63组交通流问题李伟正.docx
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63组交通流问题李伟正
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：
交通流问题
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
中南大学
参赛队员（打印并签名）：
1.李伟正
2.郭煜
3.何金深
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2007年8月10日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
交通流问题
摘要
本文根据相应材料，对交通流有关问题进行了分析和研究，建立了各参变量间的关系模型和车辆跟随模型，并对红绿灯下交通流问题进行了较深入的讨论。
首先对各参变量及其关系进行研究。
对问题1，选取不同的精确度，建立相应的r.ρ散点图。
由图1-2和图1-3知，当精度取1时，最能反映不同领域半径下的车流密度。
曲线拟合后得到一条近似水平的直线，故即车辆区间的选取为[25，75]最佳，且ρ=0.5225。
对问题2，使用微元法对车辆的流入和流出进行分析，从而得出车数随时间的变化率（见式2.1）。
对问题3，假设两车匀速，易得两车的速度（见式3.1和式3.2），分别分析两车的速度并取平均优化得距离的估计值（见式3.5）。
对问题4，根据附表2中数据分别进行一次拟合、二次拟合和反比例拟合，分析方差得到二次拟合为最佳，从而建立ρ-u关系模型（见式4.1）。
再对ρ-q进行二次拟合，绘出ρ-q曲线，得到流量的最大值，即隧道容量1409.2。
对问题5，使用演绎分析法，得出只要式5.2成立，即可使结论（见式5.1）成立。
而式5.3即问题4的反比例拟合情况，故有结论成立。
接着对车辆跟随模型进行研究。
对问题6，需要对驾驶员的决策进行分析，后车的加速度取决于前后车的相对速度，得出带反应时间T的车辆跟随模型关系（见式6.1），求解此模型并优化可得ρ-u关系（见式6.6）和ρ-q关系（见式6.7）。
对问题7，引入了密度波的概念，实际上可等效为车辆跟随模型。
根据式7.2可得到波速-密度关系（见式7.3），再比较波速及车速关系（见式7.4及式7.5），易得波速小于车速。
最后对红绿灯下交通流问题进行研究。
对问题9，首先建立红灯突变为绿灯时的密度分布（见图9-1），并得出不同密度下的速度差异。
建立速度为U的惯性参考系，将模型简化为仅有堵塞车的运动。
使用车辆守恒关系，堵塞车将逐渐填补空白区间，使得车流全部融合。
依据面积相等，可建立各式得出ρ（t）（见式9.5）。
由于交通流问题是一个极其复杂的问题，存在着很多随机性和影响因素，所以在建模过程中不可避免会忽视某些因素。
本文所建立的模型可以推广应用于类似问题如江河水流流动规律问题。
问题重申
交通问题长期以来一直是困扰人们的一个社会问题，特别是近年来变得更加严重了。
许多交通问题是可以用科学分析的方法处理的，例如:
交通灯或停车标记的设置；交通灯的转换周期的长度；是否需要把一条双行线的街道改为单行线；新建一条高速公路时需要多少条车道等。
请对下列交通问题进行讨论分析，并对如何了解交通现象，以便于减缓交通拥挤，消除事故，增大车流量，改善的交通状况等方面的问题。
经过我们讨论，需要解决以下10个问题：
1）已知公路（单车道）的区间[0，100]上的45辆汽车的坐标（见附录1）。
选取不同区间以计算在x=50处的车辆密度，并对此进行分析和讨论。
2）在公路上有两个观测站，一个固定在x=a，另一个是移动的x=b（t）。
N（t）表示公路上区间[a,b（t）]内的车辆数，证明N（t）的变化率有关系
dN／dt=-ρ（b,t）[u（b,t）-db/dt]+ρ（a,t）u（a,t）
3）在公路上设距离为d的两个观测站。
观测者记录了a，b两辆车通过观测站的时间ta1，ta2，tb1，tb2。
试利用这些数据给出两辆车的车速和距离的估计值，并估计车流密度。
4）已知连接纽约市和新泽西州的林肯隧道观测得到的速度—密度关系的数据（见附录2），根据这组数据建立速度-密度关系模型。
画出它们的流量—密度曲线，并确定这条隧道的容量。
5）若u=u（ρ）,证明α=-ρ（（du/dρ）*（du/dx））,并分析表达式中负号是否有道理？
6）对带有反应时间T的线性车辆跟随模型进行分析。
7）设（ρ）=um（-ρ/ρm）。
如果车流密度处处在ρ0附近，计算其密度波的传播速度并证明此速度小于汽车的速度。
8）设林肯隧道的资料适合于模型q（ρ）=aρ[㏑ρm-㏑ρ]。
假设初始密度将在区间[-x0,0]内从ρm线性地减为0.判断两小时后会不会有ρ=ρ/2?
