山东省高考文科数学真题与答案.docx
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山东省高考文科数学真题与答案
2013年山东省高考数学试卷（文科）
一．选择题：
本题共12个小题，每题5分，共60分．
1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）
A．25B．C．5D．
2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且?
U（A∪B）={4}，B={1，2}，
则A∩?
UB=（）
A．{3}B．{4}C．{3，4}D．?
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=
（）
A．2B．1C．0D．﹣2
4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所
示该四棱锥侧面积和体积分别是（）
A．4，8B．
C．
D．8，8
5．（5分）函数f（x）=
的定义域为（
）
A．（﹣3，0]
B．（﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）
∪（﹣3，1）
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二
次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
第1页（共23页）
A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.8
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，
则c=（）
A．B．2C．D．1
8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的
（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）
A．B．C．
D．
10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分
数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，
第2页（共23页）
在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为（）
A．
B．
C．36D．
11．（5分）抛物线C1：
的焦点与双曲线C2：
的右焦点
的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，
则p=（
）
A．
B．
C．
D．
．（
分）设正实数
x，y，z
满足x
2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当
取得最小值时，x+2y
125
﹣z的最大值为（）
A．0B．C．2D．
二．填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
所表示的区
域上一动点，则直线|OM|的最小值为
．
15．（4分）在平面直角坐标系
xOy中，已知
，
，若∠
ABO=90°，则实数t的值为
．
16．（4分）定义“正对数”：
ln+x=
，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0
，则ln+（ab）=bln+
；
a
②若a＞0，b＞0
，则ln+（ab）=ln+
+
；
a+lnb
③若a＞0，b＞0，则
；
④若a＞0，b＞0
，则ln+（a+b）≤ln
+
+
．
a+lnb+ln2
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）
第3页（共23页）
三．解答题：
本大题共6小题，共74分，
17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：
米）以及体重指标（单位：
千克/米2）如表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78
以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指
标都在[18.5，23.9）中的概率．
18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx＞（0），且y=f（x）的
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：
CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：
平面EFG⊥平面EMN．
20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．
第4页（共23页）
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f
（1）．试比较lna与﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中
点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．
第5页（共23页）
2013年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：
本题共12个小题，每题5分，共60分．
1．（5分）（2013?
山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）
A．25B．C．5D．
【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．
【解答】解：
因为复数z==，
所以|z|==．
故选C．
2．（5分）（2013?
山东）已知集合
、全集
（A∪B）={4}，
AB
U={1、2、3、4}，且?
U
B={1，2}，则A∩?
UB=（
）
A．{3}B．{4}C．{3，4}D．?
【分析】通过已知条件求出A∪B，?
UB，然后求出A∩?
UB即可．
【解答】解：
因为全集U={1.2.3.4．}，且?
U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，
3}，
B={1，2}，所以?
UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．
所以A∩?
UB={3}．
故选A．
3．（5分）（2013?
山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+
，
则f（﹣1）=（
）
A．2B．1C．0D．﹣2
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f
（1），运
第6页（共23页）
算求得结果．
【解答】解：
∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣
1）=﹣f
（1）=﹣（1+1）=﹣2，
故选D．
4．（5分）（2013?
山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）
视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）
A．4，8B．C．D．8，8
【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面
边长和高，则其侧面积和体积可求．
【解答】解：
因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四
棱锥，
其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，
高PO=2，
则四棱锥的斜高PE=．
所以该四棱锥侧面积S=，
体积V=．
故选B．
第7页（共23页）
5．（5分）（2013?
山东）函数f（x）=的定义域为（）
A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）
∪（﹣3，1）
【分析】由函数解析式可得1﹣2x≥0且x+3＞0，由此求得函数的定义域．
【解答】解：
由函数f（x）=可得1﹣2x≥0且x+3＞0，解得﹣3
＜x≤0，
故函数f（x）=的定义域为{x|﹣3＜x≤0}，
故选A．
6．（5分）（2013?
山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值
为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为
（）
第8页（共23页）
A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.8
【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：
若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，
第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，
第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，
第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；
第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，
满足下面一个判断框条件a≥1，
第1
次循环，a=1.2﹣1=0.2，
第2
次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出
a=0.2；
故选C．
7．（5分）（2013?
