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全国赛论文
DVD在线租赁分析
摘要
本文针对DVD在线租赁的运营方式和运营特点，引入了信号与系统学中的一些分析方法，将它们与线性规划法有机地结合起来，全面考虑了DVD在网站与会员间流通的整个过程；在此基础上建立的模型，应用于DVD的需求预测、购买和分配方案的制定，其合理性和实用性都很好。
针对问题一第一问“保证希望看到某DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD”的要求和第二问“保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD”的要求，我们通过对1000个会员的问卷调查结果的分析和计算，得出了5种DVD在不同条件下所需的最小张数。
在分析过程中，我们使用了信号与系统学中信号流图的分析方法，简化了分析过程，以此为基础建立并求解了线性规划模型，得到了所要求的数据。
对于此模型，我们所用到的知识并不复杂，计算量也不是很大，结果准确可靠，具有实际指导意义
针对问题二中“设计一个DVD发放分配方案，使会员获得最大的满意度”的要求，我们分析了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，定义了会员满意度的概念。
会员满意度与题中给出的会员对某种DVD的偏爱程度一一对应，有效的量化了会员对某种DVD的偏爱程度。
我们根据会员满意度的定义，建立了0-1整数规划模型，并编程求解，求出的会员平均满意度与会员最大可能满意度的比值达95.65%，。
在求解过程中，我们发现了lingo软件经常读取文件失败的原因，并用C语言编程处理，将题中给出的1000*100数据矩阵转换为1*100000的数据矩阵，成功实现了lingo软件一次性对100000个数据的读取和处理，简化了计算过程，保证了对DVD分配方案的整体优化，提高了计算的准确性和可靠性。
针对问题三中“设计DVD购买和分配方案，使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大”的要求，我们综合考虑了DVD购买总数与会员总满意度之间的关系，定义了变量经营者满意度，只用一个变量就清晰准确地说明了DVD购买总数与会员总满意度之间的关系，体现了数学简洁的美感。
根据经营者满意度的定义，我们建立了改进后的0-1整数规划模型，并编程求解，得到了DVD购买与分配的优化方案。
针对问题四中“提出在DVD的需求预测、购买和分配中值得重视的问题，并尝试建立相应的数学模型”的要求，我们结合信号与系统学中状态方程的分析方法，对网站资金流通中的四个参数建立了差分方程，提供了分析网站资金流通情况的有效方法。
1．问题的提出
1.1基本情况
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
1.2相关信息
在线DVD租赁服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
1.3需要解决的问题
结合在线DVD租赁服务的信息，考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请见附件），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
10
40
15
20
…
会员在线订单
C0001
6
0
0
0
…
C0002
0
0
0
0
…
C0003
0
0
0
3
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
注：
D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
2.问题的分析
DVD在线租赁是一种新兴的网络经济形式，它充分发挥了网络的诸多优势，具有很光明的发展前景。
为了更好的发展网络经济，完善DVD在线租赁业务的运营模式，我们对DVD的需求预测、购买和分配中的若干重要问题进行了分析和研究。
本题目要求我们根据对1000个会员的问卷调查结果和当前需要处理的1000位会员的在线订单，设计一个合理的DVD分配方案，使会员尽量得到他想看的DVD，并且满意度最大。
同时，题目要求我们对DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题进行研究，提出观点，并建立相应的数学模型。
为使我们的模型尽可能地贴近现实，具有实用性和建设性，我们首先正确统计出会员的租片意愿、会员对不同DVD的偏爱程度、会员的租赁时间、网站里各种DVD的现有数量等信息，尽可能发现他们之间的联系。
大量合理的假设也是本题的关键，它保证了我们建立的数学模型是现实可行的。
同时，为了便于分析和计算，我们还引入了信号与系统学中的一些概念和分析方法，为我们构建和完善数学模型起到了重要的作用。
3.信号与系统学中一些概念的引入
3.1信号流图的基本概念
信号流图（signalflowgraphs）是一种常见的线形系统的表示与分析方法。
这种方法由美国麻省理工学院的梅森于20世纪50年代首先提出。
此后在线性系统分析、线性方程组求解等方面得到广泛应用。
[1]信号流图方法的主要优点是：
系统模型的表示简明清楚，系统的计算过程明显简化。
3.2信号流图的表示方法
系统的信号流图用结点和支路来描述系统。
结点是表示系统中变量或信号的点，结点可以有很多信号输入，并且可以向不同方向输出。
支路是一段有始有终的有向线段。
线段表示信号传输的路径，线段上的箭头表示信号的传输方向。
信号传输的增益标注在箭头附近，每一条支路相当于乘法器。
