《田忌赛马》教学案例.docx
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《田忌赛马》教学案例
《田忌赛马》探究教学案例
一、基本情况分析
《田忌赛马》是人教版四年级上册第七单元“数学广角”例4的教学内容。
从故事“田忌赛马”引入对策论的应用问题，对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手，让学生体会到对策论的方法在生活、比赛中的重要性。
本节课教师在对学生自主探究进行指导时，需要注意如下几点。
（一）引导学生通过探究活动学习有序思考。
田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？
学生的探究方法是把所有可以采用的策略列出来，发现田忌可以采用的策略一共有6种，但其中只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。
教师应在学生探究应对方案时有针对性的引导学生理解，有序思考能够做到不重复不遗漏，可以更快地寻找到应对的策略
（二）给学生创设更具探究空间的学习情境。
“田忌赛马”获胜的必要条件有哪些？
“田忌赛马”不仅仅是一个故事，而是一种策略。
这一策略并不是“必胜宝典”，还是需要一定的前提。
但学生对田忌赛马故事内容熟悉，在教学中如果仅依赖“田忌赛马”的故事本身，不利于学生从对策论的角度进行探究。
因此，教学中教师可以提供与“田忌赛马”同样结构的探究材料，以便于学生不断尝试、比较、发现、概括、归纳。
具体地讲，通过比较两组扑克牌（各三张）的大小，分别经历“实力悬殊，胜负分明”“实力稍逊,以弱胜强”“实力同等，智者为王”，从而充分理解“田忌赛马”的具体对策和获胜的必要条件。
（三）引导学生理解和应用探究的结果。
田忌的这种策略在生活中还有哪些应用？
课堂实践发现，四年级学生很难自主突破“田忌赛马”的模型，生活中也很少关注体育竞技比赛背后的方案布局，所以课堂上面对如上任务，往往是一片沉寂。
在本节课的教学中，可变自行探究为欣赏分析，即教师提供一系列对策论的应用案例，让学生了解或描述具体对策。
二、教学理念
1．丰富过程感悟，重在自主探究
数学广角的教学，更要凸显过程性。
如果仅仅让学生知道“田忌用下等马应对齐王的上等马，用中等马应对齐王的下等马，用上等马应对齐王的中等马，最后获胜”的方法，那么只需要讲故事即可。
作为数学课应该立足过程，让学生自己用数学的方法进行自主探究，充分交流不同的学习成果，在这些探究活动中获得一些活动经验，充分理解和应用策略或者得到某个数学结论。
2．设计有结构的材料，提供更大的探究空间。
适切的材料是学生探究活动能否成功的关键。
探究材料必须具备以下特点：
有结构，保证探究过程的丰厚；承载核心问题，保证探究活动的方向；学生容易理解和表达，保证探究活动的效度；探究空间大，促进思维提升。
三、教学目标
1．通过比较扑克牌点数的大小，让学生初步体会对策论方法在实际中的应用，感受对策在生活中的重要作用。
2．尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。
3．初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步感知对策的数学思想方法。
四、教学过程
（一）通过比较扑克牌大小，了解基本应对规则。
1．游戏引入：
比点数大小，一对一PK。
（1）红牌分别是10、7、4；黑牌分别是3、2、1，比较双方点数的大小。
生1：
红10大于黑3，红7大于黑2，红4大于黑1；红方获胜。
生2：
三张黑牌点数加起来也比10小。
生3：
这三张黑牌都比红牌中最小的“4”还要小。
师：
这就说明，红牌和黑牌双方大小悬殊明显，胜负分明。
（2）红牌不变，黑牌变为9、6、3，再次比较。
比赛的结果会是怎样？
说说你的理由。
生1：
红方获胜；红10大于黑9，红7大于黑6，红4大于黑3。
