均值不等式练习题及答案.docx

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均值不等式练习题及答案

均值不等式练习题及答案

均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件。

a2?

b21.若a,b?

R，则a?

b?

2ab若a,b?

R，则ab?

22

2.若a,b?

R，则

时取“=”）*a?

b?

ab

2若a,b?

R，则a?

b?

*2ab2?

*

a?

ba2?

b2

?

ab?

?

3.均值不等式链：

若a、b都是正数，则，当且仅当a?

b22?

ab2

时等号成立。

平均数）

一、基本技巧

技巧1：

凑项

例已知x?

技巧2：

分离配凑4，求函数y?

4x?

2?

1的最大值。

x?

5

x2?

7x?

10的值域。

例求y?

x?

1

技巧3：

利用函数单调性

例

求函数y?

2的值域。

技巧4：

整体代换

例已知x?

0,y?

0，且

19?

?

1，求x?

y的最小值。

xy

典型例题

1.若正实数X，Y满足2X+Y+6=XY，则XY的最小值是

?

a?

b?

22.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd

是

A.0B.1C.D.

23.若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab

A.1B.C.4D.3+22

5.已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.

6.已知x,y?

R?

，且满足xy?

?

1，则xy的最大值为34

ab11?

的最小值为ab

1ABC1D7.设a?

0,b?

0.3与3的等比中项，则

8.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.65

9.若a?

0,b?

0,a?

b?

2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．

①ab?

1；

②；③a2?

b2?

2；④a3?

b3?

3；

⑤11?

?

ab

210.设a＞b＞0，则a?

11?

的最小值是abaa?

b1234

11.下列命题中正确的是

12A、y?

x?

的最小值是B

、y?

的最小值是x

C、y?

2?

3x?

4

x的最大值是2?

D值是2?

12.若x?

2y?

1，则2x?

4y的最小值是______、y?

2?

3x?

4x的最小

均值不等式应用

一．均值不等式

1.若a,b?

R，则a2?

b2?

2ab若a,b?

R，则ab

2.若a,b?

R*，则

a?

b2

?

*

?

a?

b2

22

a?

b时取“=”）

ab若a,b?

R，则a?

b?

2

2

ab

a?

b?

若a,b?

R，则ab?

?

）?

?

?

2

a?

b2

注：

当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”

均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：

求最值例1：

求下列函数的值域

y＝3x解：

y＝3x＋

11

y＝x＋xx

1

3x＝∴值域为[，+∞）

2x

1

x·＝2；x

1

x·=－2

x

1

≥22x1

当x＞0时，y＝x＋≥x

11

当x＜0时，y＝x＋=－≤－2

xx

∴值域为

解题技巧：

技巧一：

凑项例1：

已知x?

54

，求函数y

?

4x?

2?

14x?

5

的最大值。

1

解：

因4x?

5?

0，所以首先要“调整”符号，又?

x?

54

?

5?

4x?

0，?

y?

4x?

2?

1

4x?

5

不是常数，所以对4x?

2要进行拆、凑项，

2?

3?

1?

?

3?

1?

5?

4x?

4x?

55?

4x?

当且仅当5?

4x?

15?

4x

，即x?

1时，上式等号成立，故当x?

1时，ymax?

1。

评注：

本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：

凑系数

例1.当时，求y?

x的最大值。

解析：

由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x?

?

8为定值，故只需将y?

x凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号当x＝2时，y?

x的最大值为8。

32

评注：

本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：

设0?

x?

，求函数y?

4x的最大值。

3

2

2x?

3?

2x?

9

解：

∵0?

x?

∴3?

2x?

0∴y?

4x?

2?

2x?

2

222?

?

当且仅当2x?

3?

2x,即x?

3

?

3?

?

?

0,?

时等号成立。

?

2?

技巧三：

分离

例3.求y?

的值域。

x?

1

解析一：

本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。

x?

7x?

10

2

当

即

时

y?

5?

9。

技巧四：

换元

解析二：

本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y?

?

7?

g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

?

B，

g

当,即t=时

y?

技巧五：

注意：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?

x?

