交集并集典型例题.docx

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交集并集典型例题

交集、并集·典型例题

交集.并集·典型例题

能力素质

例1　已知M＝{yy＝_2＋1,_∈R},N＝{yy＝－_2＋1,_∈R}则M∩N是

[　　]

A．{0,1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．{（0,1）}

C．{1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．以上均不对

分析　先考虑相关函数的值域．

解　∵M＝{yy≥1},N＝{yy≤1},

∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．

取值范围是

[　　]

A．m＜4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．m＞4

C．0＜m＜4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．0≤m＜4

可得0≤m＜4．

答　选D．

例3　设集合A＝{_－5≤_＜1},B＝{__≤2},则A∪B＝

[　　]

A．{_－5≤_＜1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．{_－5≤_≤2}

C．{__＜1}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．{__≤2}

分析　画数轴表示

B）．

答　选D．

说明:

集合运算借助数轴是常用技巧．

例4　集合A＝{（_,y）_＋y＝0},B＝{（_,y）_－y＝2},则A∩B＝________．

分析　A∩B即为两条直线_＋y＝0与_－y＝2的交点集合．

所以A∩B＝{（1,－1）}．

说明:

做题之前要搞清楚集合的元素是什么．

∪B）;

为

[　　]

A．1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．2

C．3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．4

分析　根据交集.并集的定义,①是错误的推理．

答　选C．

点击思维

例6　已知全集U＝R,A＝{_－4≤_＜2},B＝{_－1＜_

＝________．

号的值．

解　观察数轴得,A∩B＝{_－1＜_＜2},A∩B∩（UP）＝{_0＜_＜2}．

例7　设A＝{_∈Rf（_）＝0},

B＝{_∈Rg（_）＝0},

[　　]

A．C＝A∪（UR）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．C＝A∩（UB）

C．C＝A∪B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．C＝（UA）∩B

分析　依据分式的意义及交集.补集的概念逐步化归

＝{_∈Rf（_）＝0且g（_）≠0}

＝{_∈Rf（_）＝0}∩{_∈Rg（_）≠0}＝A∩（UB）．

答　选B．

说明:

本题把分式的意义与集合相结合．

例8　集合A含有10个元素,集合B含有8个元素,集合A∩B含有3个元素,则集合A∪B有________个元素．

分析　一种方法,由集合A∩B含有3个元素知,A,B仅有3个元素相同,根据集合元素的互异性,集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．

另一种方法,画图1－10观察可得．

答　填15．

例9　已知全集U＝{__取不大于30的质数},A,B是U的两个子集,且A∩（UB）＝{5,13,23},（UA）∩B＝{11,19,29},（UA）∩（UB）＝{3,7}求A,B．

分析　由于涉及的集合个数,信息较多,所以可以通过画图1－11直观地求解．

解　∵U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

用图形表示出A∩（UB）,（UA）∩B及（UA）∩（UB）得

U（A∪B）＝{3,7},A∩B＝{2,17},所以

A＝{2,5,13,17,23},

B＝{2,11,17,19,29}．

说明:

对于比较复杂的集合运算,可借助图形．

学科渗透

例10　设集合A＝{_2,2_－1,－4},B＝{_－5,1－_,9},若A∩B＝{9},求A∪B．

分析　欲求A∪B,需根据A∩B＝{9}列出关于_的方程,求出_,从而确定A.B,但若将A.B中元素为9的情况一起考虑,头绪太多了,因此,宜先考虑集合A,再将所得值代入检验．

解　由9∈A可得_2＝9或2_－1＝9,解得_＝±3或5．

当_＝3时,A＝{9,5,－4},B＝{－2,－2,9},B中元素违反互异性,故_＝3应舍去;

当_＝－3时,A＝{9,－7,－4},B＝{－8,4,9},A∩B＝{9}满足题意,此时A∪B＝{－7,－4,－8,4,9}

当_＝5时,A＝{25,9,－4},B＝{0,－4,9},此时A∩B＝{－4,9},这与A∩B＝{9}矛盾．

故_＝5应舍去．

从而可得_＝－3,且A∪B＝{－8,－4,4,－7,9}．

说明:

本题解法中体现了分类讨论思想,这在高中数学中是非常重要的．

例11　设A＝{__2＋4_＝0},B＝{__2＋2（a＋1）_＋a2－1＝0},若A∩B＝B,求a的值．

需要对A的子集进行分类讨论．

设0∈B,则a2－1＝0,a＝±1,当a＝－1时,B＝{0}符合题意;当a＝1时,B＝{0,－4}也符合题意．

设－4∈B,则a＝1或a＝7,当a＝7时,B＝{－4,－12}不符合题意．

＜－1．

综上所述,a的取值范围是a≤－1或a＝1．

高考巡礼

例12（1998年全国高考题）设集合M＝{_－1≤_＜2},N＝{__

[　　]

A．（－∞,2]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．[－1,＋∞）

C．（－1,＋∞）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．[－1,2]

分析　分别将集合M.N用数轴表示,可知:

k≥－1时,M∩

答　选B．

例13（2000年全国高考题）如图1－12:

U为全集,M.P.S是U的3个子集,则下图中的阴影部分为________．

分析　利用交集.并集.补集的意义分析．

解　阴影部分为:

（M∩P）∩（US）．

说明:

你能否指出M∩（P∪S）是图形上的哪一区域?