3.3信号流图的性质
1.支路表示一个信号与另一信号的线性函数关系，信号只能沿着支路上箭头方向通过。
2.结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。
3．对于同一个系统，信号流图形式并不是唯一的。
同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。
3.4状态变量分析法的基本概念
状态变量分析法是利用状态变量来描述系统内部特性的分析方法，适用于描述复杂的多输入-多输出系统。
[2]
下面给出状态变量分析法中的几个名词定义。
状态对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道
时这组变量和
时的输入，那么就能完全确定系统在任何
的行为。
状态变量能够表示系统状态的那些变量称为状态变量。
状态矢量能够完全描述一个系统行为的
个状态变量，可以看作矢量
的各个分量的坐标。
状态空间状态矢量
所在的空间。
状态轨迹在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。
如果一个系统需要
个状态变量来描述，则状态矢量就是
维的矢量，对应的状态空间就是
维空间。
3.5离散时间系统状态方程的基本概念
对于一个动态的时域离散系统，它的数学模型是用各阶差分方程形式描述的。
作为离散系统的状态方程表现为一阶差分联立方程组的形式，即
状
态
方
程
输
出
方
程
其中：
为系统的状态变量；
为系统的m个输入信号；
为系统的r个输出信号。
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即
状
态
方
程
输
出
方
程
表示成矢量方程形式
其中
观察离散系统的状态方程可以看出：
（n+1）时刻的状态变量是时刻状态变量和输入信号的函数。
在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常取延时单元的输出。
离散时间系统状态变量描述的结构图如图1所示。
图中，1/E是延时单元，它的输入为
，输出是
。
若A，B，C，D矩阵是n的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，A，B，C，D各元素都为常数，不随n改变。
图1离散时间系统状态变量描述的结构图
4.模型假设与约定
4.1总体假设
对1000个会员的问卷调查结果、当前需要处理的1000位会员的在线订单、会员对各种DVD的偏爱程度、网站拥有的100种DVD的现有数量等数据真实可信
4.2具体假设与约定
1.假设会员不会租已经看过的DVD，即会员不会重复租同一张DVD。
2.假设会员在收到DVD后一个月内要将DVD寄还网站，即每张DVD的租赁时间最长不超过一个月。
3.假设网站每月向会员发放DVD的时间相对集中，即网站每月分两次定时向会员发放DVD。
4.假设DVD发放和寄还的时间很短，在建立模型时可以不用考虑。
5.假设会员在一个月内至少向网站租借DVD一次，且会员在一个月内至多向网站租借DVD两次。
这里的一个月定义为一个约30天的时间长度，与日历月份无关。
6.假设网站租给会员的DVD必须等会员寄还后，才能再租给其他会员。
7.假设会员在某次向网站租借DVD后，将保存DVD直到下一次向网站租借前。
例如，会员甲在某段时间网站第N次发放DVD时，向网站租借了DVD1；如果他想在一个月内第二次向网站租借DVD，则他将在网站第N+1次发放DVD前寄还上次所借的DVD1；如果他不想在一个月内第二次向网站租借DVD，则他将保存DVD1直到网站第N+2次发放DVD时再寄还。
8.假设10万个会员中愿意观看某种DVD的人数比例与1000个受问卷调查的会员中愿意观看某种DVD的人数比例相同。
9.假设DVD在“发放——寄还——再发放”的流通过程中，不会出现损坏、未归还等数量减少的情况。
即在由网站、流通渠道、会员组成的DVD流通系统中，参与流通的DVD的总数是一定的。
5.模型建立与求解
5.1问题一
5.1.1对数据的分析
通过对1000个会员的问卷调查，我们得到了愿意观看5种DVD的人数的数据如表3所示：
表3对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
通过计算，我们得到愿意观看5种DVD的会员数在总会员数中所占的比例如表4所示：
表4愿意观看5种DVD的会员数在总会员数中所占的比例
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的会员数在总会员数中所占的比例
20%
10%
5%
2.5%
1%
由于表4中的数据是通过对1000个会员的调查问卷进行统计分析得到了，具有统计规律性，能够较准确地反映所有会员愿意观看各种DVD的情况。
所以我们假设10万个会员中愿意观看某种DVD的人数比例与1000个受问卷调查的会员中愿意观看某种DVD的人数比例相同。
通过计算，我们得到10万个会员中愿意观看5种DVD的人数如表5所示：
表510万个会员中愿意观看5种DVD的人数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
20000
10000
5000
2500
1000
本题中对5种DVD数量的分析和计算可以分解为5个独立的问题，它们具有很大的相似性，可以用相同的数学模型进行分析和求解。
下面，我们以DVD1为例，讨论建立和求解相关数学模型的方法。
然后用相同的方法对其余4钟DVD进行分析和计算。
5.1.2对第一问的解答
根据我们的假设，网站在一个月内应分两次定时向会员发放DVD。