山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，
a=1，b=，则c=（）
A．B．2C．D．1
第9页（共23页）
【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．
【解答】解：
∵B=2A，a=1，b=，
∴由正弦定理=得：
===，
∴cosA=，
由余弦定理得：
a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，
解得：
c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），
则c=2．
故选B
8．（5分）（2013?
山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，
则p是￢q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?
p的充分不必要
条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
【解答】解：
∵?
p是q的必要而不充分条件，
∴q是?
p的充分不必要条件，即q?
?
p，但?
p不能?
q，其逆否命题为p?
?
q，但?
q不能?
p，
则p是?
q的充分不必要条件．故选A．
9．（5分）（2013?
山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）
A．B．C．
第10页（共23页）
D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然
后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：
因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x=时，，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选D．
10．（5分）（2013?
山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低
分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模
糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为（）
A．B．C．36D．
【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．
【解答】解：
∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．
∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．
∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．
故选：
B．
（．
5
分）（
山东）抛物线
1：
的焦点与双曲线C2：
11
2013?
C
第11页（共23页）
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一
条渐近线，则p=（）
A．B．C．D．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点
的直线方程，求出函数
在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的
导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与
p的关系，把M点的
坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：
由
，得x2
（
＞），
=2pyp
0
所以抛物线的焦点坐标为
F（
）．
由
，得
，
．
所以双曲线的右焦点为（
2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
，
即
①．
设该直线交抛物线于M（
），则C1在点M处的切线的斜率为
．
由题意可知
，得
，代入M点得M（
）
把M点代入①得：
．
解得p=
．
故选：
D．
12．（5分）（2013?
山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当
取得
最小值时，x+2y﹣z的最大值为（
）
A．0B．
C．2
D．
【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入
，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最
第12页（共23页）
大值．
【解答】解：
∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，
∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=）”，
即x=2y（y＞0），
∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）
=4y﹣2y2
=﹣2（y﹣1）2+2≤2．
∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：
C．
二．填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）（2013?
山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中
最短的弦长为2．
【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：
根据题意得：
圆心（2，2），半径r=2，
∵
=＜2，∴（3，1）在圆内，
∵圆心到此点的距离d=，r=2，
∴最短的弦长为2
=2．
故答案为：
2
14．（4分）（2013?
山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．
【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．
第13页（共23页）
【解答】解：
如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，
由点到直线的距离公式得：
d==，
则|OM|的最小值等于．
故答案为：
．
15．（4分）（2013?
山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，
若∠ABO=90°，则实数t的值为5．
【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．
【解答】解：
因为知，，
所以=（3，2﹣t），
又∠ABO=90°，所以，
可得：
2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．
故答案为：
5．
16．（4分）（2013?
山东）定义“正对数”：
ln+x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln
+（ab）=bln+
；
a
②若a＞0，b＞0，则ln
+（ab）=ln+
+
；
a+lnb
③若a＞0，b＞0，则
；
④若a＞0，b＞0，则ln
+（a+b）≤ln
+
+
．
a+lnb+ln2
第14页（共23页）
其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）
【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于
在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个
命题的真假．
【解答】解：
（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，
又bln+
，故有
ln
+（ab）=bln+
；当＜
时，b＜1，故ln+（ab）=0，又a＜
a=blna
a
a
1
a
1
时
+
，所以此时亦有
+（ab）=bln+
，故①正确；
blna=0
ln
a
（2）对于②，此命题不成立，可令
a=2，b=
，则ab=
，由定义ln+（ab）=0，
+
+
+
+
+
lna+lnb=ln2，所以ln
（ab）≠lna+lnb，故②错误；
（3）对于③，
i．≥1时，此时
≥0，
当a≥b≥1时，ln+
﹣
+
﹣
，此时则
，命
a
lnb=lnalnb=
题成立；
当a＞1
＞b＞0
时，ln+a﹣ln+b=lna，此时
，
＞lna，则
，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln
+﹣
+
，
成立；
a
lnb=0
ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
第15页（共23页）
∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤
ln+a+ln+b+ln2．
故④正确．
故答案为①③④．
三．解答题：
本大题共6小题，共74分，
17．（12分）（2013?
山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：
米）以及体重指标（单位：
千克/米2）如表所示：
ABCDE
身高1.691.731.751.791.82
体重指标19.225.118.523.320.9
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．
【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．
（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
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