9）设u=um（1-p2/pm2）.通过分析计算，给出公路上交通灯由红变绿后的车流密度。
10）如果交通灯由红灯变成绿灯，试给出这个信息的传播速度。
问题假设与符号说明
1．问题假设
（1）公路上不允许超车，
（2）且沿途无任何岔路口（即，没有其他入口和出口）；
（3）将汽车视为质点；
（4）交通流量q和车辆密度p对于位置x和时刻t都是连续可微的；
2．符号说明
x：
车辆的位置；
u：
车辆的速度；
α：
车辆的加速度；
ρ：
车流密度（在固定时间，单位距离的公路上的车辆数目）；
q：
交通流量（在公路上固定位置，单位时间通过的车辆数）；
c：
密度波的传播速度；
：
汽车几乎发生碰撞时的车流密度
：
ρ为零时汽车的速度
问题分析以及模型建立与求解
问题1：
表中给出了45辆车的位置，下图为汽车分布图象：
图1-1
设x=50的邻域半径为r，统计出在（50-r，50+r）内的车辆数，算出车辆密度，并用matlab7.0画出函数图像，精确度不同得出不同图像（程序代码见附录3）：
图1-2（精度0.5）
图1-3（精度1）
图1-4（精度1线形拟合）ρ=0.5225
图1-5（精度0.5线形拟合）ρ=0.5650
由上可知，r=25,即测量区间选[25，75]为最佳。
由此可推广为任意区间中点处车流密度的测量，领域取区间的1/4为最佳。
问题2：
建立模型如图：
abb+dx
假设公路上的汽车是从a观测站向b观测站行驶
用微元法建立方程，在dt时间内，[a，b]间的汽车变化数量为dN
在x=a处，汽车驶入该区域的数量dNa=ρ（a,t）u（a,t）dt
汽车在b处的速度为u（b,t）,b观测站的速度为dx/dt,那么汽车相对于观测站的速度为[（b,t）-dx/dt]
在x=b处，汽车驶出该区域的数量dNb=ρ（b,t）[u（b,t）-dx/dt]dt
dt内该区域内车辆变化数为驶入的减去驶出的
于是有
dN=-ρ（b,t）[u（b,t）-dx/dt]dt+ρ（a,t）u（a,t）dt
即dN/dt=-ρ（b,t）[u（b,t）-db/dt]+ρ（a,t）u（a,t）（2.1）
证毕
问题3：
建立如下模型：
设a车在b车前面，距离为d的两个观测站为A,B,两辆车先通过A，再通过B。
a车的速度Ua,b的速度Ub,两车距离为D（t），令Ua>Ub。
汽车不同时刻位置如图：
时刻AB
ta1ba
tb1ba
ta2ba
tb2ba
图2（a,b辆车驶过A，B观测站的图像）
a车在ta1到ta2的时间内行驶了d
那么Ua=d/（ta2-ta1）（3.1）
同理Ub=d/（tb2-tb1）（3.2）
在初始时刻，a，b车间距为
Ub（tb1-ta1）
在时间（t-ta1）内a，b间距离增加了
（Ua-Ub）（t-ta1）
所以有D（t）=Ub（tb1-ta1）+（Ua-Ub）（t-ta1）（3.3）
或D（t）=Ua（tb2-ta2）-（Ua-Ub）（tb2-t）（3.4）
为了使估计准确，取平均值有
D（t）=[Ub（tb1-ta1）+（Ua-Ub）（t-ta1）+Ua（tb2-ta2）-（Ua-Ub）（tb2-t）]/2（3.5）
问题4
直接对速度-密度数据用matlab做出散点图，然后分别用一次拟合，二次拟合求解出近似函数关系（程序代码见附录4），如下图：
二次拟合后函数为
（4.1）
一次拟合后函数为
（4.2）
反比例拟合后函数为
（4.3）
经过误差分析看出ρ-u曲线更接近于二次函数
根据公式流量=速度*密度（q=u*ρ）
对流量-密度数据用matlab做出散点图，然后用二次拟合求解出近似函数关系（程序代码见附录5），如下图：
密度取最大时，即用ρ=223.7可算出隧道的最大容车量为2.4*223.7=536.88
隧道的最大流量称为隧道的容量
当密度为88.3时，隧道流量取得极大值1409.2，即容量为1409.2
问题5
分析
假设结论成立，有：
（5.1）
满足条件
得
解这个微分方程得：
（k为常数）（5.2）