为保证希望看到DVD1的会员中至少50%，即10000人，在一个月内能够看到DVD1，网站应该准备一定数量的DVD1，并通过“发放——寄还——再发放”的过程，在两次发放后，使至少10000个会员能够看到DVD1。
我们使用信号流图的方法对DVD1在网站和会员之间“发放——寄还——再发放”的流通过程进行研究。
首先，我们对流图中的结点和支路所代表的意义作如下定义：
结点
：
网站在某段时间内第一次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第二次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第三次向会员发放的DVD1的数量。
支路：
支路代表网站向会员发放的DVD1所经过的“发放——寄还——再发放”的过程。
由于DVD1发放和寄还的时间很短，我们在建立模型时可以不用考虑它们，而将“发放——寄还——再发放”的过程简化为DVD1从一次发放到下一次发放的过程。
支路的增益：
支路的增益是标注在支路箭头附近的数字，在本流图中，它表示网站第N次发放的DVD1中经过“发放——寄还——再发放”的过程后，重新投入第N+1次或第N+2次发放的比例。
历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次；又因为会员在某次向网站租借DVD后，将保存DVD直到下一次向网站租借前；且会员在收到DVD后一个月内要将DVD寄还网站。
所以当某会员在网站第N次发放DVD时收到DVD，如果该会员希望在一个月内租赁DVD两次，则他将在网站第N+1次发放DVD前将所借的DVD寄还；如果该会员希望在一个月内只租赁DVD一次，则他将在网站第N+2次发放DVD前将所借的DVD寄还。
如果有若干张DVD1在网站第N次发放时被送到会员手中，那么它们中的60%将在网站第N+1次发放前被寄还网站，并在第N+1次发放中被发放给其他会员；它们中的40%将直到网站第N+2次发放前，才被寄还网站，并在第N+2次发放中被发放给其他会员。
为了简化模型和计算过程，我们取60%=0.6，取40%=0.4
根据以上定义，我们绘制一个月内DVD1流通的信号流图如图1所示：
图1
由图1可知，网站第一次发放的DVD1，其中60%在第二次发放前被寄还网站，并在第二次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第三次发放前才被寄还网站，并在第三次发放中被发放给其他会员。
由于网站在一个月内只进行两次DVD发放，所以一个月内发放到会员手中的DVD1的数量为
为保证希望看到DVD1的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD1,
应满足：
根据以上条件，并利用信号流图的性质“结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路”。
我们建立线性规划模型[3]如下：
因为网站发放的DVD可以通过“发放——寄还——再发放”的过程重复使用，所以网站第一次向会员发放的DVD1的数量
即为网站在满足会员要求下所需要的最少DVD1的数量。
使用lindo软件编程计算，得
，则对于DVD1，应该至少准备6250张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。
以上我们用信号流图结合线性规划的方法，建立了一个月内DVD1流通过程的数学模型，并求解模型，得到了满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD”所需的DVD1的最小张数。
由于本题中对5种DVD数量的分析和计算具有很大的相似性，我们采用了与求解DVD1最小张数相似的方法，对其余4种DVD分别建立了一个月内DVD流通过程的数学模型，并求解模型，分别得到了满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD”所需的DVD的最小张数。
综上所述，我们得到5种DVD在满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD”下所需的最小张数，如表6所示：
表65种DVD在满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD”下所需的最小张数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
所需的最小张数
6250
3125
1563
782
313
5.1.3对第二问的解答
根据我们的假设，网站在三个月内应分六次定时向会员发放DVD。
为保证希望看到DVD1的会员中至少95%，即19000人，在三个月内能够看到DVD1，网站应该准备一定数量的DVD1，并通过“发放——寄还——再发放”的过程，在六次发放后，使至少19000个会员能够看到DVD1。
我们使用信号流图的方法对DVD1在网站和会员之间“发放——寄还——再发放”的流通过程进行研究。
首先，我们对流图中的结点和支路所代表的意义作如下定义：
结点
：
网站在某段时间内第一次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第二次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第三次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第四次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第五次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第六次向会员发放的DVD1的数量。
