常微分方程的基本概念.docx
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常微分方程的基本概念
考点：
常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】
1•微分方程：
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.
若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；
若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程.
考題链接：
例:
y*=x,y*+x+3y=2,xdy+yclx=0
2•阶：
未知函数的最高阶导数的阶数.
考题链接：
例：
微分方程+）（-心=0的阶数是（）
A.lB.2C.3D.4
3.性微分方程：
Z）（x）-y+/1（x）-/+/2（x）-/+...+/„（x）-yw=/（x）
考题链接：
例：
判断下列函数是否为线性方程.
（1）x+
（2）y=a2+y+sinx
（3）yr-A-l-siny=0
（4）yn-yy*=x2
（5）（y）2=3x+y
4.解：
若y=（p（x）代入方程成为恒等式，则称y=（p（x）为方程的一个解.
（1）通解：
含有相互独立（不能合并，），=6>+。
2工与y=+）的任意常数,
且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解.
（2）特解：
不含任意常数的解.
例1:
某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（）
B.
A.y=Csinx
y=C{sinx+C,cosx
例2:
函数y=Csinx（其中C为任意常数）是微分方程<+y=0的（）
A.通解B.特解C.解D.不是解
例3:
已知微分方程y，+ay=ex的一个特解为y=xex,Pl1,a=.
考点：
可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】
<1）标准形式：
/（y）dy=g（x）dx
（2）解法：
①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分.
例1:
微分方程-+^=0的通解是（）
yx
A.x2+y2=25B.3x+4y=C
C.x2+y2=CD.y2-x2=7
例2:
方程sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解为・
例3:
微分方程dy-2xy2dx=Q满足条件y（l）=-l的特解是（）
A・y=rB.y=——
C・y-x2D・y=-x2
考点：
齐次方程【☆☆☆☆☆】
（1）标准形式：
y=f[^
考题链接：
例：
=x4-y2不是
xy=A-2+/是
（2）解法：
①化为标准形式；
2令“=上，代入方程消去〃
X
3化为X与"的可分离变量的微分方程，求解.
例:
求xyf-xsin丄-y=0的通解.
x・
考点：
一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】
（1）标准形式：
yf+P（x）y=Q（x）
（2）解法：
①化为标准形式；
②套公式尸e卯（胆（沪％+C）
注：
在此公式中，解不定积分时，不加绝对值，也不加任意常数C.
例：
解方程xyf-y=x3・
考点：
二阶常系数非齐次线性微分方程y^py^qy=.f（x）【☆☆☆☆☆】
1.解的结构定理
y"+"（x）y'+g⑴y=o（齐次）①
y"+P（X）/+q（a）>•=/（x）（非齐次）②
若y（x）是①的通解，/（X）是②的特解，则r（x）+/（x）为②的通解.
2•写出特解形式
‘0兄不是特征根
1若y（x）=£,（x）/“，特解形式应设为〉「=兀乜（人片，其中打1几是单根
2兄是重根
例1.用待定系数法求方程y"-4F+4y=（2x+l）0的特解时，特解应设为.
例2.微分方程y"+y-2y=x严的特解用特定系数法可设为（）
A.才=x（ax^b）e~x
B.才=x2（ax^b）e^1
C.y・=（Q+b）k
D・y*=axe^
例3.微分方程y"+y'=xe~x的特解形式应设为〉「=（）
A.+厂B.ax+b
C・（Q+b）严D・F（or+b）严
例4.对于微分方程_y*-2y=x2利用待定系数法求特解y•时，下列特解设法正确的是（）
A.才=ax2+bx+cB.y*=x2（（vc2+hx+c）
C・y*=x（ax+/?
）D・/=x（av2+Zzx+c）
2若f（^）=（Ccosa）x4-Dsina）x）eXx,特解形式应设为y*=xk（Acosty.¥+Bsincox）e^x,其
=A±coi不是特征根
[1A±coi是特征根
考题链接：
例1：
微分方程y*+y=sinx+cosx特解形式应设为_/=
例2:
微分方程y*+3y'+2y=e~xcosx特解形式应设为y'=（
A.CexcosxB.e'（C]cosx+C,sina）
C.xex（C]cosx+C2sina）D.x'e'（C,cosx+C2sina）
3•求通解
1求出与其对应的齐次方程＞■*+py*+qy=0的通解Y；
2利用待定系数法求出非齐次的一个特解）「；③写出非齐次的通解y=Y+y.
