MATLAB解线性方程组的直接方法.docx

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MATLAB解线性方程组的直接方法

在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法•

3.1方程组的逆矩阵解法及其MATLA程序

3.1.3线性方程组有解的判定条件及其MATLAB?

序

判定线性方程组AmnX二b是否有解的MATLA醉序

end

function[RA,RB,n]=jiepb（A,b）B=[Ab];n=length（b）;RA=rank（A）;RB=rank（B）;zhica=RB-RA;

if

zhica>0,

disp（'请注意：

因为RA~=RB，所以此方程组无解.'）

return

end

if

RA==RB

ifRA==n

disp（'请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.'）

else

disp（'请注意：

因为RA=RB

end

解在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[23-15;312-7;41-36;1-24-7];

b=[0;0;0;0];[RA,RB,n]=jiepb（A,b）

运行后输出结果为

请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解

RA=4,RB=4,n=4

在MATLABT作窗口输入

>>X=A\b,

运行后输出结果为X=（0000）'.

（2）在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[34-57;2-33-2;411-1316;7-213];b=[0;0;0;0];

[RA,RB,n]=jiepb（A,b）

运行后输出结果

请注意：

因为RA=RB

RA=2,RB=2,n=4

（3）在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[42-1;3-12;1130];b=[2;10;8];[RA,RB,n]=jiepb（A,B）

运行后输出结果

请注意：

因为RA~=RB，所以此方程组无解•

RA=2,RB=3,n=3

（4）在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[21-11;42-21;21-1-1];

b=[1;2;1];[RA,RB,n]=jiepb（A,b）

运行后输出结果

请注意：

因为RA=RB

RA=2,RB=2,n=3

3.2三角形方程组的解法及其MATLA程序

3.2.2解三角形方程组的MATLAB?

序

解上三角形线性方程组AX二b的MATLAB^序

function[RA,RB,n,X]=shangsan（A,b）

B=[Ab];n=length（b）;RA=rank（A）;

RB=rank（B）;zhica=RB-RA;

ifzhica>0,

disp（'请注意：

因为RA~=RB，所以此方程组无解.'）return

end

ifRA==RB

ifRA==n

disp（'请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.'）X=zeros（n,1）;X（n）=b（n）/A（n,n）;

fork=n-1:

-1:

1

X（k）=（b（k）-sum（A（k,k+1:

n）*X（k+1:

n）））/A（k,k）;

end

else

disp（'请注意：

因为RA=RB

end

end

例3.2.2用解上三角形线性方程组的MATLAB程序解方程组

馭-x2+2x3+3x4=20,

*-2X2+7X3-4X4=-7,

|6x3+5X4=4,

J3X4=6.

解在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[5-123;0-27-4;0065;0003];

b=[20;-7;4;6];

[RA,RB,n,X]=shangsan（A,b）

运行后输出结果

请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.

RA=RB=

4,4,

3.3高斯（GausS消元法和列主元消元法及其MATLA程序

3.3.1高斯消元法及其MATLAB?

序

用高斯消元法解线性方程组AX二b的MATLA龍序

function[RA,RB,n,X]=gaus（A,b）

B=[Ab];n=length（b）;RA=rank（A）;

RB=rank（B）;zhica=RB-RA;

ifzhica>0,

disp（'请注意：

因为RA~=RB，所以此方程组无解.'）return

end

ifRA==RB

ifRA==n

disp（'请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.'）X=zeros（n,1）;C=zeros（1,n+1）;

forp=1:

n-1

fork=p+1:

n

m=B（k,p）/B（p,p）;

B（k,p:

n+1）=B（k,p:

n+1）_m*B（p,p:

n+1）;

end

end

b=B（1:

n,n+1）;A=B（1:

n,1:

n）;X（n）=b（n）/A（n,n）;

forq=n-1:

-1:

1

X（q）=（b（q）-sum（A（q,q+1:

n）*X（q+1:

n）））/A（q,q）;

end

else

disp（'请注意：

因为RA=RB

end

end

例3.3.2用高斯消元法和MATLAB^序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩

阵解方程组的方法验证.