与上题反比例拟合结果基本相同，所以该结论成立
证毕
问题6
对带有反应时间T的线性车辆跟随模型进行分析
考虑在公路上的第n辆汽车
，由于不允许出现超车现象，故汽车的速度仅仅依赖于它前面的车辆。
1．模型的建立与求解
为简化模型，假设汽车的加速度正比于本车相对前一辆车的速度，得
（6.1）
式中，
：
驾驶员对相对速度的变化的反应延迟；
：
第n辆汽车的速度，且有
；
：
驾驶员对相对速度的反应敏感程度；
式（6.1）解可表示为
（6.2）
假设车辆间距不随时间变化，且相等，故他们将以相同的速度移动，有
（6.3）
于是可得此模型的u-ρ关系：
其中d为常数（6.4）
而
，可确定常数
，得
（6.5）
由生活常识知上式仅对驾驶员认为车流密度小于某一值时才成立，设此值为
，有
（6.6）
为确保上函数的连续性，
由
，
及
确定。
又由
知
（6.7）
问题7
由资料知密度波的计算速度为
（7.1）
满足关系
（7.2）
解出
（7.3）
在车流密度为
时，密度波速度
（7.4）
车速度为
（7.5）
有
证毕
问题8
假设初始密度将在区间[-x0,0]内从ρm线性减为0。
由车辆平衡方程：
解出：
（1）
题中已知：
解出：
（2）
联立
（1）
（2）得：
（3）
由于ρm是线形变化的，故t=0时，在
处，有ρ=ρm/2，
代入（3）解出：
给出ρ，x，t的关系式：
当t=2，ρ=ρm/2时，解出
当满足
，ρ可以取到ρm/2
所以要满足题设结果，需讨论x的取值范围。
问题9
为方便起见，设交通信号灯置于x=0处。
若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度为常数
。
某时刻，交通灯突然变为红灯，于是交通灯右面（x>0）的车辆继续行驶，而左面（x<0）的车辆则一辆辆地堵塞起来，一段时间后，交通灯变为绿灯，被堵塞得车辆将直接以最大的速度
向右行驶，等追上前面的车辆时，速度瞬时减为
设红灯变为绿灯为t=0,有密度分布图如下：
图9-1
如图，在t=0时刻，
的车辆密度为
，车辆速度为
；
的车辆为0；
的车辆密度为
；
的车辆密度为
，车辆速度为
。
如果没有红灯，
的车辆应该以密度
分布在
上，故有
（9.1）
建立向右的惯性系，
红灯变绿灯后，x=0处的车辆以
速度前进，
当时间为t时，如图：
图9-2
车辆总数不变，有如下关系
（9.2）
当第一辆车到达
时，道路恢复正常，如图：
图9-3
此时
，有
（9.3）
根据题中已知得
（9.4）
联立（9.1）（9.2）（9.3）（9.4），得：
（9.5）
模型优缺点与模型推广
（1）我们所解决的问题可以看成是完全理想化的简单交通问题，第九题的模型可以同样解决因为交通事故而引起的交通堵塞问题。
我们用简单的模型解决了这些问题，使得一目了然，缺点是模型建立的太简单，不足以解决实际问题。
（2）上面的问题都是建立在很多假设的情况下，所以把许多问题都简单化了。
如果只是理论分析，模型建立的简单可以简便的解决这些问题。
可是在生活实际当中，这样的建立对解决实际问题是不能起很大作用的。
我们需要提出更高的要求建立模型，比如：
不同公路的限速不同，公路路面情况，单车道要扩展为多车道，单向行驶变为多向行驶，允许有车辆的驶入和驶出，车辆本身的车长，汽车间的距离，不同汽车的性能不同，等等这些问题都可以进一步去假设建立模型。
（3）现实生活中需要解决的交通问题有很多，光靠模性是不够的，除了这些理论因素影响，还有许多主客观无法预测的情况发生，比司机本身的技术，心情，状态，还有天气的变化，道路周边的环境，以及行人自行车的加入，当地政府的法律法规等等问题使交通流变的十分复杂，不是简单的建模可以解决，我们还需要进行实地调查研究来让我们的交通更便利，更安全。
参考文献
[1]姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：
高等教育出版社，2003年8月。
[2]刘卫国，《MATLAB程序设计与应用（第二版）》，北京：
