北京市西城区学年高二上学期期末考试数学试题含答案.docx

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北京市西城区学年高二上学期期末考试数学试题含答案

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷

2021.1

高二数学

本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列岀的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平而内，复数z对应的点的坐标是（21）,则复数Z二

（A）2-i（B）l-2i

（C）2+i（D）l+2i

（2）在（a+b）/l的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则，匸

（A）4（B）5

（C）6（D）7

⑶椭圆汩詁的焦点坐标为

（A）（5,0）,（-5,0）

（B）（3,0）,（-3,0）

（C）（0,5）,（0,-5）

（D）（0,3）,（0,-3）

（4）已知直线A：

or-y-l=0,厶：

ox+（a+2）y+l=0・若厶丄厶，则实数a=

（A）-1或1

（B）0或1

（C）一1或2

（D）一3或2

（5）已知平而&丄平而0,=下列结论中正确的是

（A）若直线加丄平面a,则milp

（B）若平而了丄平而a,贝0////?

（C）若直线加丄直线则加丄0

（D）若平而卩丄直线则了丄0

（6）将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人，每人至少1张•如果分给

同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是

（A）24

（B）18

（C）12

（D）6

（7）已知双曲线C：

4-—=1的两个焦点是,点P在双曲线C上.若C的离心率

/16

为】，且IP斥1=10,贝'JIPFJ=

3■

（A）4或16（B）7或13

（C）7或16（D）4或13

（8）在正三棱锥P-ABC中，AB=3./<4=2,则直线Q4与平WiABC所成角的大小为

（A）30°（B）45°

（C）60°（D）75°

（9）已知圆Q的方程为（x-«）2+（y-b）2=4,圆Q的方程为X+（y_b+i）2=i,其中

a.beR,那么这两个圆的位垃关系不可能为

（A）外离（B）外切

（C）内含（D）内切

（10）点M在直线/:

x=2上，若椭圆C：

x2+—=1上存在两点使得是等

腰三角形，则称椭圆C•具有性质P.下列结论中正确的是

（A）对于直线/上的所有点，椭圆C都不具有性质P

（B）直线/上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P

（C）直线/上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质P

（D）对于直线/上的所有点，椭圆C都具有性质P

第二部分（非选择题共100分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

（11）已知复数z=i-（l+i）,贝ijlzl=—.

（12）若双曲线C:

F—L=l（〃>0）的焦距为2$贝忆=—:

C的渐近线方程为—・

（13）设（X—2）4=a4x4+a3x3+a2x2+axx+a{y>贝Uax+a2+“3+=・

（14）在空间直角坐标系中，已知点A（L0,0）.B（020）,C（0,0,2）.D（0.0,l）,则直线Q

与BC所成角的大小是

（15）已知抛物线/=4a-的焦点为F,准线为/,点P在抛物线上，PQ丄/于点0.若

△PQF是锐角三角形,则点P的横坐标的取值范帀是—・

（16）如图，正方体ABCD-A.B^D,的棱长为1,分别为BgD、的中点，P是底三、解答题共6小题，共76分。

解答应写岀文字说明，演算步骤或证明过程。

而上一点.若AP〃平而BEF,

（17）（本小题10分）

生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名•现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.

（18）（本小题12分）

已知圆C过原点O和点A（l,3）,圆心在直线y=l±.

（II）直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

（19）（本小题13分）

如图，在正三棱柱ABC—几色G中，AB=AA{,DEF分别是的中点.

（I）求证：

CF//平而ADE；

（II）求证：

丄平jffiADE.

（20）（本小题13分）

如图，设点A"在x轴上，且关于原点O对称•点P满足tanZP^B=2janZPBA=l,

且的而积为20.

（I）求点P的坐标；

（II）以43为焦点，且过点P的椭圆记为C.设M（i0,y0）是C上一点，且-1

求儿的取值范围.yk

（21）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PQ丄平而E为AD的中点，底而ABCQ是边长为2的正方形，且二而角P—BE-C的余弦值为近.

（II）求点C到平而的距离.

（22）（本小题14分）

已知椭圆C：

2+・=l（d>〃〉0）的一个焦点为F（-1.0）,A（-“0）,4S0）,且crb-

\A2F\=3.

（I）求椭圆c的方程；

（II）过点F的直线交椭圆C于点M记△4MN和△4M/V的面积分别为&和S?

.当S厂S严甞~时，求直线MN的方程.