2

ax

的单调性。

例：

求函数y?

的值域。

解：

令

?

t，则y?

1t

2

?

?

t?

1t

因t?

0,t?

?

1，但t?

因为y?

t?

1t

1t

解得t?

?

1不在区间?

2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间?

1,单调递增，所以在其子区间?

2,为单调递增函数，故y?

?

5

?

?

。

所以，所求函数的值域为?

。

?

2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.y?

x?

3x?

1

x

2

y?

2x?

1x?

3

x?

y?

2sinx?

23

1sinx

x?

2．已知0?

x?

1，求函数y?

条件求最值

的最大值.；3．0?

x?

，求函数y?

.

1.若实数满足a?

b?

2，则3a?

3b的最小值是分析：

“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?

3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：

a和3b都是正数，3a?

3b≥23?

3?

23

a

b

a?

b

?

6

当3a?

3b时等号成立，由a?

b?

2及3a?

3b得a?

b?

1即当a?

b?

1时，3a?

3b的最小值是6．

变式：

若log4x?

log4y?

2，求

1x

?

1y

的最小值.并求x,y的值

技巧六：

整体代换：

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

。

：

已知x?

0,y?

0，且

1x?

1x

9y

9y

?

1，求x?

y的最小值。

?

1?

x

9?

?

?

x?

y?

?

y?

错解：

?

x?

0,y?

0，且．．

?

?

1，?

x?

y?

?

?

?

1故

?

x?

y?

min

9y

?

1。

错因：

解法中两次连用均值不等式，在x?

y?

x?

y，在1

x

?

?

条件是

1x

?

9y

即y?

9x,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出

等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

?

x?

0,y?

0,

1x?

9

?

19?

y9x

?

10?

6?

10?

1?

1，?

x?

y?

?

x?

y

xyxyy?

?

当且仅当

yx

?

9xy

时，上式等号成立，又

?

1x

?

9y

?

1，可得x?

4,y?

12时，?

x?

y?

min?

1。

1y

变式：

若x,y?

R且2x?

y?

1，求1

x

?

的最小值

?

已知a,b,x,y?

R且a?

b?

1，求x?

y的最小值

xy

y2

技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y的最大值.

2

a＋b

分析：

因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

2

2

2

1

＋y中y前面的系数为，＋y＝x

2

2

2

1＋y2·＝x·

21y＋22

下面将x，

1y

分别看成两个因式：

2

x＋2x＋2223

＝＝即＋y＝·x

224

2

1y3

＋≤24

1

的最小值.ab

分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－b＋30b

法一：

a＝，ab·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2＋34∵t＋≥2

ttt

1

∴ab≤1∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

18

法二：

由已知得：

30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2ab∴0－ab≥ab令u＝ab则u2＋u－30≤0，－5≤u≤3

1

∴≤3，ab≤18，∴y≥18点评：

①本题考查不等式

a?

b2

?

ab的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等

?

t·

16

＝t

式ab?

a?

2b?

30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?

b与ab之间的关系，由此想到不等式

a?

b2

?

ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

?

变式：

1.已知a>0，b>0，ab－＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝x＋y的最值.

a＋ba＋b

解法一：

若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

22

3x＋y

22y）＝x＋2y＝25

解法二：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2xy＝10＋2xy≤

10＋

2·＝10＋＝20

∴W≤20＝

2

变式:

求函数y

?

12?

x?

52

）的最大值。

解析：

注意到2x?

1与5?

2x的和为定值。

y

?

2

?

4?

?

48

32

2

又y?

0，所以0?

y?

当且仅当2x?

1=5?

2x，即x?

时取等号。

故ymax?

评注：

本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：

利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：

a

2

?

b?

c

22

?

ab?

bc?

ca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：

≥8abc例6：

已知a、b、c?

R?

，且a?

b?

c?

1。

求证：

?

?

1

?

?

1?

?

1?

?

111a?

?

b?

?

c?

分析：

不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，

又

1a?

1?

1?

aa

?

b?

ca

?

a

1a

1?

aa

b?

ca

a

解：

?

a、b、c?

R?

，a?

b?

c?