结点
：
网站在某段时间内第七次向会员发放的DVD1的数量。
支路：
支路代表网站向会员发放的DVD1所经过的“发放——寄还——再发放”的过程。
由于DVD1发放和寄还的时间很短，我们在建立模型时可以不用考虑它们，而将“发放——寄还——再发放”的过程简化为DVD1从一次发放到下一次发放的过程。
支路的增益：
支路的增益是标注在支路箭头附近的数字，在本流图中，它表示网站第N次发放的DVD1中经过“发放——寄还——再发放”的过程后，重新投入第N+1次或第N+2次发放的比例。
历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次；又因为会员在某次向网站租借DVD后，将保存DVD直到下一次向网站租借前；且会员在收到DVD后一个月内要将DVD寄还网站。
所以当某会员在网站第N次发放DVD时收到DVD，如果该会员希望在一个月内租赁DVD两次，则他将在网站第N+1次发放DVD前将所借的DVD寄还；如果该会员希望在一个月内只租赁DVD一次，则他将在网站第N+2次发放DVD前将所借的DVD寄还。
如果有若干张DVD1在网站第N次发放时被送到会员手中，那么它们中的60%将在网站第N+1次发放前被寄还网站，并在第N+1次发放中被发放给其他会员；它们中的40%将直到网站第N+2次发放前，才被寄还网站，并在第N+2次发放中被发放给其他会员。
为了简化模型和计算过程，我们取60%=0.6，取40%=0.4
根据以上定义，我们绘制三个月内DVD1流通的信号流图如图2所示：
图2
由图2可知：
网站第一次发放的DVD1，其中60%在第二次发放前被寄还网站，并在第二次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第三次发放前才被寄还网站，并在第三次发放中被发放给其他会员。
网站第二次发放的DVD1，其中60%在第三次发放前被寄还网站，并在第三次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第四次发放前才被寄还网站，并在第四次发放中被发放给其他会员。
网站第三次发放的DVD1，其中60%在第四次发放前被寄还网站，并在第四次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第五次发放前才被寄还网站，并在第五次发放中被发放给其他会员。
网站第四次发放的DVD1，其中60%在第五次发放前被寄还网站，并在第五次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第六次发放前才被寄还网站，并在第六次发放中被发放给其他会员。
网站第五次发放的DVD1，其中60%在第六次发放前被寄还网站，并在第六次发放中被发放给其他会员；其余的40%直到第七次发放前才被寄还网站，并在第七次发放中被发放给其他会员。
由于网站在三个月内只进行六次DVD发放，所以三个月内发放到会员手中的DVD1的数量为
为保证希望看到DVD1的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD1,
应满足：
根据以上条件，并利用信号流图的性质“结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路”。
我们建立线性规划模型如下：
因为网站发放的DVD可以通过“发放——寄还——再发放”的过程重复使用，所以网站第一次向会员发放的DVD1的数量
即为网站在满足会员要求下所需要的最少DVD1的数量。
使用lindo软件编程计算（源程序见附件1），得
，则对于DVD1，应该至少准备4233张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD。
以上我们用信号流图结合线性规划的方法，建立了三个月内DVD1流通过程的数学模型，并求解模型，得到了满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD”所需的DVD1的最小张数。
由于本题中对5种DVD数量的分析和计算具有很大的相似性，我们采用了与求解DVD1最小张数相似的方法，对其余4种DVD分别建立了三个月内DVD流通过程的数学模型，并求解模型，分别得到了满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少95%在一个月内能够看到该DVD”所需的DVD的最小张数。
综上所述，我们得到5种DVD在满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD”下所需的最小张数，如表7所示：
表75种DVD在满足条件“保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD”下所需的最小张数
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
所需的最小张数
4233
2117
1059
530
212
5.1.4模型分析
1.模型评价
在建立模型时，我们考虑了会员每月租赁次数的的统计性规律，结合实际会员的个人需求不同，以及会员之间的相互关联，与实际情况更加符合。
同时，我们还用到信号流图，更加准确直观的展现了我们思考这个模型的思路。
对于此模型，我们所用到的知识并不复杂，计算量也不是很大，结果准确可靠，具有实际意义。
2.模型优缺点分析与改进方向
模型优点:
1.此模型对会员租赁次数影响所建立的模型
升级会员 