师：
三局比赛都是红方获胜，所以最终是红方胜。
2．抛出问题，突破定势。
师：
红10与黑9比，红7与黑6比，红4与黑3比。
这是双方对局的一种方法，请同学们想一想：
（1）还有没有其它的应对策略？
一共有几种？
（2）在不同的比较过程中，黑牌是不是一定没有机会获胜？
师：
请同学们把不同的应对策略都填在表格中，如果有困难可以同桌交流。
第一局第二局第三局获胜方
红牌 10 7 4
黑牌1
黑牌2
黑牌3
……
学生活动。
设计说明：
用游戏“比扑克牌的大小”代替故事“田忌赛马”，克服“策略皆知”的问题，学生又十分投入扑克牌游戏，有了探究“还有没有其它的应对策略呢？
一共有多少种？
黑牌是否有机会获胜”的欲望。
通过第一次比较大小，让学生明确“一对一，比大小”、“A”在游戏中代表“1”等规则。
在课堂上学生总喜欢分别求出两组数的和再比较大小（也许是我们学生“看数就算”的条件反射吧），因此需要教师再次明确规则。
通过第二次比较大小，引出与“田忌赛马”相同模型的数据，并且让学生突破根据扑克牌上下位置一一比较的定势，如红牌10可以和黑牌任意一张牌比较大小。
教师指导策略：
全面了解学生认知特点，突破学生思维定势。
教师在教学中对学生生活经验、思维习惯、思维水平、表达方式等方面的把握越准确，对学生的指导就会更有效。
如学生看到课件中的红牌和黑牌，就喜欢上下对应进行一一比较，方法趋向唯一。
面对如此状况，就应该调整红、黑牌的位置，变上下排放为左右排放，利于突破定势，使比较方法多样。
这样的小细节，恰恰是影响学生思维的节点，都需要教师关注。
（二）在数学活动中体会策略的多样性，初识取胜的应对方法。
1．分层反馈，感受应对策略的多样及思维的有序。
（1）反馈不完整的、无序的方案，突出每一局的比较结果及最后的获胜方。
师：
这位同学写了三种方案，我们来看看分别是哪一方取胜？
（教师指这红、黑方的点数，学生一一判断，三局中黑方、红方分别赢了几次？
）
（2）反馈有序思考的完整方案，引导体会优势。
出示学生作品，如下：
第一局第二局第三局获胜方
红牌 10 7 4
黑牌1 9 6 3 红方
黑牌2 9 3 6 红方
黑牌3 6 9 3 红方
黑牌4 6 3 9 红方
黑牌5 3 9 6 黑方
黑牌6 3 6 9 红方
师：
请这位同学介绍他的方法。
生：
当红牌出10时，黑牌出9，后面两局就有两种不同的应对方案，就是交换6、3的顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出6，后面两局只要把9、3交换顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出3，后面两局只要把9、6交换顺序。
师：
同学们听懂了吗？
他的方法有什么地方值得我们借鉴？
生：
他在排列时很有顺序，这样就不会漏掉了。
2．初步感受黑牌（弱队）取胜的策略。
师：
我们发现当红牌分别出10、7、4时，黑方一共有6种应对方案。
请看表格，你发现了什么？
生：
6种方案中只有一种情况是黑方赢的。
生：
红方赢的可能性大。
师：
是的，一看红、黑牌的点数，觉得红方要比黑方大一些，但现在看来，黑方还是有取胜的可能，想一想，这种取胜的方法有什么高明之处？
生：
用黑牌中的3去应对红方的10，用9应对红方的7，用6应对红方的4，黑方就赢了两局。
生：
只要保证黑方赢两局就可以了。
生：
用小牌去碰大牌。
师：
刚才我们是怎样找到这种高明的方法？
学生回答后总结：
把解决问题的所有可能性一一找出来，并从中找到最好的策略，这是数学中一种很重要的方法。
（课件出现）
设计说明：
“尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识”是本节课的重要目标。
学生的学习过程是：
凭直觉得到一种方案，通过教师提问引导，思考得到所有的方案，并又一次感受到有序思考的力量，最后找到最优的方案。
