等腰三角形讲练.docx

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等腰三角形讲练

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新课指南

1.知识与技能：

（1）经历获得知识的过程，并通过观察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性质及判定；

（2）了解等边三角形的性质和判定等知识的形成过程，培养丰富的想像力，增强审美意识.

2.过程与方法：

经历探索等腰（边）三角形的性质及判定，探索应用等腰三角形知识解决实际问题，尤其是用轴对称的性质来解释等腰（或等边）三角形的相关性质，进一步体会从一般到特殊，再从特殊到一般的研究事物的辩证方法.

3.情感态度与价值观：

培养学生合作交流、体验成功、体验审美、增强自信心，同时，充分体会分类讨论数学思想在解决问题中的广泛应用.

4.重点与难点；重点是等腰三角形的性质和判定.难点是由轴对称知识来理解和掌握等腰三角形的性质和判定.

教材解读精华要义

数学与生活

如图14－61所示，位于在海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

思考讨论如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，而已知∠A=∠B，能直接由此判断出OA=OB吗？

知识详解

知识点1等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图14－62所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角.

知识点2等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

【说明】等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.

例如：

如图14－63所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.

证明：

过点A作BC边上的中线AD.

∴BD=DC.

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

探究交流

上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的性质证明出“∠B=∠C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？

在本题中能否进一步证明AD是∠BAC的平分线和BD边上的高？

试试看.

点拨由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.

知识点3等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

例如：

图14－64所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.

证明：

作AD⊥BC，垂足为D.

∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）.

∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.

知识点4等边三角形的概念

三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

知识点5等边三角形的性质和判定

Ⅰ.等边三角形的性质和判定.

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

Ⅱ.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.

典例剖析师生互动

基础知识应用题

本节知识的基础应用主要包括：

（1）等腰三角形的性质和判定；

（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.

例1已知三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数.

分析因为等腰三角形的内角和是180°，

若110°是底角，则110°×2=220°＞180°，

所以110°只能是顶角.故底角是

=35°.

解：

由题意可知，110°是顶角，设底角为α，则

2α+110°=180°，∴α=35°.

∴这个三角形另外两个角是35°，35°.

例2等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.

分析用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80°，则设底角为α，由三角形内角和得2α+80°=180°，∴α=50°.若底角是80°则设项角为β，由三角形内角和得2×80°+β=180°，∴β=20°.

解：

①若顶角是80°，设底角为α，则有

2α+80°=180°，

∴α=50°.

②若底角是80°，设顶角为β，则有

80°×2+β=180°，

∴β=20。

∴这个等腰三角形的另外两个角是50°，50°或80°，20°.

学生做一做

（1）若等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角为；

（2）若等腰三角形的两个内角和为100°，则它的顶角为.

老师评一评

（1）只告诉一个内角为40°，并没有说明是哪一个内角，所以应分两种情况来讨论：

若顶角为40°，则40°+2α=180°，α=70°。

符合要求，直接填上即可；若底角为40°，则顶角为180°-2×40°=100°，符合要求.∴应填40°或100°.

（2）已知两个内角的和为100°，三角形的内角和为180°，所以可知等腰三角形一个内角为180°-100°=80°，同样用分类讨论方法来考虑：

若80°是顶角，可直接填上即可；若80°是底角，则顶角是100°-80°=20°.∴应填80°或20°.

例3等腰三角形的底角与顶角的度数之比为2∶1，则顶角为（）

A.72°B.36°C.36°或72°D.18°

分析设顶角为α，则底角为2α，由三角形的内角和可知，α+2×2α=180°，5α=180°，∴α=36°，∴这个三角形的顶角为36°，故正确答案为B项.

例4若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（）

A.21cmB.18cmC.18cm或21cmD.13cm或26cm

分析由题意可知，8+5+5=18（cm），故正确答案为B项.

学生做一做等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则它的周长为.

老师评一评题中给出等腰三角形的两边长分别是8和4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：

①若腰是8，底是4，则另一腰是8，有4+8＞8，满足三角形三边关系，∴8×2+4=20；

②若腰是4，底是8，则另一腰是4，有4+4=8，不满足三角形三边关系，∴这种情况不存在.

∴这个三角形的周长为20.

小结已知等腰三角形两边，求第三边或周长时，要全面考虑第三边的情况，求出第三边要满足三角形的三边关系，所以上题可以这样考虑：

设这个等腰三角形的第三边为x，由三角形三边关系可知，

8-4＜x＜8+4，

即4＜x＜12，

又因为这个三角形是等腰三角形，所以第三边只能考虑4或8，

由4＜x＜12，∴x=8，

∴这个三角形的第三边为8，其周长为8×2+4=20.

例5如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为.

.

（分析）设这个三角形的腰长为xcm，则底边长为10-2x=2（5-x）cm.

共有4种情况：

①当x=1cm时，10-2x=8（cm）；

②当x=2cm时，10-2x=6（cm）；

③当x=3cm时，10-2x=4（cm）；

④当x=4cm时，10-2x=2（cm）.