—（X）型
解法：
作”次不定积分
考题链接：
例：
微分方程＞•*=24x通解为•
2./=/（x,y）型
解法：
令y=P,两边对x求导，＞，“=//,然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.
例：
微分方程+y=的通解为.
3-/=/（y＞V）型
解法：
令/=/；,两边对X求导，卄业=也虫=p也,然后代入原方程，转化dx（lydxdy
为一阶微分方程求解.
例：
求微分方程y/-（/）2=0的通解.
考点：
二阶常系数齐次线性微分方程【☆☆☆☆☆】
1•解的结构定理：
若x（x）,），2（x）都是方程y"+p（x）y'+"（x）y=0的解，则线性组合C]^+C2y2（C{,C2为任意常数）仍为它的解•若y,（A＞儿（勿线性无关（儿工辎（"0））,则c』+c*2为它的通解.
2•求通解：
1写出相应的特征方程厂+/"•+g=0
2求出特征根＜1
3写出通解.
通解形式：
不同实根“牛，y=+G严
重根斤=乙=八y=cxerx+C2xen
共麵复根rl2=a±pi,y=eax（C,cosfix+C2sinfix）
B・G+q严
例1:
微分方程/+2/+y=0的通解为（）
C.C{e^+C2e^例2:
微分方程/-4y=0的通解为（）
A.y=C{e2x+C严B.y=（C,+C2x）e2t
C.y=G+C2e2xD.y=C}cos2a+C2sin2x
例3:
求微分方程2空+4空+3y=0的通解.
dx^（lx
3•已知通解，反求微分方程
1找出特征根；
2写出特征方程；
3写出微分方程.
考題链接：
例1:
通解为＞'=C,^+C2^（为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为
1•空间直角坐标系
三个坐标轴：
X轴（横轴），尹轴（纵轴），Z轴（竖轴），它们的正向满足右手法则
三个坐标平面
八个卦限
2.空间內点的坐标（x,>•,z）
（1）坐标轴上的点：
x轴（x,0,0）,y轴（0,y,0）,z轴（0,0,z）
（2）坐标平面上的点：
X0；平面（兀，y,0）,yOz-面（0,y,z）,xOz平面（x,
0,z）
3•两点间的距离
MJ®_v,,zj,A/:
（x2,儿，
阿函』=-x+（儿一）J+（E-zJ
考点：
向量的概念【☆☆☆☆☆】
（1）向量的定义：
既有大小又有方向的量.
（2）向量的表示方法
1坐标表不：
“=（"<‘“、.，«.）
已知人（召，y（,zj,B（x2,y2,z2）,则人〃=（吃一召，y2-yez2-zxY
2向量表不：
a=axi+ayj+a;k
其中分别为沿坐标轴x,y,z正向的单位向量,即7=（1,0,0）,J=（O,l,0）,jl=（0,0,1）
（3）向量的横：
“=
考题链接：
例：
向量a=3i+4j-k的模0=.
（4）单位向量：
模长为1的向量.
（5）单位化：
4
（6）方向角与方向余弦
1方向角：
非零向量"与三条坐标轴的夹角8卩、丫称为向量2的方向角.
a,0,/e[Ot刃
2方向余弦：
coscr=*,cos0=丄,cosy=二,cos2a+cos20+cos2y=1
ciaa
例1:
已知两点A（2,2,>/2）和B（l,3,0）计算向量AP的模、方向余弦和左向角.
例2：
下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（）
a7t7TnrvTCJT7t厂<717C龙TC
2jl.—♦—9—JO•—9~~9~~•—f~-JLx•—f—f—
446432434433
考点：
向量的线性运算【☆☆☆☆☆】
（1）“±b={ya±b9a土〃.}
（2）Au=（入心加、，入I）9久“与"平行.
定理：
厶//"Ob=2"O*=—=奴
乞竹6
考题链接：
例：
已知向量厶={5,兀-2}和/；={”6,4}平行，则X和y的值分别为・
考点：
向量的数量积（点积、内积）
（1）定义：
ab=abcosa,h=abcos6
两向量的夹角余弦:
（2）计算：
ab=axbx+。
、九+a.b..
例]:
已知向量fl={1,1,2}和厶={2,-1.1}的夹角为.
例2:
已知向量2={01丄2}和/；={2,0,1}的夹角为.
（3）性质：
®aa=a2®ab=ba
（4）充要条件：
ab=0<=>ci丄〃
考点：
向量的向量积（叉积、外积）
（1）定义：
c=axb
1大小：
"xb=“方sin0
几何意义：
以N厶为邻边的平行四边形的面积.
2方向：
2丄6,2丄方，且ci,h,c满足右手法则.
（2）计算：
iJk
ayaz
»Shz
例1:
设a={2丄一1}/={1,一1,2},贝•]axh=・
例2:
若方={0丄1}力={101}1={1,1・0},则（Nx5）・2=.
例3:
由方={1.0,-1}/={0丄2}为邻边构成的平行四边形的面积为
例4：
已知点A（4.-L2）,3（12-2）,C（2,0,1）,求AABC的面积.
（3）性质：
1核;=0
2axb=-bxa
考题链接：
例：
对任意两向量亦;，下列等式不恒成立的是（）
i**f—B・ub=ba
D.[ab）2+（axb）=ab2
axb=6<=>a//b
考点：
2在厶上的投影【☆☆☆☆☆】
例：
向量2={1,-1,2}在/；={0.3,4}上的投影为
1•球面
球心在点（和y。
，Zo）,半径为人的球面方程为
（X—兀『+（y-y0）2+（z-Zo）2=R2
球面的一般方程：
Ax2+Ay2+Az2+D.x+Ey+Fz+G=0
球面方程特点：
①三元二次方程，②缺交叉项③平方项系数相同.
2•柱面
柱面：
直线（母线）沿着定曲线（准线）平行移动所产生的曲面.
柱面方程特点：
二元方程.
考题链接：
例1:
方程2a-2-y2=1表示的二次曲面是（）
A.球面B.族转抛物面
C.柱面D.圆锥面
例2：
下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是（）
2》J，
A.£+£=v2B.z-i=£-2L
73•44
222
C.—=1-—D.x2+/-2a=0
4169
3.旋转曲面
（1）坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转，得到的旋转曲面的方程为：
该坐标轴对应的变量不变，而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根.
1平面上的曲线卩W習°,
z=0
绕x轴旅转得到的曲面方程为：
/（x,±77^）=o
绕丁轴族转得到的曲面方程为：
/（±>/777,y）=0
2yOz平面上的曲线
绕y轴旅转得到的曲面方程为：
/（^±77+?
）=0
绕z轴旋转得到的曲面方程为：
/（±后不z）=o
3兀6平面上的曲线卩（"Z）=°,
y=o
绕x轴族转得到的曲面方程为：
/卜,±何7）=0绕z轴旋转得到的曲面方程为：
/（士启孑，十0
22
例1：
双曲线T_T=1绕z轴旋转所成的曲面方程为（
y=0
例2：
曲线厶f=2x绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为
[z=0
（2）特点：
至少有2个变量的二次项系数相等.
考题链接：
例：
下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（
A.—+—=1B.z=x2-r
32
C.y2=x-z2D.z2-x'=2y2
4•常见的二次曲面
（1）椭球面：
匚+#+M=l
cCb"
■
（2）单叶双曲面：
4+4-4=i
crl
双叶双曲面:
c+4-4=i
alyL
（3）锥面:
4+4-4=°
/h2C2
（4）椭圆抛物面：
—+_=z（p,g同号）
2p2q
双曲拋物面：
—=z（p,g同号）
2p2q
考点：
空间平面方程【☆☆☆☆☆】
1.平面的点法式方程：
A（a:
-a0）+-y0）+C（z-z0）=0
考题链接：
例：
求过点（2,-3,0）且以方=（1,-2,3）为法向量的平面方程.
2.平面的一般式方程：
Ax+By+Cz+D=O
特殊的平面方程：
1£>=0,斤过原点（0,0,0）；
2C=O,兀//z轴；
3C=D=O,兀，兀过z轴；
4B=C=0,rrllyOz.平面.
例：
求通过x轴和点（4,-3,-1）的平面的方程.
3•平面的截距式方程兰+上+三=1（“，b,c平面在x,“z轴上的截距）
abc
4.平面方程的求法
方法一：
点法式法
1确定平面上一点（兀，儿，5）
2求出平面的一法向量"=（A，B,C）
3代入点法式方程，化简为一般式.
方法二：
待定系数法
1设出所求方程；
2将已知点的坐标代入方程，解方程（组）；
3回代，化简得方程.
例1:
一平面过点（1,0,-4）且平行于向量«={2,1,-1}和/；={1.-1,2},求此平面的方程.
