新课标全国2卷理科数学.docx

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新课标全国2卷理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.

已知z

（m

3）

（m

1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数

m的取值范围是

（A）

3，1

（B）

1，3

（C）1,+

（D）-

，3

2.

已知集合A

{1,

2,

3}，B

{x|（x1）（x

2）0，xZ}，则A

B

（A）1

（B）{1，2}

（C）0，1，2，3

（D）{1，0，1，2，3}

3.

已知向量a

（1,m），b=（3,2）

，且（ab）

b，则m=

（A）8

（B）6

（C）6

（D）8

4.

圆x

2

y

2

2x8y

13

0的圆心到直线axy

10的距离为

1，则a=

（A）

4

（B）

3

（C）3

（D）2

3

4

5.

如图，小明从街道的

E处出发，先到

F处与小红会合，再一起到位于

G处的老年公寓参加志愿者

活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24（B）18（C）12（D）9

6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

1

（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π

7.

若将函数y=2sin2x的图像向左平移

π个单位长度，则平移后图象的对称轴为

12

（A）x

kππk

Z

（B）x

kππkZ

2

6

2

6

（C）x

kππkZ

（D）x

kππkZ

2

12

2

12

8.

中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图

.执行该

程序框图，若输入的

x

2，n

2，依次输入的

a为2，2，5，则输出的s

（A）7

（B）12

（C）17

（D）34

9.

若cosπ

3，则sin2

=

4

5

（A）7

（B）1

（C）

1

（D）

7

25

5

5

25

10.

从区间0,1

随机抽取

2n个数x1,x2

，⋯，xn，y1，y2

，⋯，yn

，构成n个数

11

，

22

⋯

，

n,

y

n

，其中两数的平方和小于

1

的数对共有

m

个，

对x,y

x,y，

x

则用随机模拟的方法得到的圆周率

的近似值为

（A）4n

（B）2n

（C）4m

（D）2m

m

m

n

n

11.

已知F1，F2是双曲线

x2

y2

1

E：

2

2

1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1,

a

b

3

则E的离心率为

（A）2

（B）

3

（C）3

（D）2

2

12.

已知函数f

xxR

满足f

x

2f

x

，若函数y

x

1

与y

fx

图像的交点

x

m

为x1，y1

，x2，y2

，?

，xm，ym

，则

xiyi

（

）

i

1

（A）0

（B）m

（C）2m

（D）4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

。

题为

第22~24

选考题。

考生根据要求作答。

二、选择题：

本题共

4小题，每小题

5分。

13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，若cosA

4，cosC

5

，则b

．

，a1

5

13

2

14.，是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：

①如果m

n，m

，n∥，那么

．

②如果m

，n∥

，那么mn．

③如果a∥

，m

，那么m∥．

④如果m∥n，∥

，那么m与所成的角和n与

所成的角相等．

其中正确的命题有

.（填写所有正确命题的编号）

15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片

后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是

2”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字

不是1”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是

5”，则甲的卡片上的数字是

16.

若直线ykx

b是曲线y

lnx2的切线，也是曲线y

lnx1

的切线，b

．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

（本小题满分

12

分）

Sn为等差数列

an

的前n项和，且a1

1，S7

28．记bn

lgan

，其中x表示不超过x的最大整

数，如0.9

0，lg99

1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列

bn

的前1000项和．

18.（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与

其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出

60%

的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，

3

5

AECF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置OD10.

4

（I）证明：

DH

平面ABCD；

（II）求二面角BDAC的正弦值.

19.（本小题满分12分）

22

已知椭圆E:

xy1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A，M两

t3

点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t4，AMAN时，求△AMN的面积；

（II）当2AMAN时，求k的取值范围.

21.（本小题满分12分）

（I）讨论函数f（x）

x

2

ex的单调性，并证明当

x

0时，（x2）ex

x2

0;

x

2

x

ax

a

（II）证明：

当a[0,1）

时，函数g

x=

e

（x

0）有最小值.设gx

的最小值为h（a），求函数

x

2

h（a）的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答

如果多做,则按所做的第一题计分

做答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，

过D点作DF⊥CE，垂足为F.

（I）证明：

B，C，G，F四点共圆；

（II）若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

23.（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

2

25．

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为x6y2

（I）以坐标原点为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是

xtcos

10，求l的斜率．

（t为参数），l与C交于A、B两点，AB

ytsin

24.（本小题满分10分），选修4—5：

不等式选讲

已知函数fxx

1

x

1

，M为不等式fx

2的解集.

