平行线与相交线知识点整理总复习.docx

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平行线与相交线知识点整理总复习

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1的两边与∠2的两边

邻补角

∠3与∠4有一条边公共，另一边

注意点：

⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有：

（2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有个，而对顶角只有个。

（4）两直线相交形成的四个角中，共有组邻补角，组对顶角。

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

记作：

垂足为

⑵垂线性质1：

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

3、垂线的画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：

沿着这条直角边画线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段区别：

联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

⑵两点间距离与点到直线的距离区别：

联系：

都是线段的长度；

⑶线段与距离区别

6、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

。

7、两条直线的位置关系

，两条直线的位置关系只有两种：

8、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过一点，一条直线与这条直线平行

9、平行公理的推论：

如果那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵

∥

，

∥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴

∥

　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

10、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　如图，直线

被直线

所截，沿被截线线方向看去

　①∠1与∠5在截线

的，同在被截直线

的叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线

的，在被截直线

之间（内），叫做内错角；

　③∠5与∠4在截线

的，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角。

　④三线八角也可以从模型中看出。

同位角是“”型；内错角是“”型；同旁内角是“”型。

11、如何找截线和被截线

通常，截线就是2个角的，被截线就是2个角。

12.两直线平行的判定方法

方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：

几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（）

注意：

当同位角相等时，只能得到这2个同位角的平行。

同理……

13、平行线的性质：

　性质1：

　性质2：

　性质3：

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（）

注意，当有2直线平行时，要先，再去找3种类型的角。

14、两条平行线的距离

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点E，过点E作CD的垂线段EG，则垂线段EG的长度也就是直线AB与CD间的距离。

15、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成：

由和组成。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

（3）命题分类：

真命题、假命题

16、平移变换

　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的和完全相同。

　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是

　③连接各组对应点的线段且

1．如图，∠1的邻补角是

2、如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则

（1）与∠BOD互补的角有________________________；

（2）与∠BOD互余的角有________________________；

（3）与∠EOA互余的角有________________________；

（4）若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；∠EOD＝______；

∠AOE＝______．

3．图中是对顶角的是（）．

4．已知：

如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．

5．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．

图a图b图c

6．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．

图a图b图c

7、如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC的长的取值范围是（）．

（A）AC＜m（B）AC＞n

（C）n≤AC≤m（D）n＜AC＜m

8．如图所示，

（1）∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的_______角；

（2）∠A和∠ACE可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．

9．如图所示，

（1）∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；

（2）∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；

（3）∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．

10．已知图①～④，

图①图②图③图④

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有

11．如图，下列结论正确的是（）．

（A）∠5与∠2是对顶角（B）∠1与∠3是同位角

（C）∠2与∠3是同旁内角（D）∠1与∠2是同旁内角

12．已知：

如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行并写出推理的根据．

（1）如果∠2＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

（2）如果∠2＝∠5，那么____________．

（____________，____________）

（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．

（____________，____________）

（4）如果∠5＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

（5）如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．

（____________，____________）

（6）如果∠6＝∠3，那么____________．

（____________，____________）

13．已知：

如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

（1）∵∠B＝∠3（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（2）∵∠1＝∠D（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（3）∵∠2＝∠A（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

（4）∵∠B＋∠BCE＝180°（已知），

∴______∥______．（____________，____________）

14．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

（1）如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是_____________________

（2）如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是_______________________

（3）如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．

（4）如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．

15．已知：

如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．

（1）∵DE∥AB，（）

∴∠2＝______．（____________）

（2）∵DE∥AB，（）

∴∠3＝______．（____________________）

（3）∵DE∥AB（），

∴∠1＋______＝180°．（_______）

15．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．

16．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．

解题思路分析：

欲求∠4，需先证明______∥______．

解：

∵∠1＝∠2，（）

∴______∥______．（__________，__________）

∴∠4＝______＝______°．（__________，__________）

17．已知：

如图，∠1＋∠2＝180°．求证：

∠3＝∠4．

证明思路分析：

欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．

证明：

∵∠1＋∠2＝180°，（）

∴______∥______．（__________，__________）

∴∠3＝∠4．（______，______）

18．已知：

如图，AB∥CD，∠1＝∠B．

求证：

CD是∠BCE的平分线．

证明思路分析：

欲证CD是∠BCE的平分线，

只要证______＝______．

证明：

∵AB∥CD，（）

∴∠2＝______．（____________，____________）

但∠1＝∠B，（）

∴______＝______．（等量代换）

即CD是________________________．

19．已知：

如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：

BE∥CF．

证明思路分析：

欲证BE∥CF，只要证______＝______．

证明：

∵AB∥CD，（）

∴∠ABC＝______．（____________，____________）

∵∠1＝∠2，（）

∴∠ABC－∠1＝______－______，（）

即______＝______．

∴BE∥CF．（__________，__________）

20．已知：

如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度数．

解题思路分析：

欲求∠A，只要求∠ACD的大小．

解：

∵CD∥AB，∠B＝35°，（）

∴∠2＝∠______＝_______°．（____________，____________）

而∠1＝75°，

∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．

∵CD∥AB，（）

∴∠A＋______＝180°．（____________，____________）

∴∠A＝_______＝______．

21．已知：

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度数．

分析：

可利用∠DCE作为中间量过渡．

解法1：

∵AB∥CD，∠B＝50°，（）

∴∠DCE＝∠_______＝_______°．（____________，______）

又∵AD∥BC，（）

∴∠D＝∠______＝_______°．（____________，____________）

想一想：

如果以∠A作为中间量，如何求解

解法2：

∵AD∥BC，∠B＝50°，（）

∴∠A＋∠B＝______．（____________，____________）

即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．

∵DC∥AB，（）

∴∠D＋∠A＝______．（_____________，_____________）

即∠D＝______－______＝______°－______°＝______°．

22．已知：

如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数．

解：

过P点作PM∥AB交AC于点M．

∵AB∥CD，（）

∴∠BAC＋∠______＝180°．（）

∵PM∥AB，

∴∠1＝∠_______，（）

且PM∥_______．（平行于同一直线的两直线也互相平行）

∴∠3＝∠______．（两直线平行，内错角相等）

∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，（）

______，

______．（）

．（）

∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．（）

总结：

两直线平行时，同旁内角的角平分线______．

23、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式

90°的角是直角．

__________________________________________________________________．

末位数字是零的整数能被5整除．

__________________________________________________________________．

等角的余角相等．

__________________________________________________________________．

同旁内角互补，两直线平行．

__________________________________________________________________．

24．如图所示，将三角形ABC平移到△A′B′C′．

图a图b

在这两个平移中：

（1）三角形ABC的整体沿_______移动，得到三角形A′B′C′．三角形A′B′C′与三角形ABC的______和______完全相同．

（2）连接各组对应点的线段即AA′，BB′，CC′之间的数量关系是__________________；位置关系是__________________

25．已知：

平行四边形ABCD及A′点．将平行四边形ABCD平移，使A点移到A′点，得平行四边形A′B′C′D′．