又由三角形三边关系可知，①②不满足三角形三边关系.

∴这个三角形的三边有两种；

3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.

答案：

3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括：

（1）等腰（边）三角形的性质和判定的综合应用；

（2）与方程、不等式知识的综合应用；（3）与三角形全等的综合应用.

例6如图14－65所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.

分析本题由已知条件知，图中的三个三角形都是等腰三角形，相等的角或有关系的角较多，为了明确它们之间的关系，这类题往往要设其中一个角为α，然后利用α将其余的角表示出来.

解：

∵AB=AC=CD，AD=DB

∴∠1=∠2，∠B=∠3，∠B=∠C.

设∠B=α，则∠B=∠3=∠C=α，∠1=∠2=∠3+∠B=2α.

在△ABC中，∠B+∠C+∠1+∠3=180°，

即α+α+2α+α=180°，

5α=180°，α=36°.

∴∠BAC=∠3+∠1=α+2α=3α=3×36°=108°.

∴∠BAC的度数为108°.

学生做一做

（1）如图14－66所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求∠B的度数；

（1）如图14－67所示，已知BD=CD=AC，∠B=18°，求∠ACB的度数.

老师评一评

（1）

（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的角表示出来.

（1）∵AB=AC，BC=CD=AD，

∴∠B=∠ACB，∠2=∠B，∠1=∠A.

设∠1=∠A=α，则∠2=∠B=2a，∠3=∠B-∠1=a.

在△BCD中，∠B+∠2+∠3=180°，

∴2α+2α+α=180°，

∴5α=180°，∴α=36°，

∴∠B=2α=2×36°=72°.

（2）∵BD=CD=AC，

∴∠1=∠B，∠2=∠A.

又∵∠2=∠1+∠B=2∠B，∠B=18°，

∴∠2=2×18°=36°.∴∠A=36°.

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-36°-18°=126°.

例7如图14－68所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.

分析本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定.

证明：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

又∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）.

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）.

∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.

例8如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.

分析主要考查等腰三角形性质的应用.

解：

AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线；

∴2∠EAC=∠DAC，

∴∠C=∠EAC，

∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.

学生做一做

（1）如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线；

（2）如图14－69所示，在△ABC中，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC.试判断△ABC的形状.

老师评一评本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.

又∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），

∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）.

∴∠EAC=∠DAE.

∴AE是∠DAC的平分线.

（2）△ABC是等腰三角形.理由如下：

∵AE是∠DAC的平分线，

∴∠DAE=∠EAC.

又∵AE∥BC，

∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）.

∴△ABC是等腰三角形.

例9如图14－70所示，△ABD和△ACE是等边三角形.求证BE=CD.

（分析）欲证BE=CD，只需证明△ADC≌△ABE即可.

证明：

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴∠DAB=∠EAC=60°，

AD=AB，AC=AE

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE.

在△DAC和△BAE中，

∴△DAC≌△BAE（SAS）.

∴DC=BE（全等三角形的对应边相等）.

学生做一做如图14-71所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.

老师评一评欲证BE=AD，只需证明△BCE≌△ACD即可.

∵△ABC和△ECD是等边三角形，

∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，EC=CD.

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

即∠BCE=∠ACD.

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）.

∴BE=AD（全等三角形的对应边相等）.

小结在完成类似的几何问题时，要注意灵活，举一反三，这样就可以避免题海战术，能够以点代面，同一类问题研究透彻，类似问题便能迎刃而解.

例10等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm.

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）求x的取值范围；

（3）求y的取值范围.

分析本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识.

解：

（1）y=10-2x.

（2）∵x，y为线段，∴x＞0，y＞0.

∴10-2x＞0，∴O＜x＜5.①

又∵x，y为三角形边长，

∴x+x＞y，即2x＞10-2x.②

由①②可得2.5＜x＜5.

∴x的取值范围是2.5＜x＜5.

（3）∵2.5＜x＜5，∴5＜2x＜10，∴-10＜-2x＜-5，∴O＜10-2x＜5，

∴O＜y＜5.

∴y的取值范围是O＜y＜5.

例11如图14-72所示，在△ABC中.AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC与∠A的关系.

图14-72

解：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠C=

（180°-∠A）=90°-

∠A.

又∵BD⊥AC.∴∠BDC=90°.

∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°-

∠A）=

∠A，

∴∠DBC=

∠A.

即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于该等腰三角形顶角的一半.

学生做一做

（1）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，若∠DBC=25°，则∠A=；

（2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=70°，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC=.

老师评一评由例11的结论得出；

（1）题中，∠DBC=25°=

∠A，∴∠A=50°.

（2）题中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°.∴∠A=40°.∴∠DBC=20°.

例12如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.

分析主要应用线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质.

解：

连接AE，

∵∠C=90°，∠BAC=60°，

∴∠B=30°.

又∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB.∴∠EAB=∠B=30°.

∴∠CAE=30°.

∴AE是∠CAB的平分线.

又∵∠C=90°，ED⊥AB，

∴DE=EC=3cm.

