高中数学必修二《空间几何体》11 第2课时 导学案设计含答案.docx

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高中数学必修二《空间几何体》11第2课时导学案设计含答案

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

[学习目标]　1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

知识点一　圆柱的结构特征

1.定义：

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

2.相关概念（图1）.

3.表示法：

圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.

思考　圆柱的母线有多少条？

它们之间有什么关系？

答　圆柱的母线有无数条；相互平行.

知识点二　圆锥的结构特征

1.定义：

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

2.相关概念（图2）.

3.表示法：

圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.

思考　圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？

答　等腰三角形.

知识点三　圆台的结构特征

1.定义：

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

2.相关概念（图3）.

3.表示法：

圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.

思考　圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？

答　一定.由于圆台是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交.

知识点四　球的结构特征

1.定义：

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

2.相关概念（图4）.

3.表示法：

球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.

思考　球能否由圆面旋转而成？

答　能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球.

知识点五　简单组合体

1.概念：

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

2.基本形式：

一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

题型一　旋转体的结构特征

例1　判断下列各命题是否正确：

（1）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

（2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

（4）到定点的距离等于定长的点的集合是球.

解　

（1）错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.

（2）错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.

（3）正确.

（4）错.应为球面.

反思与感悟　1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边（弦）旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.

2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.

跟踪训练1　下列命题正确的是________.（只填序号）

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

⑦球面上任意三点可能在一条直线上；

⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

答案　④⑥⑧

解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.

题型二　简单组合体的结构特征

例2　如图

（1）、

（2）所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解　旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.

反思与感悟　1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.

2.必要时作模型培养动手能力.

跟踪训练2　已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示.分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.

解　

（1）以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示.

（2）以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：

下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.

（3）以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：

上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示.

（4）以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：

一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.

题型三　有关几何体的计算问题

例3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长.

解　设圆台的母线长为lcm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.

过轴SO作截面，如图所示.

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.

∴

＝

.

∴

＝

＝

.

解得l＝9（cm），

即圆台的母线长为9cm.

反思与感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.

跟踪训练3　圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：

（1）绳子的最短长度；

（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

解　

（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，θ＝

×360°＝90°.

设OB′＝L′，

则

·360°＝90°，L′＝20cm.

∴OA＝40cm，OM＝30cm.

∴AM＝

＝50cm.

即绳子最短长度为50cm.

（2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，

则PQ为所求的最短距离.

∵OA·OM＝AM·OQ，

∴OQ＝24cm.

故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.

1.下列几何体是台体的是（　　）

答案　D

解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

2.给出下列说法：

①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径所在直线旋转一周形成球.其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.0

答案　A

解析　①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②错，也可能形成平面；③错，若绕底边旋转，则形成组合体；④根据球的定义知正确.

3.向高为H的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（　　）

答案　B

解析　令h＝

，由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B正确.

4.一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.

答案　10

解析　h＝20cos30°＝10

（cm）.

5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为

，则这个圆锥的母线长为_______.

答案　2

解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝

AB2，∴

＝

AB2，∴AB＝2.故正确答案为2.

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.处理组合体问题常采用分割思想.

4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

一、选择题

1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（　　）

A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台

答案　D

解析　圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱），不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.

2.过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是（　　）

A.有且只有一个B.一个或无穷多个

C.无数个D.以上均不正确

答案　B

解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.

3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是（　　）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

答案　C

解析　当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.

4.一平面截球O得到半径为

cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则球的半径是（　　）

A.9cmB.3cmC.1cmD.2cm

答案　B

解析　设球的半径为R.根据勾股定理，有R＝

＝3（cm）.

5.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是（　　）

A.πB.2πC.3πD.2

π

答案　A

解析　如图，可知∠OAO′＝60°，∴O′A＝

OA＝1，即截面圆的半径是1，则该截面的面积是π.

6.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（　　）

A.4B.3C.2D.0.5

答案　B

解析　如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝

，r2＝2

.

∵球心到两个截面的距离d1＝

，d2＝

，

∴d1－d2＝

－

＝1，∴R2＝9，∴R＝3.

7.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（　　）

答案　B

解析　由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.

二、填空题

8.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________.

答案　2

解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝

.

∴由题意可知

·2r·h＝r

＝8，

∴r2＝8，∴h＝2

.

9.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的______.（填序号）

答案　③

解析　易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除①④；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除②；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是③.

10.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________.

答案　90°

解析　如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.

11.在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________.

答案　12

解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝

＝5，所以d＝

＝12.

三、解答题

12.圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.

解　将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

则

所以

即h1∶h2＝2∶1.

13.

如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

（1）绳子的最短长度的平方f（x）；

（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

（3）f（x）的最大值.

解　

将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，

∴L＝2πr＝2π.

∴∠ASM＝

×360°＝

×360°＝90°.

（1）由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝

（0≤x≤4）.

f（x）＝AM2＝x2＋16（0≤x≤4）.

（2）绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，

在△SAM中，

∵S△SAM＝

SA·SM＝

AM·SR，

∴SR＝

＝

（0≤x≤4），

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为

（0≤x≤4）.

（3）∵f（x）＝x2＋16（0≤x≤4）是增函数，

∴f（x）的最大值为f（4）＝32.