整数除法的意义相同。
一、四则运算的意义
二、整数四则运算中各部分间的关系
各部分间的关系
加法
和=加数+加数加数=和-另一个加数
减法
差=被除数-除数减数=被减数-差被减数=减数+差
乘法
积=因数×因数一个因数=积÷另一个因数
除法
商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数=除数×商
三、0与1在四则运算中的特殊性:
a+0=aa-0=aa-a=0a×0=0a×1=aa÷1=a0÷a=0
1÷a=
a÷a=1(a作除数时不为0)
四、四则运算定律、运算性质
1、运算定律
名称
文字叙述
字母表示
加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
a+b=b+a
加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者先把后两个数相加,再加上第一个数,它们的和不变。
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
a×b=b×a或
ab=ba
乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘第三个数,或者先把后两个数相乘,再乘第一个数,它们的积不变。
a×b×c
=(a×b)×c
=a×(b×c)
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,等于把这两个数分别与这个数相乘,再把两个积加起来。
(a+b)×c=a×c+b×c
2、运算性质
①减法的运算性质:
a-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c
②除法的运算性质(除数不为0):
a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c
五、四则混合运算的顺序
1、四则运算分为两级:
加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。
2、①在没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先做第二级运算,再做第一级运算。
②在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
四则运算定律、运算性质
1.运算定律。
(1)加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
字母表示:
a+b=b+a
(2)加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。
字母表示:
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
字母表示:
a×b=b×a
(4)乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘第三个数,或者先把后两个数相乘,在和第一个数相乘,他它们的积不变。
字母表示:
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
(5)乘法分配律:
两个数的和与第一个数相乘,等于把这两个数分别于这个数相乘,再把两个积加起来。
字母表示:
(a+b)×c=a×c+b×ca×(b+c)=a×b+a×c
1.运算性质。
(1)减法的运算性质:
a-(b+c)=a-b-ca-(b+c)=a-b+c
(2)除法的运算性质(除数不为0):
a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c(a-b)÷c=a÷c-b÷c
四则混合运算的顺序
1.四则运算分为两级:
加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。
(1)在没有括号的算式里,如果只含有同一级要先做第二级运算运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先做第二级运算,再做第一级运算。
(2)在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
复合应用题
1.复合应用题:
是用两步或两步以上计算来解答的应用题。
分析此类问题,一般采用分析法或综合法。
2.用算术方法解应用题的一般步骤:
(1)审清题意,并找出已知条件和所求问;
(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么;(3)列式计算;(4)检验并写出答语。
复合应用题的类型及解法
1.“归一”问题:
此类应用题中暗含着单一量不变,文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样,其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量(即归一),再以它为标准,根据题目要求算出所求量。
2.“归总”问题:
此类题中暗含着总量不变,即乘积不变。
其解题的关键是求出总数(即归总),再根据总数算出所求量。
3.行程问题:
根据速度、时间和路程之间的关系,计算相向、相背或同向运动的问题,称为行程问题。
其基本的数量关系式为:
速度×时间=路程。
一.相遇问题,即同时相向而行并相遇(或同时背向而行):
速度和×(相遇)时间=总路程。
二.追及问题,即同时同向而行,速度慢的在前,速度快的在后:
速速度差×追及时间=路程差
4.工程问题:
把工作总量看作单位“1”,工作效率用单位时间内完成工作总量的“几分之一”表示。
根据工作总量、工作效率、工作时间其中两种量求出第三种量。