乙一x2x3—3x4=1,

-X2-X3+X4=0,2X1-2x?

-4X3'6X4=—1,

Ix1-2x2-4x3x4--1.解在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[1-11-3;0-1-11;2-2-46;1-2-41];

b=[1;0;-1;-1];[RA,RB,n,X]=gaus（A,b）

运行后输出结果

RA=

RB=

4

n=

请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.

X=

0-0.50000.5000

3.3.2列主元消元法及其MATLAB?

序

用列主元消元法解线性方程组AX二b的MATLAB^序

function[RA,RB,n,X]=liezhu（A,b）

B=[Ab];n=length（b）;RA=rank（A）;

RB=rank（B）;zhica=RB-RA;ifzhica>0,

disp（'请注意：

因为RA~=RB，所以此方程组无解.'）return

end

ifRA==RB

ifRA==n

disp（'请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.'）X=zeros（n,1）;C=zeros（1,n+1）;

forp=1:

n-1

[Y,j]=max（abs（B（p:

n,p）））;C=B（p,:

）;B（p,:

）=B（j+p-1,:

）;B（j+p-1,:

）=C;

fork=p+1:

n

m=B（k,p）/B（p,p）;

B（k,p:

n+1）=B（k,p:

n+1）_m*B（p,p:

n+1）;

end

end

b=B（1:

n,n+1）;A=B（1:

n,1:

n）;X（n）=b（n）/A（n,n）;

forq=n-1:

-1:

1

X（q）=（b（q）-sum（A（q,q+1:

n）*X（q+1:

n）））/A（q,q）;

end

else

disp（'请注意：

因为RA=RB

end

end

例333用列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序解方程组

—X2—X3+X4=0,

X1-X2+X3-3X4=1,

_2x2_4x36x4=-1,

x1_2x2_4x3x4=_1.

解在MATLABT作窗口输入程序

>>A=[0-1-11;1-11-3;2-2-46;1-2-41];

b=[0;1;-1;-1];[RA,RB,n,X]=liezhu（A,b）

运行后输出结果

请注意：

因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解•

RA=4,RB=4,n=4,X=[0-0.50.50]'

3.4LU分解法及其MATLA程序

3.4.1判断矩阵LU分解的充要条件及其MATLAB?

序

判断矩阵A能否进行LU分解的MATLAB^序

functionhl=pdLUfj（A）

[nn]=size（A）;RA=rank（A）;ifRA~=n

disp（'请注意：

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A

的秩RA如下：

'）,RA,hl=det（A）;return

endifRA==n

forp=1:

n,h（p）=det（A（1:

p,1:

p））;,end

hl=h（1:

n）;

fori=1:

n

ifh（1,i）==0

disp（'请注意：

因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

'）,hl;RA,return

end

end

ifh（1,i）~=0

disp（'请注意：

因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分

解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

'）

hl;RA

end

例341

end

1

2

3、

1

2

3'

q

2

3、

1

12

7

；

（2）

1

2

7

；（3）

1

2

3

I4

5

6」

I4

5

6>

1

<4

5

6」

判断下列矩阵能否进行

LU分解，并求矩阵的秩

（1）

解

（1）在MATLA工作窗口输入程序

>>A=[123;1127;456];hl=pdLUfj（A）

运行后输出结果为

A能进行LU分解.A的秩RA和

请注意：

因为A的各阶主子式都不等于零，所以各阶顺序主子式值hl依次如下：

RA=3，hl=110-48

（2）在MATLA工作窗口输入程序

>>A=[123;127;456];hl=pdLUfj（A）

运行后输出结果为

请注意：

因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

RA=3，hl=1012

（3）在MATLA工作窗口输入程序

>>A=[123;123;456];hl=pdLUfj（A）运行后输出结果为

请注意：

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下

RA=2，hl=0

3.4.2直接LU分解法及其MATLA程序

将矩阵A进行直接LU分解的MATLAB^序

functionhl=zhjLU（A）

[nn]=size（A）;RA=rank（A）;ifRA~=n

disp（'请注意：

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A

的秩RA如下:

’）,RA,hl=det（A）;

return

endifRA==nforp=1:

n