显然，这样的过程使学生畅游在数学思维之中，既有认识上的冲击，又有方法的共享，学生很尽兴。
教师指导策略：
在学生探究过程中，教师要适度引导。
通过适时的提问是教师实施指导功能的重要方式。
如学生能有序排列所有方案时，教师及时提问“他的方法有什么地方值得我们借鉴？
”，使学生在欣赏中进一步感受数学思想方法的魅力。
又如当学生发现黑方有一种方法可以取胜时，教师提问“这种取胜的方法有什么高明之处？
”，让学生的思维从“取胜可能性的大小”转向“如何取胜”，当然，此时还不能期待学生非常概括的表达取胜方法，只需结合具体应对方法初步感受取胜策略即可。
在第一次课堂教学中，学生回答“用黑3应对红10”时，教师还追问“为什么不能用6对10”，希望学生提炼出“用黑方最小的牌去应对红方最大的牌”，事实上学生只凭一次的方法感受还不足以高度概括，否则就是“赶鸭子上架”，为难学生了。
（三）多次体验，探究黑牌取胜的条件。
1．调换一张黑牌，保证黑方有取胜的可能。
师：
黑牌9、6、3应对红牌10、7、4，也有取胜的可能，如果允许黑方变换一张牌，那黑方能否在比赛中还能有获胜的可能？
你准备怎么换？
生：
把9换成10。
师：
黑9换成黑10，怎样应对红牌就能取胜？
生：
黑10对红10，黑6对红4，黑3对红7，这样就……，平了。
生：
黑3对红10，黑6对红4，黑10对红7，黑方就胜了。
生：
把黑3换成10。
师：
看来你们的方法都是把黑牌变大，这样获胜当然也不奇怪了。
能否把其中一张黑牌变小后，黑牌还能获胜，行吗？
请把你调整黑牌后应对红方的方案填在下表。
想一想，有几种不同的变换方法。
第一局第二局第三局获胜方
红牌 10 7 4
黑牌
汇报：
生1：
把黑3变成黑2。
黑2与红10比；黑9与红7比；黑6与红4比；黑方三局两胜，结果是黑方获胜。
生2：
把黑3变成黑A。
黑A与红10比；黑9与红7比；黑6与红4比；结果也是黑方获胜。
师：
黑3变成黑2、黑A，黑方都还有可能获胜。
生3：
0也可以；
生4：
扑克中没有0。
师：
如果扑克中有0，红、黑方怎样比较，黑方也有机会获胜？
（学生说）看来把黑3变成比它更小的牌，都有获胜的可能，这是为什么呢？
生：
因为都是把这个黑牌与红10进行比较。
师：
变化黑3有两种方法，那改变其它的牌行吗？
生：
黑9变成黑8也行，黑3与红10比；黑8与红7比；黑6与红4比；结果也是黑方获胜。
师：
还能再变小吗？
生：
不行，变成7就平局了。
黑3与红10比；黑7与红7比；黑6与红4比。
生：
还可以把黑6变成黑5，黑3与红10比；黑9与红7比；黑5与红4比；结果也是黑方获胜。
师：
黑6变成黑4呢？
生：
不行，成平局了。
2．同时变小三张黑牌，保证黑方有取胜的可能。
师：
刚才把一张黑牌变小，依然有取胜的可能，现在如果把三张黑牌都变小，并且要尽可能小，使黑牌还有可能取胜，你们觉得三张黑牌分别可以是几？
可以怎样对局？
想好后，请填在下面表格内。
（学生活动）
第一局第二局第三局获胜方
红牌 10 7 4
黑牌
反馈：
生：
可以是A、5、8。
黑A与红10比；黑8与红7比；黑5与红4比。
3．初步提炼取胜的条件。
师：
请同学思考，要使黑方在比赛中有获胜的可能。
你认为黑方要具备哪几个条件？
生1：
必须有一个数要大，要比红7大；
生2：
要三局两胜。
师：
你的意思是……
生2：
要有两局胜红方。
师：
要保证黑方有两局获胜，那……
生：
要有两张牌大于红方。
生3：
黑方必须“牺牲”一张牌。
师：
“牺牲”了哪张牌？
生：
最小的那张。
师：
黑方最小的与红方最大的比较，结果是输了，但这不是用鸡蛋碰石头，而是一种应对的策略。
总结：
A．黑方要出最小的牌应对红方最大的牌，使对方最大牌发挥最小的作用。
B．要有2张牌大于红方（优势方）。
4．师生比赛，进一步完善取胜的策略。
师：
老师想和同学们挑战一下，我是红方10、7、4，你们是黑方8、5、1，你们能赢吗？
比赛：
学生出黑A，老师出红4；学生出黑5，老师出红7；学生出黑8，老师出红10。