1。

?

?

1

。

同理

1b

?

1?

b

，?

1?

c

1c

。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1?

1?

?

1?

?

1?

a?

b?

c?

。

当且仅当时取等号。

?

1?

1?

1?

?

8

3abcabc

应用三：

均值不等式与恒成立问题例：

已知x?

0,y?

0且

1x?

9y

?

1，求使不等式x?

y?

m恒成立的实数m的取值范围。

解：

令x?

y?

k,x?

0,y?

0,

10k

3k

1x

?

9y

?

1，?

x?

ykx

?

9x?

9yky

?

1.?

10k

?

ykx

?

9xky

?

1

?

1?

?

2?

。

?

k?

1，m,16?

应用四：

均值定理在比较大小中的应用：

例：

若a?

b?

1,P?

lga?

lgb,Q?

12

R?

lg，则P,Q,R的大小关系是分析：

∵a?

b?

1∴lga?

0,lgb?

0

Q?

12

且a≠b，下列各式中最大的是

Ａ．a+bＢ．２abＣ．2abＤ．a+b2

2．x∈R，下列不等式恒成立的是

A．x+1≥xB．21224xx2?

1

3．已知x+3y-1=0，则关于2x?

8y的说法正确的是

Ａ．有最大值Ｂ．有最小值22Ｃ．有最小值Ｄ．有最大值22

4．Ａ设实数x，y，m，n满足x+y=1，m+n=3那么mx+ny的最大值是

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是

Ａ．≥Ｂ．a3+b3≥2ab2abＣ．a+b+2≥2a+2bＤ．

6．下列结论正确的是

A．当x>0且x≠1时，lgx+a?

b?

a?

b11≥B．当x>0时，x+≥lgxx

C．当x≥2时，x＋11≥2D．当07．若a、b、c>0且a+bc=4?

2，则2a+b+c的最小值为

A．?

1B．3?

1C．23?

D．2?

2

二．填空题：

8．设x>0，则函数y=2－4－x的最大值为；此时x的值是。

x

9．若x>1，则log2x＋logx2的最小值为；此时x的值是。

x2?

x?

410．函数y=在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________．x?

1

x2

11．函数f=4的最大值是；此时的x值为_______________．x?

2

三．解答题：

12．函数y=loga－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求11?

mn的最小值为。

13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？

14．已知x,y∈且xy＝－1，求s=

312的最小值。

?

223?

x12?

y

参考答案：

一．选择题：

2222221．D解析：

只需比较a+b与a+b。

由于a、b∈，∴a2．B

3．B解析：

2?

8＝2?

2xyx3y?

222x3y?

2x?

3y

2＝22

4。

A解法一：

设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，其中α，β∈∈其他略。

解法二、m+n=3?

2?

2＝1∴2＝x2+y2＋2?

≥2

3∴mx+ny≤。

5．B解析：

A、C由均值不等式易知成立；D中，若a6．B解析：

A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。

故选B。

7．D

22222解析：

=4a++4ab+4ac+2bc≥4a+2bc+4ab+4ac+2bc

=4=4[a+bc]=4＝4当且仅当b=c时等号成立。

∴最小值22

为23?

2。

二．填空题：

8．－2，2

9．2，2

x2?

x?

444?

1≥5，当且仅当x=3时等号成立。

10。

解析：

y=＝x?

＝?

x?

1x?

1x?

1

112x2

?

?

11。

解析：

f=4＝，此时x＝2。

x?

2x2?

222

x2

三．解答题：

12．解析：

∵y=logax恒过定点，∴y=loga－1恒过定点，∴-2m-n+1=0，即2m＋n＝1，∴1111n4m?

＝＝2＋2＋?

≥8，∴最小值为8。

mnmnmn

13．解析：

设一年的总运费与总存储费用之和为y，则y?

x=20时等号成立。

最小值为160。

001600?

4?

4x?

2?

4x＝160，当且仅当xx

14．解析：

s=312?

3?

x212?

y2≥236＝1222912?

y）1≥2237?

12

137?

236?

12。

评注：

两次等号成立的条件都一样。