例2：
过6轴及点（3,-2,4）的平面方程为（）
A.3x+2y=0B.2y+z=0
心Aix+Bly+Clz+Dl=0=（A,Cj
心A>x+B2y+C2z+D2=0n2=（A2,C2）
（2）/\A2+B\B、+C}C2=0oq丄n2O街丄/r?
.
—•
—
n2
，九0冷
③cos&=cosnen2
考题链接:
例1:
平面3x+2y-z+5=0与x-2y-z-4=0的位置关系是（）
例2:
平面x+y+z=l与x+y-z=2的位置关系是（）
A.重合B•平行C•垂直D・相交但不垂直
例3:
已知平面坷：
x+2y-5z+7=0与平面tt2Ax+3y+mz+13=0垂直，贝Um
■
考点：
点到平面的距离【☆☆☆☆☆】
1.点（和儿，君到平面加Ar+By+Cz+D=0的距离为心出
>Ja2+b2+c2
考题链接：
例：
点（3,2,-1）到平面x+y+z-l=0的距离是.
2两平行平面间的距离
7T}：
Ax+By+Cz+D}=0
tt2zAx+By+Cz+D2=0
Ja2+b2+c2
考点：
空间直线方程【☆☆☆☆☆】
1•直线的一般方程
B{y+C{z+D{=0
A^x++C\z+D,=0
2.直线的点向式方程二=上二丸=二
ninp
考题链接：
例：
过点（4,-1,3）且平行于直线口=上=口的直线方程为.
3.直线的参数方程
x=x0+mty=y0+^Z=Zo+M
考題链接：
例：
过两点M,（3.-2.1）和M2（-1,0,2）的直线方程为.
5.直线的方程的求法
1确定直线上一点（心儿，％）
2求出直线的一方向向量S=（/?
?
H,/））；
3代入点向式方程.
例1:
求过点刃（1,2,1）且与直线/:
P-V_4-V?
=^平行的直线方程.
3x-y-2z=9
例2：
求过点刃（2,-3,-1）且与直线/：
（2-v+3rz=5平行的直线方程.
x+2z=l
考点：
两直线的位置关系【☆☆☆☆☆】
例X直线卩宁晋和严存号的关系是
x=1
例2：
直线卜出和千=号=孚的关系是（）
A.平行但不重合E.重合C.垂直但不相交D•垂直相交
考点：
直线与平面的位置关系【☆☆☆☆☆】
儿匸玉二匕二二？
=伽，介卩）mnp
mAx+By+Cz+D=0n=（A»B,C）
®
ABC-*.rtf
—=—=—On11sOL11Jt
mnp
②Am4-Bn+C/7=0<=>?
?
丄sO厶///r
将直线上已知点的坐标（心y0,©）代入平面方程中，若恒成立，则直线在平面上,否则，平行.
3sin0=cosF，/j]=jj^：
O.y
例1:
直线Z:
-~~='-二=~~与平面2x-3y+z-4=0的位置关系是（）
2-31
A.厶在兀上B.Z与兀垂直相交
C.厶与兀平行D.Z与兀相交，但不垂直
例2:
直线~=-—!
•=-~-平面x+2y-z+3=0的位置关系是（）
3-11
A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上
C.直线在平面上D.斜交
例3:
直线-~-=丄=-—耳平面x-_y-z+1=0的位置关系是（）
1—12
A.垂直B.相交但不垂直
C.直线在平面上D.平行
例4：
若直线厶：
二1=出=三与平面加x-2y+z-l=0平行，则加=・
加2—1
考点：
空间曲线及其在坐标面上的投影
1.判断空间曲线的一般方程萨E门*2°所表示的曲线类型
[F2（x,y,z）=0
方法：
解方程组后再判断.
考題链接：
例1：
方程P2;-v2=8z在空间直角坐标下的图形为•
z=8
例2：
方程U+T=1在空间直角坐标下的图形为.
x=-2
2.空间曲线在坐标面上的投影
（1）空间曲线关于坐标面的投影柱面方程（二元方程）；
1母线平行于哪个坐标轴，就把它对应的变量消去.
2求关于哪个坐标面的投影柱面，就把另外的变量消去.
（2）空间曲线在坐标面上的投影（曲线）方程（方程组）：
由上述二元方程和坐标面方程联立的方程组.
例1:
母线平行于X轴且以曲线[2£+＞：
+彳=16为准线的投影柱面方程为、A-_+厂=0
■
例2：
曲线2="+2广关于x0y平面的投影曲线方程为.
z=2_兀・
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