老师获胜。
（学生的表情有点“奇怪”）
部分学生喊：
老师您先出。
再比赛：
师出红10，学生出黑A；师出红4，学生出黑5；师出红7，学生出黑8。
学生欢呼“胜利、胜利”。
师：
从刚才的比赛中，你们有什么想法？
生：
要保证黑方取胜，一定要让红方先出牌。
小结:
刚才的两组牌，黑方实力稍逊,但应用策略还是能以弱胜强。
设计说明：
让学生在活动中反复体验，不断感悟方法和策略，最后水到渠成。
（1）在变换黑方一张牌时，让学生感受到最小牌可以变成比3更小的任何牌，以充分认识到黑方的最小牌只能去应对红方的最大牌，所以无所谓小到什么程度；当黑9只可以换成黑8，黑6只可以换成黑5，学生能悟到这两张牌必须要分别大于对方，才能保证黑方可以三局两胜。
（2）同时把黑方三张牌都变成最小，需要学生整体把握三张牌的大小和应对方法：
小牌对最大牌，结果一定输，另外两张牌要保证赢。
学生已经基本领会取胜的策略。
（3）师生比赛，学生在“意外”失败中“醒悟”：
一定要后出，才能见机行事。
在这些活动过程中，学生思维活跃，善于发现、交流、提炼，在立与破中不断完善认识。
教师指导策略：
适度分解要探究问题，引发学生自主探究。
我们经常会说，要设计有挑战性的问题，让学生自主探究，但是问题的难度系数往往会影响探究进程，如果挑战性太大，学生将无从入手。
因此探究问题的适度分解或分层，降低探究的门槛，让更多学生参与探究，应该是教师指导中需要考虑的问题。
本教学环节中要求学生理解“田忌赛马”取胜的策略，要从大小、应对对象、应对顺序等多个角度去思考，四年级学生是很难主动的、有序的研究。
在第一次教学中，是让同桌互相出三张牌，来研究对策。
由于没有谁先出牌的规定（实际上在策略清晰前也无法规定），还有随机抽牌形成不同结构的局势，影响胜负的原因纷程复杂。
整个活动学生只是凭着直觉出牌，沉溺于胜负的结果，无暇顾及思考胜负的原因，当然也就无法提炼出相应的策略了。
因此本设计就分解成如上的教学过程，实践发现，通过不断换牌、应对、提炼，几乎所有的学生都理解或应用策略了。
5．应用策略，体会“实力均等智者胜”。
第三次比较：
红牌：
10、7、4；黑牌：
10、7、4
生1：
黑方获胜。
黑4与红10比；黑7与红4比；黑10与红7比。
生2：
也可能是平局。
黑4与红10比；黑7与红7比；黑10与红4比。
生4：
红方也有机会获胜，只要让黑方先出牌。
红10与黑7比；红7与黑4比；红4与黑10比。
师：
刚才同学们的每种比较都是正确的，当他们双方实力完全相等的情况下，就看谁懂得其中的策略，谁就能获胜。
这就叫做实力均等，智者为王。
师：
你认为，“智者”是怎么做的？
设计说明：
在真实的双方对局中，必然会出现“实力悬殊”，“实力稍逊”“实力对等”等各种不同的情形，其对局结果也有所不同。
通过对“实力稍逊，以弱胜强”“实力均等，智者为王”两种情况的研究，让学生体会到学习和应用策略的重要价值。
而通过对“实力悬殊，胜负分明”的学习，让学生感受到策略应用也要有一定的条件，并不是万能的。
由此学生对对策的认识更为全面、立体。
（四）介绍故事“田忌赛马”，内化对策略的理解。
1．课件出示故事“田忌赛马”，让学生说说田忌的应对方法。
第一场第二场第三场
齐王上等马中等马下等马
田忌下等马上等马中等马
获胜齐王 田忌 田忌
2．请学生用成语或是谚语来说说“玩牌游戏”和“田忌赛马”的共同点。
生：
以弱克强、小材大用。
生：
后发制人。
生：
知己知彼·百战不殆。
生：
扬长避短、反败为胜。
……
设计说明：
“田忌赛马”和“比较扑克牌的大小”，情境不同，结构相同。
让学生从本质上体会两者的“同”，也就是又一次对策略更高层面的理解和内化。
（五）拓展学生对不同策略的认识。
1．取棋子活动，学生应用策略解决问题。
游戏规则：
10颗棋子，两人轮流拿，每次只能拿一颗或两颗，谁最先拿到第10颗，谁就获胜。
（1）学生尝试，理解规则。
（2）游戏中思考：
有没有策略，使自己必定获胜?