高等教育出版社，2006年7月。
[3]2007-8-10
附录
附录1
1.03.16.19.412.714.115.216.918.9
20.121.523.525.828.931.334.837.040.1
43.444.946.447.949.651.653.354.856.6
58.359.660.661.962.963.765.066.669.8
72.176.378.881.684.287.790.895.199.3
附录2
速度:
32282523201917161514131211109876
密度：
34445360748288949496103112108129132139160165
附录3
A=[1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9,20.1,21.5,23.5,25.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1,43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,51.6,53.3,54.8,56.6,58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,66.6,69.8,72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3];
r=0:
1:
50;
ro=r;
fori=1:
50
count=0;
forj=1:
45
if（A（j）>=50-r（i））&&（A（j）<=50+r（i））
count=count+1;
end
end
ro（i）=count./（2.*r（i）+eps）;
end
fori=1:
49
rou（i）=ro（i+1）;
end
r=1:
1:
49;
scatter（r,rou,'.'）;
holdon;
axis（[0,50,0,1.5]）;
a=polyfit（r,rou,1）;
x=0:
0.1:
50;
y=polyval（a,x）;
plot（x,y）;
holdoff;
symsx;
y0=a
（1）*x+a
（2）;
ave_rou=（int（y0,0,50））./50;
附录4
u=[32,28,25,23,20,19,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6];
p=[34,44,53,60,74,82,88,94,94,96,103,112,108,129,132,139,160,165];
P=1./p;
a1=polyfit（p,u,2）;
a2=polyfit（p,u,1）;
a3=polyfit（P,u,1）;
x=30:
0.1:
170;
y1=polyval（a1,x）;
y2=polyval（a2,x）;
y3=polyval（a3,1./x）;
scatter（p,u）;axis（[20,180,0,35]）;holdon;
plot（x,y3,x,y2,x,y1）;holdoff;
附录5
u=[32,28,25,23,20,19,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6];
p=[34,44,53,60,74,82,88,94,94,96,103,112,108,129,132,139,160,165];
q=p.*u;
polyfit（p,q,2）,
x=0:
0.1:
230;
y=-0.0769.*x.^2+13.5874.*x+809.0111;
scatter（p,q）;axis（[0,230,0,1600]）;holdon;
plot（x,y）;holdoff;
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