数量关系式为:
工作效率×工作时间=工作总量
5.分数应用题:
关键是找准标准量,即单位“1”。
若单位“1”已知,用乘法计算;若单位“1”未知,用除法计算。
(1)求甲比乙多(或少)几分之几的解题规律:
甲乙的差÷乙;
(2)已知甲比乙多(或少)几分之几,求甲的解题规律:
乙×(1±几/几)。
常见的量
1、长度、面积和体积单位及其同类量之间的进率。
长度单位:
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米
面积单位:
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
体积单位:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升
2.质量单位及其之间的进率。
1吨=1000千克1千克=1000克
3.时间单位及其之间的进率。
一年有12个月(平年全年365天,闰年全年366天)
按大小月份
大月
1,3,5,7,8,10,12月(每月31天)
每月分三旬:
上旬(1~10日)中旬(11~20日);下旬(21日~月底)。
小月
4,6,9,11(每月30天)
既不是大月,也不是小月
平年2月28天,闰年2月29天
按四个季度分
第一季度
1月,2月,3月
第二季度
4月,5月,6月
第三季度
7月,8月,9月
第四季度
10月,11月,12月
(3)日、时、分、秒等其他时间单位。
1世纪=100年1日=24时1时=60分1分=60秒1星期=7天
(4)平年、闰年的判断方法。
根据公历年份判断,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的年份都是闰年,反之则是平年。
4.人民币的单位及其进率。
人民币的单位有元、角、分。
1元=10角1角=10分
5.名数的意义。
计量的结果,要用数来表示,并且还要带上单位名称,通常把他们合起来叫做名数。
只带有一个单位名称的,叫做单名数,如1米、30天等;带有两个或两个以上的单位名称的,叫做复名数,如3吨50千克、1米5厘米等。
☆6.换算单位。
把高级改写成低级单位的乘这两个单位之间的进率,把低级单位改写成高级单位的要除以这两个单位间的进率。
如果进率是10,100,1000……时,也可以把小数点向右(或左)移动一位,两位,三位……来完成。
比和比例
比和比例的联系与区别:
比
比例
意义
表示两个数相除
表示两个比相等的式子
各部分名称
9:
6=1.5
↑↑↑↑
前项比号后项比值
9:
6=3:
2
内项
外项
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
化简比的根据
解比例的根据
比和分数、除法的联系:
名称
联系
比
前项
:
(比号)
后项
比值
分数
分子
—(分数线)
分母
分数值
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
求比值和化简化:
意义
方法
结果
求比值
前项除以后项所得的商
用前项除以后项
一个数(是整数、分数或小数)
化简化
把两个数的比化成最简单的整数比
前项和后项都乘或除以同一个数(0除外),也可以用求比值的方法,用前项除以后项,得出一个分数值。
一个比
正比例和反比例的意义和判断方法
1、正比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
正比例关系式:
y/x=k(一定)
2、反比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
反比例关系式:
x×y=k(一定)
1、判断正、反比例的方法
一找二看三判断,即:
1)找变量:
分析数量关系,确定哪两种量是相关联的量。
2)看定量:
分析这两种相关联的量,它们之间的关系是商一定还是积一定。
3)判断:
如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例;如果商或积都不是定量,就不成比例。
1、正比例、反比例的区别与联系
名称
不同点
相同点
意义不同点
变化方向不同点
关系式不同点
正比例
两种量中相对应的两个数的比值,也就是商一定
一种量扩大(或缩小),另一种量也随之扩大(或缩小)
y/x=k(一定)
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
反比例
两种量中相对应的两个数的积一定
一种量扩大(或缩小),另一种量却随之缩小(或扩大)
x×y=k(一定)
用比例知识解决问题
1、按比例分配问题
1)按比例分配应用题:
把一个数量按照一定的比分配成几部分,求部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。
2)解题方法。
一般方法:
把比转化为分数,用分数方法解答,即先求总份数,然后求出各部分量占总量的几分之几,最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法,分别求出各部分的量是多少。
归一法:
把比看作分得的份数,先求出总份数,然后用“总量÷总份数=平均每份的量(归一)”,再用“1份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分的量。
用比例知识解答:
首先设未知量为x,然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式,再解比例求出x。
2、用正、反比例知识解答应用题的步骤
1)分析数量关系。
判断成什么比例。
2)找等量关系。
如果是成正比例,则按“等比”找等量关系式;如果是成反比例,则按“等积”找等量关系式。
3)列比例式。
设未知数为x,并代入等量关系式,得正比例式或反比例式。
4)解比例。
5)检验并写出答语。