北京市西城区202—2021学年度第一学期期末试卷

高二数学参考答案

2021.1

一、选择题

（共10小题，每小题5分，共50分）

（1）A

（2）C（3）B

（4）

（5）

（6）B

（7）A（8）A

（9）

（10）

二'填空题

（共6小题，每小题4分，共24分）

（11）>/2

（12）2

y=±2x

（13）-15

（14）60°

（16）

（15）（l,+oo）注：

（12）、（16）题每空2分。

三、解答题（共6小题，共76分）

（17）（共10分）解：

（I）正、副组长2人中有且只有1人入选,

选派方法数为C；Cfo=9O.

（II）正.副组长2人都入选，且组员甲没有入选,

选派方法数为C；C；=9・

正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

所以正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

10分

9+72=81.

（18）（共12分）

解：

（I）设圆C的圆心坐标为（仏1）・……1分

依题意，有3+卩=血一1）2+22,......3分

解得d=2.……4分

从而圆C的半径为r=舶+F=x/5,……5分

所以圆C的方程为（x-2尸+（y_1尸=5.……6分

（II）依题意，圆C的圆心到直线/的距离为2.……7分

显然直线兀=0符合题意.……8分

当直线/的斜率存在时，设英方程为y=kx9即kx-y=O・……9分

所以

12—11

血+1

解得心一二・

3所以直线/的方程为y=--x.

订0分

11分

12分

综上，直线/的方程为x=0或3x+4y=0.

（19）（共13分）

解：

（I）设AE（］BF=O,连接OD.

因为ABC-A.B,G为正三棱柱，且=

所以侧而AAB3为正方形.……1分

因为E,F分别是BB^AA,的中点，

所以O是BF的中点.……2分

又因为D是BC的中点，

所以OD//CF.……4分

因为ODu平而ADE，CFcz平而ADE,

所以CF〃平而ADE.

（II）因为△ABC为正三角形，

所以AQ丄BC.

又CC|丄平而ABC,

所以AD丄Cq.

所以A£>丄平而£BCC|.

所以BC；丄AD.

连接BQ.

因为侧而B/CG为正方形，

所以BC］丄B,C.

所以BC；丄£>£.

所以SC】丄平面ADE.

（20）（共13分）

•8分

7分

10分

11分

12分

13分

解：

（I）设A（—c,0）,3（c,0）・

所以^r=20,

解得c=5.……5分

所以点P的坐标为（-3,4）.……6分

（II）由（I）得A（—5,0）,3（5,0）・

所tllPAl=7（-3+5）2+42=2>/5,IPBl=7（-3-5）2+42=4^5.……8分

22设以人B为焦点且过点P的椭圆方程为C：

=+刍=1.

“\r

贝iJfl=l（IPAl+lPBl）=3>/5,又X=a2-c2=20,……10分

所以椭圆c的方程为器+务=1.……11分

所以余+弟儿即£=20（1一善）.

因为-1

所以16

W20.……12分

所以v0的取值范围是［-2x/5,^）U（4,275J.……13分

（21）（共14分）

解：

（I）依题意，DA.DCQP两两互相垂直，如图

建立空间直角坐标系D-xyz・

1分

设平面PEB的法向量为n=（勺,儿,心）,

设PD=h（h>0）・由题意得E（LO.O）,B（Z2.0）,P（O.OM）・所以PE-（1,0,-/?

）,EB=（1,2,0）.

5=0.即

itEB=0,

xo-％力=0’

xo+2y（）=0.

f则〉'o=T，5冷

又因为PD丄平而ABCD,

所以平而ABCD的一个法向量为加=（0.0.1）・

依题意’有唤5=緒

卫

一6'

解得h=2、

所以PD=2.

10分

（II）由（I）得，平而P£B的法向量为w=（2-lJ）.

11分

又C（020）,

所以BC=（-2,0,0）・

12分

所以点C到平面哪的距离为罄件芈

14分

……5分

6分

……8分

10分

……12分

……13分

14分

所以gFI=a+c=3.

所以lr=n2-c2=3.3分

、•>

所以椭圆C的方程为二+匚=1・……4分

（II）当直线MN的斜率不存在时，其方程为无=-1・

此时M（-导N（-1,-彳）‘或M（-1厂尹（-1肩）・

所以5=?

即S2-S1=3,不合题意.

当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+\）伙工0）.由得（3+4，庆+弘3+4“一12=0.

[3x2+4y2=12

•rt.-、-.z•nj.l8Zc"4«~—12

攻:

M（X]」）,N（X2」2），则坷+七=_3+4川，a-x2=3+4A：

因为S^ll^FIdy.l+lyJ）,S^ll^FKIyJ+ly,!

）,

所以S?

-5,=ix2x（|xl+l儿|）=|yi-y2\=I^（a--a-,）I

=lklJ（X]—4兀内

_12lklJ/+1

=3+4k2•

令岑黑王L罟，解得^±i.

所以直线MN的方程为—y+l=0,或x+y+l=O.

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