2

2

（I）求M；

（II）证明：

当a，bM时，ab1ab．

4

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案及解析

1.【解析】A

∴m30，m10，∴3m1，故选A．

2.【解析】C

B

xx

1x

2

，

Z

x1x2，x

Z，

0x

∴B0，1，∴AB

0，1，2，3，

故选C．

3.

【解析】D

a

b

4，m

2

，

∵（ab）b，∴（ab）b122（m2）0

解得m8，

故选D．

4.【解析】A

圆x

2

y

2

2x

8y13

0化为标准方程为：

2

2

x1

y44，

1，4

a

4

1

4

故圆心为

，d

a2

1，解得a

，

1

3

故选A．

5.【解析】B

EF有6种走法，FG有3种走法，由乘法原理知，共6318种走法

故选B．

6.【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为

r

，周长为c，圆锥母线长为

l，圆柱高为h．

由图得r

2，c

2πr

4π，由勾股定理得：

l

22

2

234，

S表πr

2

ch

1

cl

4π16π8π28π

2

，

故选C．

7.【解析】B

平移后图像表达式为

y2sin2x

π，

12

令2x

π

π

x

kππ

kπ+

，得对称轴方程：

2

kZ，

12

2

6

故选B．

5

8.【解析】C

第一次运算：

s0222，

第二次运算：

s2226，

第三次运算：

s62517，

故选C．

9.【解析】D

∵cos

3，sin2

cosπ2

2cos2π

1

7，

4

5

2

4

25

故选D．

10.【解析】C

i

i

1

2

，n在如图所示方格中，而平方和小于

1

由题意得：

，，

的点均在

x

，yi

如图所示的阴影中

π

m，∴π

4m

由几何概型概率计算公式知

4

，故选C．

1

n

n

11.

【解析】A

F1F2

F1F2

sinM

2

2

离心率e

，由正弦定理得

e

3

2

．

MF2

MF1

MF2

MF1

sinF1

sinF2

1

1

3

故选A．

12.

【解析】B

由f

x

2f

x

得f

x

关于

0，1

对称，

而y

x

1

1

也关于

0，1

对称，

x

1

x

∴对于每一组对称点xi

xi

'0

yi

yi'=2

，

m

m

m

2m

∴

xi

yi

xi

yi

0

m，故选B．

i1

i

1

i1

2

6

13.

21

【解析】

13

∵cosA

4

5

，cosC

，

5

13

sinA

3

12

，

5

，sinC

13

sinB

63

sinACsinAcosCcosAsinC

，

65

b

a

21

由正弦定理得：

解得b

．

sinB

sinA

13

14.【解析】②③④

15.【解析】（1,3）

由题意得：

丙不拿（2，3），

若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，

故甲（1，3），

16.

【解析】1

ln2

y

lnx

2的切线为：

1

lnx1

1（设切点横坐标为

x1）

y

x

x1

y

ln

x

1

的切线为：

y

1

x

ln

x2

x2

x2

1

1

1

x2

1

1

∴

x1

x2

1

x2

lnx1

1

lnx2

1

x2

1

解得x1

1

x2

1

2

2

∴b

lnx1

11

ln2．

17.

【解析】⑴设an

的公差为d，S7

7a4

28，

∴a4

4，∴d

a4

a1

1

，∴an

a1

（n1）dn．

3

∴b1

lga1

lg10，b11

lga11

lg111，b101lga101lg1012．

⑵记

bn

的前n项和为Tn，则T1000

b1

b2

b1000

lga1

lga2

lga1000．

当0≤lgan

1时，n

1，2，，9；

当1≤lgan

2时，n

10，11，，99；

7

当2≤lgan3时，n100，101，，999；

当lg

a

3

时，n1000．

n

∴T1000

0

91

902

900

31

1893．

18.

【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件

A，

P（A）1P（A）

1（0.30

0.15）

0.55．

⑵设续保人保费比基本保费高出

60%

为事件B，

P（BA）

P（AB）

0.10

0.05

3．

P（A）

0.55

11

⑶解：

设本年度所交保费为随机变量

X．

X

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费

EX

0.85

0.30

0.15a

1.25a

0.20

1.5a

0.20

1.75a

0.10

2a

0.05

0.25a5

0.a15

0.a

25a0.3

a0.17a5

，0.a

∴平均保费与基本保费比值为

1.23．

19.

【解析】⑴证明：

∵

AE

CF

5，

4