中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案.docx

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中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案

2020年中考数学一轮复习培优训练：

《三角形》

1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：

∠ADC＝∠BEC；

（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：

AE＝BD；

（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝

，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．

2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．

（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．

（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝　　，BH＝　　；

（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝　　，BH＝　　；

（3）从第

（1）、

（2）中你发现了什么规律？

在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？

并证明你的猜想．

4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．

（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　　；

（2）如图2，当BD≠BE时，

（1）中的结论是否成立？

若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；

（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．

5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．

（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．

试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．

①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：

　　．

②直接写出NP+MP的最小值　　．

（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：

PC＝PA．

6．探究题：

如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝　　；

（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；

（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝　　cm．（请直接写出答案）

7．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．

（1）在图①中，点C坐标为　　；

（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：

AD＝CE；

（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；

（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？

若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

9．阅读下列材料，完成

（1）～（3）题：

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：

小明：

“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：

“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”

小伟：

“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”

……

老师：

“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出

的值．”

（1）求证：

AF＝FG；

（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；

（3）直接写出

的值．

10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　　度；

（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝　　度；

（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．

11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．

（1）填空：

m＝　　，n＝　　；

（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；

（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：

①△ACE为等腰直角三角形；

②BF﹣EF＝OC．

12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．

（1）求证：

∠ABD＝∠ACD．

（2）若点E在BA延长线上，求证：

AD平分∠CAE．

（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：

AB＝CG．

13．如图

（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：

AC＝AE；

（2）求证：

CA平分∠BCD；

（3）如图

（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．

14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）求证：

△CAE≌△BAD；

（2）探究：

当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：

EF＝DC．

15．

（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：

DE＝DF，AE＝AF．

（2）如图2，在

（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？

并加以证明．

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为　　．（直接写答案）．

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CE＝CD，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠ADC＝∠BEC．

（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，

∵AE∥BD，

∴∠EFC＝∠CDB＝45°．

∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，

∴EC＝CF．

∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，

∴BF＝BD，

∴AE＝BD；

（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．

设AD、BE交于点O，由

（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，

∴∠DOE＝∠DCE＝90°．

又∵∠CED＝∠CDE＝45°，

∴

＝2，

∴∠BED＝30°，

∴OD＝

DE＝

×2＝1，

∴

＝

，OB＝

＝

，

∴AD＝BE＝OB+OE＝

+

．

2．解：

（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：

如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，

∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；

（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：

BM﹣CN＝BD；理由如下：

如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴∠NCD＝120°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，

∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，

∴BM﹣CN＝BD．

3．解：

（1）如图①连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝3，

故答案为：

3，3；

（2）如图②，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝2，

故答案为：

2，2；

（3）从第

（1）、

（2）中发现AF＝CF＝BH；

猜想BH＝1，

理由如下：

如图③，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝1．

4．解：

（1）∵△DEF是等边三角形，

∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，

∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，

∴△DBF≌△EBF（SSS）

∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，

∴∠EBF＝60°，

故答案为：

60°；

（2）结论仍然成立，

理由如下：

如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，

∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，

∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，

∴△FDH≌△FEG（AAS）

∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由

（2）可知：

△FDH≌△FEG，

∴DH＝EG，

∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，

∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠BFH＝∠BFG＝30°，

∴BF＝2BH＝2BG，

∴BF＝BH+BG＝BD+BE．

5．解：

（1）①如图2所示：

作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，

∵点M与点M'关于EC对称，

∴MP＝M'P，

∴NP+MP＝NP+M'P，

∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；

故答案为：

作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；

②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，

∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，

∴BM'＝10，

∵∠B＝30°，M'N⊥BC，

∴MN'＝5，

∴NP+MP的最小值为5，

故答案为：

5；

（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，

∵∠BPC＝75°，BC＝BP，

∴∠BCP＝∠BPC＝75°，

∴∠CBP＝30°，

∵∠ACB＝90°，AC＝CB，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，

∴∠ABP＝15°，

∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，

∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，

∴△PEF是等边三角形，

∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，

∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，

∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，

∴△BPF≌△CAP（ASA）

∴PF＝AE，

∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，

∴∠EPA＝∠PAE＝30°，

∵∠EPA＝∠PCA+∠PAC＝30°，

∴∠PCA＝∠PAC＝15°，

∴PC＝PA．

6．解：

（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，

∴PC＝1cm，

∴AB＝PC，

∵DP⊥AP，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

在△ABP和△PCD中，

，

∴△ABP≌△PCD，

∴BP＝CD＝4cm；

（2）PB＝PC，

理由：

如图2，延长线段AP、DC交于点E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°，

在△DPA和△DPE中，

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．

在△APB和△EPC中，

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，

又∵DP⊥AP，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝AB＝1cm，

∴PC＝BC﹣BP＝4cm，

∴CD＝CP＝4cm，

故答案为：

4．

7．

（1）解：

如图①中，作CH⊥y轴于H．

∵A（2，0），B（0，1），

∴OA＝2，OB＝1，

∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，

∴∠CBH＝∠OAB，

∵AB＝BC，

∴△AOB≌△BHC（AAS），

∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，

∴OH＝OB+BH＝3，

∴C（1，3）．

故答案为（1，3）．

（2）证明：

如图②中，

∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA≌△EBC（SAS），

∴EC＝AD．

（3）解：

如图②中，设CD交AB于J．

∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，

∴∠BCD＝∠BAD，

∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，

∴∠BAD+∠AJD＝90°，

∴∠ADJ＝90°，

∴CD⊥OA，

∵C（1，3），

∴OD＝1．

（4）解：

设F（0，m）．

由题意：

•|m﹣1|•2＝2，

∴m＝3或﹣1，

∴F（0，3）或（0，﹣1）

8．解：

（Ⅰ）结论：

BM＝AN，BM⊥AN．

理由：

如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，

∴△MBP≌△ANP（SAS），

∴MB＝AN．

延长MB交AN于点C．

∵△MBP≌△ANP，

∴∠PAN＝∠PMB，

∵∠PAN+∠PNA＝90°，

∴∠PMB+∠PNA＝90°，

∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，

∴BM⊥AN．

（Ⅱ）结论成立

理由：

如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°

∴∠MPB＝∠APN＝120°，

又∵PM＝PA，PB＝PN，

∴△MPB≌△APN（SAS）

∴MB＝AN．

（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等边三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN

∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，

∴PC＝PA＝PM＝

PB＝

PN，

∵∠APC＝60°，

∴△APC为等边三角形，

∴∠PAC＝∠PCA＝60°，

又∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠ABC＝30°，

∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．

9．

（1）证明：

如图1中，作AH⊥AG交BG于H．

∵∠BAC＝∠HAG＝90°，

∴∠BAH＝∠CAG，

∵BG⊥CG，

∴∠EAB＝∠EGC＝90°，

∵∠AEB＝∠CEG，

∴∠ABH＝∠ACG，

∵AB＝AC，

∴△ABH≌△ACG（ASA），

∴AH＝AG，

∵AF⊥FG，∠HAG＝90°，

∴FH＝FG，

∴AF＝FG＝FH．

（2）解：

结论：

AG＝2DF，DF⊥AG．

理由：

如图2中，连接AD，DG，作DK⊥BG于K．

∵∠BAC＝∠BGC＝90°，BD＝CD，

∴DA＝DG＝

BC，

∵DF＝DF，AF＝FG，

∴△DFA≌△DFG（SSS），

∴∠ADF＝∠GDF，

∴DF⊥AG，

∵DK∥CG，BD＝DC，

∴BK＝KG，

∴DK＝

CG，

∵AE＝CE，∠AFE＝∠CGE，∠AEF＝∠CEG，

∴△AEF≌△CGE（AAS），

∴AF＝CG＝2DK，

∵△ADF≌△GDF，

∴∠AFD＝∠GFD＝135°，

∵∠AFK＝90°，

∴∠DFK＝45°，

∴DF＝

DK

∵AG＝

AF，

∴AG＝2DF．

（3）由

（2）可知：

CG＝2DK，DF＝

DK，

∴

＝

＝

10．解：

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

故答案为：

90；

（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABD＝∠ACB＝60°，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE＝60°，

∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，

故答案为：

120．

（3）①α+β＝180°，

理由：

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．

即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE．

∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．

∵∠ACE+∠ACB＝β，

∴∠B+∠ACB＝β，

∵α+∠B+∠ACB＝180°，

∴α+β＝180°．

②如图1：

当点D在射线BC上时，α+β＝180°，

连接CE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，

即：

∠BCE+∠BAC＝180°，

∴α+β＝180°，

如图2：

当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．

连接BE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，

∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，

∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE．

∴α＝β；

综上所述：

点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．

11．解：

（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，

∴m＝n＝4，

故答案为：

4，4；

（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，

∵点A（0，4）和点B（4，0），

∴OA＝OB＝4，

∴S△ABO＝

×4×4＝8，

∵△AOC的面积为2，

∴

AO×CH＝

×4×CH＝2，S△BOC＝6＝

×OB×CG＝

×4×CG，

∴CH＝1，CG＝3，

∴点C（1，3），

∵DC＝OC，

∴点D（2，6）

（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵BE平分∠ABO，

∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，

∴△OBE≌△CBE（SAS）

∴∠EOB＝∠ECB＝90°，

∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，

∴∠CAE＝∠AEC＝45°，

∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，

∴△ACE是等腰直角三角形；

②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，

∵OM平分∠AOB，

∴∠AOM＝∠BOM＝45°，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，

∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，

∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，

∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，

∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，

∴△ACO≌△OMB（ASA）

∴BM＝OC，

∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF