完整版珠海二中届高一上学期期中考试数学.docx
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完整版珠海二中届高一上学期期中考试数学
珠海二中2017届高一上学期期中考试
数学
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.给出下列关系:
,0∉N,2∈{1,2},∅={0};其中结论正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
2.在下列图象中,函数y=f(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=1,y=x0B.y=x,y=
C.y=x,y=lnexD.y=|x|,y=(
)2
4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数
5.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={x|y=
},则(CRM)∩N=( )
A.{x|﹣1≤x≤1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|﹣1≤x<1}D.{x|0≤x<1}
6.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x3C.f(x)=(
)xD.f(x)=3x
7.若a=log0.31.2,b=(0.3)1.2,c=1.20.3,则( )
A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c
8.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=﹣x(x+2)B.f(x)=x(x﹣2)C.f(x)=﹣x(x﹣2)D.f(x)=x(x+2)
9.设f(x)=
,则f(5)的值为( )
A.10B.11C.12D.13
10.下面说法正确的是( )
A.若函数y=f(x)为奇函数,则f(0)=0
B.函数f(x)=(x﹣1)﹣1在(﹣∞,1)∪(1,+∞)上单调减函数
C.要得到y=f(2x﹣2)的图象,只需要将y=f(2x)的图象向右平移1个单位
D.若函数y=f(2x+1)的定义域为[2,3],则函数y=f(x)的定义域为[0.5,3]
11.已知函数
,若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)
12.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则
的解集为( )
A.(﹣3,3)B.(﹣3,0)∪(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)D.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
二、填空题:
本大共4小题,每小题5分,满分20分.
13.函数y=ax﹣1+1(a>0且a≠1)的图象必经过定点 .
14.高一某班有学生45人,其中参加数学竞赛的有32人,参加物理竞赛的有28人,另外有5人两项竞赛均不参加,则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 人.
15.若幂函数y=(k﹣2)xm﹣2015(k,m∈R)的图象过点
,则k+m= .
16.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论:
①对任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
④“若k∈Z,若(a,b)⊆(2k,2k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(Ⅰ)已知lg2=a,lg3=b,试用a,b表示log1615;
(Ⅱ)若a>0,b>0,化简
.
18.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖,该企业计划从今年起,10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元,企业员工每年净增a人.
(1)若a=9,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过3万元?
(2)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人?
19.已知函数f(x)=|x+
|+|x﹣
|.
(Ⅰ)判断该函数的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅱ)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数形式(不需过程),然后在给定的坐标系中画出函数图象(不需列表);
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[a﹣1,2]上单调递增,试确定a的取值范围.
20.已知二次函数f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(Ⅰ)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,求f(x)在区间[1,a+1]上的最小值和最大值;
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,3)上有零点,求实数a的取值范围.
21.已知函数f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(1+x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)方程f(x)=x+1是否有根?
如果有根x0,请求出一个长度为
的区间(a,b),使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由?
(注:
区间(a,b)的长度=b﹣a).
22.已知函数f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)是奇函数,f
(1)=
.
(Ⅰ)求函数f(x)在[1,+∞)上的值域;
(Ⅱ)若函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数m的值.
参考答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.给出下列关系:
,0∉N,2∈{1,2},∅={0};其中结论正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【考点】元素与集合关系的判断.
【分析】利用集合与元素的关系判断.准确判断特殊数集.
【解答】解:
:
∵
,∴不正确;
∵0∉N,∴不正确
∵2∈{1,2},∴正确
∵∅={0},∴不正确;
∴结论正确的个数是1.
故选:
B
2.在下列图象中,函数y=f(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】函数的图象.
【分析】根据函数的概念,作直线x=a从左向右在定义域内移动,看直线x=a与曲线图象的交点个数即可.
【解答】解:
由函数的概念可知,任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值,
∴可作直线x=a从左向右在定义域内移动,看直线x=a与曲线图象的交点个数是否唯一,
显然,A,B,C均不满足,而D满足,
故选D.
3.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=1,y=x0B.y=x,y=
C.y=x,y=lnexD.y=|x|,y=(
)2
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【分析】判断题目给出的四个选项中的两个函数是否表示同一函数,从定义域和对应关系两个方面入手,对四个选项逐一判断即可得到答案.
【解答】解:
选项A,y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x≠0},两函数定义域不同,故不是同一函数;
选项B,y=x的定义域为R,
的定义域为{x|x≠0},两函数定义域不同,故不是同一函数;
选项C,两函数的定义域都为R,且y=lnex=x,两函数对应关系也相同,故两函数是同一函数;
选项D,y=|x|的定义域为R,
的定义域为{x|x≥0},两函数定义域不同,故不是同一函数.
故选C.
4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.
【分析】由题意可知,利润y与时间x的关系是个增函数,而且增长速度越来越慢,符合对数函数的特征.
【解答】解:
由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,
故选D.
5.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={x|y=
},则(CRM)∩N=( )
A.{x|﹣1≤x≤1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|﹣1≤x<1}D.{x|0≤x<1}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先化简集合M、N,再根据补集、交集的定义进行计算即可.
【解答】解:
集合M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},
N={x|y=
}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},
∴CRM={x|x<1},
∴(CRM)∩N={x|﹣1≤x<1}.
故选:
C.
6.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x3C.f(x)=(
)xD.f(x)=3x
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的单调性,即可得到答案.
【解答】解:
A.f(x)=
,f(y)=
,f(x+y)=
,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错;
B.f(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;
C.f(x)=
,f(y)=
,f(x+y)=
,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)在R上是单调减函数,故C错.
D.f(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;
故选D.
7.若a=log0.31.2,b=(0.3)1.2,c=1.20.3,则( )
A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:
∵a=log0.31.2<0,b=(0.3)1.2∈(0,1),c=1.20.3>1.
∴a<b<c.
故选:
A.
8.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=﹣x(x+2)B.f(x)=x(x﹣2)C.f(x)=﹣x(x﹣2)D.f(x)=x(x+2)
【考点】奇函数.
【分析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x<0则﹣x>0,代入当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,求出f(﹣x),再根据奇函数的性质得出f(﹣x)=﹣f(x)两者代换即可得到x<0时,f(x)的解析式
【解答】解:
任取x<0则﹣x>0,
∵x≥0时,f(x)=x2﹣2x,
∴f(﹣x)=x2+2x,①
又函数y=f(x)在R上为奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x)②
由①②得x<0时,f(x)=﹣x(x+2)
故选A
9.设f(x)=
,则f(5)的值为( )
A.10B.11C.12D.13
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.
【分析】欲求f(5)的值,根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值.
【解答】解析:
∵f(x)=
,
∴f(5)=f[f(11)]
=f(9)=f[f(15)]
=f(13)=11.
故选B.
10.下面说法正确的是( )
A.若函数y=f(x)为奇函数,则f(0)=0
B.函数f(x)=(x﹣1)﹣1在(﹣∞,1)∪(1,+∞)上单调减函数
C.要得到y=f(2x﹣2)的图象,只需要将y=f(2x)的图象向右平移1个单位
D.若函数y=f(2x+1)的定义域为[2,3],则函数y=f(x)的定义域为[0.5,3]
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由奇函数的性质,可判断A错;运用反比例函数的单调性,可判断B;运用图象平移,即可判断C正确;
运用函数的定义域的含义,可得判断D错.
【解答】解:
A,若函数y=f(x)为奇函数,若定义域为R,则f(0)=0,故A错;
B,函数f(x)=(x﹣1)﹣1在(﹣∞,1)和(1,+∞)上单调减函数,故B错;
C,要得到y=f(2x﹣2)=f(2(x﹣1))的图象,只需要将y=f(2x)的图象向右平移1个单位,正确;
D,若函数y=f(2x+1)的定义域为[2,3],由2≤2x+1≤3,解得
≤x≤1,
则函数y=f(x)的定义域为[0.5,1],故D错.
故选:
C.
11.已知函数
,若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的单调性及单调区间.
【分析】函数f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,a>1,并且f(x)=(a﹣2)x﹣1,x≤1是增函数,
可得a的范围,而且x=1时(a﹣2)x﹣1≤0,求得结果.
【解答】解:
对数函数在x>1时是增函数,所以a>1,又f(x)=(a﹣2)x﹣1,x≤1是增函数,
∴a>2,并且x=1时(a﹣2)x﹣1≤0,即a﹣3≤0,所以2<a≤3
故选C
12.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则
的解集为( )
A.(﹣3,3)B.(﹣3,0)∪(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)D.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简,然后利用函数的单调性确定不等式的解集.
【解答】解:
因为y=f(x)为偶函数,所以
,
所以不等式等价为
.
因为函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,
所以解得x>3或﹣3<x<0,
即不等式的解集为(﹣3,0)∪(3,+∞).
故选:
B.
二、填空题:
本大共4小题,每小题5分,满分20分.
13.函数y=ax﹣1+1(a>0且a≠1)的图象必经过定点 (1,2) .
【考点】指数函数的图象变换.
【分析】由指数函数的定义可知,当指数为0时,指数式的值为1,故令指数x﹣1=0,解得x=1,y=2,故得定点(1,2).
【解答】解:
令x﹣1=0,解得x=1,
此时y=a0+1=2,故得(1,2)
此点与底数a的取值无关,
故函数y=ax﹣1+1(a>0且a≠1)的图象必经过定点(1,2)
故答案为(1,2)
14.高一某班有学生45人,其中参加数学竞赛的有32人,参加物理竞赛的有28人,另外有5人两项竞赛均不参加,则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 20 人.
【考点】交集及其运算;元素与集合关系的判断.
【分析】利用元素之间的关系,利用Venn图即可得到结论.
【解答】解:
设既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有x人,
则只参加数学的有32﹣x,只参加物理的有28﹣x,
则5+32﹣x+28﹣x+x=45,
即x=20,
故答案为:
20
15.若幂函数y=(k﹣2)xm﹣2015(k,m∈R)的图象过点
,则k+m= 2016 .
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】根据幂函数的定义求出k的值,代入点的坐标求出m的值,从而求出k+m的值.
【解答】解:
∵幂函数y=(k﹣2)xm﹣2015(k,m∈R)的图象过点
,
∴k﹣2=1,k=3,4=
,解得:
m=2013,
则k+m=2016,
故答案为:
2016.
16.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论:
①对任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
④“若k∈Z,若(a,b)⊆(2k,2k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”
其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第
(1)个条件得到①正确;利用反证法及2x变化如下:
2,4,8,16,32,判断②命题错误;连续利用题中第③个条件得到③正确;据①③的正确性可得④是正确的.
【解答】解:
∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.∴f
(2)=0.f
(1)=
.
∵f(2x)=2f(x),
∴f(4x)=f(2×2x)=2f(2x)=2×2f(x)=4f(x),
f(8x)=f(2×4x)=2f(4x)=2×4f(x)=8f(x),
…
∴f(2kx)=2kf(x).
①f(2m)=f(2•2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f
(2)=0,∴①正确.
②设x∈(2,4]时,则
,∴f(x)=2f(
)=4﹣x≥0.
若x∈(4,8]时,则
∈(2,4],∴f(x)=2f(
)=8﹣x≥0.
…
一般地当x∈(2m,2m+1),
则
∈(1,2],f(x)=2m+1﹣x≥0,
从而f(x)∈[0,+∞),∴②正确
③由②知当x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
∴f(2n+1)=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1,假设存在n使f(2n+1)=9,
即2n﹣1=9,∴2n=10,
∵n∈Z,∴2n=10不成立,∴③错误;
④由②知当x⊆(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x单调递减,为减函数,
∴若(a,b)⊆(2k,2k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”.
∴④正确.
故答案为:
①②④.
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(Ⅰ)已知lg2=a,lg3=b,试用a,b表示log1615;
(Ⅱ)若a>0,b>0,化简
.
【考点】对数的运算性质.
【分析】(I)利用对数的换底公式即可得出.
(II)利用指数幂的运算性质即可得出.
【解答】解:
(Ⅰ)
.
(Ⅱ)原式=
.
18.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖,该企业计划从今年起,10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元,企业员工每年净增a人.
(1)若a=9,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过3万元?
(2)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人?
【考点】其他不等式的解法;函数单调性的判断与证明;根据实际问题选择函数类型.
【分析】
(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.在计划时间内,列出该企业的人均年终奖,令其大于或等于3万元,求出最低年限,判断a=9是否满足题意.
(2)设1≤x1<x2≤10,利用函数的单调性定义,人均年终奖年年有增长,确定a的范围,然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数.
【解答】解:
(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.
则
;
由题意,有
,
解得,
.
所以,该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标.
(2)设1≤x1<x2≤10,则f(x2)﹣f(x1)=
=
,
所以,60×800﹣2000a>0,得a<24.
所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净增量不能超过23人.
19.已知函数f(x)=|x+
|+|x﹣
|.
(Ⅰ)判断该函数的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅱ)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数形式(不需过程),然后在给定的坐标系中画出函数图象(不需列表);
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[a﹣1,2]上单调递增,试确定a的取值范围.
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)分母不为0求出它的定义域,根据奇偶性的定义判断f(x)是定义域上的偶函数;
(Ⅱ)根据绝对值的定义用分段函数写出f(x)的解析式并画出图象;
(Ⅲ)由图象结合函数的单调性,即可求出满足条件的a的取值范围.
【解答】解:
(Ⅰ)由函数f(x)=|x+
|+|x﹣
|,得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
且f(﹣x)=|(﹣x)+
|+|(﹣x)﹣
|=|x+
|+|x﹣
|=f(x);
∴函数f(x)是定义域上的偶函数;…
(Ⅱ)令x﹣
=0,解得x=±1,
∴当x≥1时,f(x)=(x+
)+(x﹣
)=2x,
0<x<1时,f(x)=(x+
)﹣(x﹣
)=
,
﹣1<x<0时,f(x)=﹣(x+
)+(x﹣
)=﹣
,
x≤﹣1时,f(x)=﹣(x+
)﹣(x﹣
)=﹣2x;
综上,
;…
画出函数f(x)的图象,如图所示;…
(Ⅲ)由图象可知:
f(x)在[1,+∞)上单调递增,…
要使f(x)在[a﹣1,2]上单调递增,只需1≤a﹣1<2,…
解得2≤a<3.…
20.已知二次函数f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(Ⅰ)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,求f(x)在区间[1,a+1]上的最小值和最大值;
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,3)上有零点,求实数a的取值范围.
【考点】二次函数的性质;函数的最值及其几何意义.
【分析】(Ⅰ)由题设知:
f(x)在[1,a]上单调递减,则有
,解得实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,则a≥2,结合函数的单调性,可得f(x)在区间[1,a+1]上的最小值和最大值;
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,3)上有零点,则1<a<3,且函数的最小值不大于0,进而得到答案.
【解答】解:
由题设知:
函数化为f(x)=(x﹣a)2+5﹣a2,其对称轴为x=a(a>1).…
(Ⅰ)由题设知:
f(x)在[1,a]上单调递减,
则有
,
即
…
∴a=2…
(Ⅱ)由题设知:
a≥2,则有a﹣1≥1=(a+1)﹣a;…
又f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增;…
∴
,f(x)max=f
(1)=6﹣2a…
(Ⅲ)由题设知:
当a≥3时,f(x)<f
(1)≤0,则f(x)在区间(1,3)上无零点;…
当1<a<3时,f
(1)>0且f(x)在(1,a]上单调递减,在[a,3)上单调递增;…
∴
,即
…
由上述知:
…
21.已知函数f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(1+x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)方程f(x)=x+1是否有根?
如果有根x0,请求出一个长度为
的区间(a,b),使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由?
(注:
区间(a,b)的长度=b﹣a).
【考点】对数函数的定义域;函数奇偶性的判断;根的存在性及根的个数判断.
【分析】
(1)根据对数的定义可知负数和0没有对数,列出关于x的不等式组,求出解集即可;
(2)要判断函数的奇偶性即求出f(﹣x),判断f(﹣x)与f(x)的关系可得;
(3)把f(x)的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到g(x)=0,然后在(﹣1,1)上取几个特殊值﹣
,0,﹣
,代入g(x)求出值判断任意两个乘积的正负