（3）教师巡视指导，收集相关示意图。
反馈：
师：
刚才一位同学取到7后，同桌就不取了，请问同桌你为什么不接着取了？
生：
如果我取8号，那9、10就被对方取走；如果取8号、9号，那10号也被对方取走。
我一定输了。
师：
如此说来，要想取到10，就必须取到7这个关键点。
教师在实物投影仪上呈现4张示意图，请学生思考：
怎样能保证取到7号？
2．介绍应用策略的案例，体会策略的价值。
案例一：
扑克游戏中的对策
游戏规则：
大牌压小牌，也可以选择不出牌，大的一方继续出牌，先出完的一方为胜。
场景描述：
最后聪聪和明明都剩下三张牌，由聪聪接着出牌。
聪聪：
3、10、K明明：
7、10、大王
问题：
聪聪先出哪张牌就一定取胜？
具体对策：
聪聪先出10，明明可以出大王，接下来明明出任何牌，都小于老K，然后聪聪把3打出，就胜了；聪聪出10时，明明如果选择不出牌，聪聪继续出3，此时明明如果出7或10，都被聪聪的老K压掉，所以此时明明要出大王，但接下来明明出7或10，都小于老K，聪聪也胜了。
案例二：
囚徒困境的故事
有一天，一个富翁在家中被杀，财物被盗。
警方在侦破过程中，抓到两个犯罪嫌疑人张三和李四，并从他们的住处搜出富翁家中丢失的财物。
但是，张三和李四只承认偷了东西，却不承认杀过人。
于是警方将两人分别关在不同的房间进行审讯。
警察分别对张三和李四说，“已经确定你们偷过东西，可以判你们1年刑期。
现在，如果你坦白杀人的罪行，我只判你3个月的监禁，但你的同伙要被判10年刑。
如果你不坦白，而被同伙检举，那么你就将被判10年刑，他只判3个月的监禁。
如果你们两人都坦白交代，那么两人都要被判5年刑。
”
张三和李四会做怎样的选择呢？
张三、李四面临着两难的选择，要么坦白，要么抵赖。
显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判一年。
但是由于两人在不同房间，无法商量，就都会从有利于自己的方面进行选择。
这两个人都会有这样一个盘算过程：
假如他招了，我不招，得坐10年监狱，如果我也招了才5年，所以招了划算；假如我招了，他也招，得坐5年，他要是不招，我就只坐3个月，而他会坐10年牢，也是招了划算。
综合以上几种情况考虑，不管他招不招，对我而言都是招了划算。
两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了招，结果都被判5年刑期。
这就是著名的“囚徒困境”。
案例三 体育比赛中排兵布阵的对策
某次羽毛球男团、女团的比赛，交战双方分别派出“三单两双”，根据竞赛办法，各队可自行安排各单项运动员的出场顺序，这无疑给了实力偏弱的一方以“可乘之机”：
他们完全可以借鉴“田忌赛马”的策略，化劣势为优势。
以甲队女队为例，作为第三档队伍的他们将迎来本次比赛的首个对手－－第二档的乙队。
双方阵中都有一队实力不俗的女双选手，乙队拥有曾获混双金牌的“原配”两位选手A1/A2，甲队则拥有已提前获得女双决赛资格的两位选手B1/B2。
从实力上来分析，如果双方在比赛中正面交锋的话，B1/B2几乎没有任何胜算，而甲队的另一女双组合C1/C2也很难再面对乙队的D1/D2时占到便宜。
如此一来，甲队很可能在两局双打中惨败。
不过假如B1/B2能够回避A1/A2而与D1/D2交锋的话，则获胜的机会很大，即使C1/C2输给A1/A2，两队也可以在双打项目上平分秋色（各赢一局）。
教师指导策略：
学习材料的设计和选择是探究活动的基础。
本节课在引导学生进行自主探究时也经历了对材料的“取舍”过程。
（1）故事“田忌赛马”何去何从？
在本案例的研究中，考虑到很多学生已经知道故事“田忌赛马”的结论了，因此经过实践研究，最后把它定位于“应对策略基本清晰后的简单呈现，在联系沟通中内化策略”，同时又十分自然的引出了策略名称。
（2）“报数”游戏的改造。
教材116页还提供了一个“报数”游戏：
两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就获胜。
其目的在于让学生从“田忌赛马”的策略中走出来，拓展学生对不同策略的认识。
“报数游戏”和“田忌赛马”都需要运用策略取胜，但两者在具体策略上却截然不同。
尽管我们也认识到具体应对方法不是最重要，不能拘泥于细节和局部的讨论，更重要的是让学生体会运筹思想，感悟对策论方法在实际中的应用。
可是看到学生在经历“报数”游戏中，苦苦寻求策略而不得时，我们想到了“舍弃”，并构想学生通过了解生活中应用策略的例子，来体会运筹思想和对策论方法。
但最后还是保留了数学游戏，因为能更好地实现“尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题”的目标。
于是作了一些改造，成为“取棋子”活动，既便于学生动手操作（圈一个棋子或两个棋子），又能留下活动过程的静态图，便于学生觉察到关键点“7”“4”“1”，从而领会获胜策略。
另外，在学生探究中遭遇思维搁浅时，需要教师及时提示。
如学生在取棋子游戏中无从研究时，教师就可以提示学生思考：
因为每次可报1或2，如果你想取到最后一颗棋子，前一颗就必须取到哪一颗？
还可以提示学生观察每一次取棋子的示意图，从而使学生豁然开朗，走出思维迷途。
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