在Rt△DBE中，∠B=30°，∠EDB=90°，

∴DE=

BE，∴BE=2×3=6（cm）.

学生做一做如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.

老师评一评连接MA，

∴∠C=90°，∠B=15°，

∴∠CAB=75°.

又∵MN是AB的垂直平分线，

∴MA=MB.

∴∠MAB=∠B=15°.

∴∠CAM=∠CAB-∠MAB=75°-15°=60°.

∴∠CMA=30°.

在Rt△CMA中，∠C=90°，∠CMA=30°，

∴CA=

MA.∴CA=

MB.

即MB=2AC.

小结在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时，经常考虑30°角所对的直角边.

探索与创新题

主要考查：

（1）利用等腰三角形知识探索和创新的能力；

（2）图形分割；（3）辅助线的灵活应用；（4）探讨结论性问题等。

例13如图14-75所示，已知点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，且OD∥AB，OE∥AC.

（1）图形中共有哪几个等腰三角形？

选一者证明之；

（2）试说明△ODE的周长与BC的关系；

（3）若BC=12cm，则△ODE的周长.

分析本题

（1）问主要是等腰三角形的判定；

（2）问是探讨两者间的数量关系，由

（1）可得；（3）问由

（2）问的结果得出.

解：

（1）图形中共有两个等腰三角形，它们分别是△OBD和△OCE.

以△OBD为例.

∵BO平分∠ABC，∴∠1=∠2.

又∵OD∥AB，∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.∴DB=OD.

∴△OBD是等腰三角形.

（2）由

（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.

∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.

∴△ODE的周长与BC的关系是：

△ODE的周长=BC.

（3）由

（2）可知，△ODE的周长=BC.

又∵BC=12cm，

∴△ODE的周长=12cm.

学生做一做如图14－76所示，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，经过点O的直线DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.

（1）图中等腰三角形分别是；

（2）DE与BD+EC的关系是：

BD=.

老师评一评欲证等腰三角形，需证角相等.

（1）∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC.

又∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.

∴∠DOB=∠ABO.∴DB=DO.

∴△DBO是等腰三角形.

同理EO=EC.

∴△EOC是等腰三角形.

（2）DE=DO+OE=BD+EC，

∴DE=BD+EC.

例14如图14－77所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=BC，AE=AC.试问：

∠DCE是否与∠A有关？

如果无关，求∠DCE的大小.

解：

∠DCE与∠A无关，∠DCE=45°.理由如下：

∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD.

∴∠BDC=

（180°-∠B）=90°-

∠B.

又∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE.

∴∠AEC=

（180°-∠A）=90°-

∠A.

∴∠AEC+∠BDC=（90°-

∠A）+（90°-

∠B）

=180°-

（∠A+∠B）.

又∵∠ACB=90°，

∴∠BDC+∠AEC=180°-

×90°=135°.

∴∠BDC+∠AEC=135°.

∴∠DCE=45°.

例15如图14－78所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.

分析如何利用条件∠B=2∠C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，会找到不同的解题方法.

证明：

在CD上截取DE=DB，连接AE，

∵AD⊥BC，∴AE=AB.

∴∠B=∠AEB.

又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，

∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.

∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.

∴AB+BD=CD.

例16如图14－79所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若OC=4，则PD等于（）

A.4B.3C.2D.1

分析本题中有角平分线、平行线，这是等腰三角形的重要形成条件，另外，PD⊥OA于D，显然需要作另外一个垂直，这是角平分线性质的一个重要应用.

如图14－80所示，

过点P作PE⊥OB于E.

又∵OP平分∠BOA，PD⊥OA于D.

∴PD=PE.

∵PC∥OA，∴∠2=∠3.

又∵∠1=∠2，∠1=15°，

∴∠3=15°，CO=CP.

∴∠4=∠1+∠3=2∠1=15°×2=30°.

在Rt△CPE中，∠4=30°，∠CEP=90°，

∴PE=

PC=

OC=

×4=2.

∴PD=2，故正确答案为C项.

学生做一做如图14－81所示，已知矩形ABCD，沿对角线AC把△DAC翻折，AD′与BC相交于点E.判断△AEC的形状.

老师评一评△AEC是等腰三角形，关键是证明∠EAC=∠ECA.

理由如下：

由题意可知，△ADC≌△AD′C，

∴∠DAC=∠D′AC.

又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE.

∴∠D′AC=∠ACE.∴EA=EC.

∴△EAC是等腰三角形.

小结

（1）证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：

①若两条线段属于两个三角形，则考虑对应的三角形全等；

②若两条线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；

③寻找中间线段，通过等量代换来证明.

（2）类似地，我们可以对证明角相等，等边三角形的判定作归纳总结.

在证明等腰三角形时，常需应用作辅助线构造全等三角形，进而应用等腰三角形的性质为题目服务，常用的构造方法有：

①“角平分线+平行线”构造等腰三角形；

②“角平分线+垂线”构造等腰三角形；

③用“垂直平分线”构造等腰三角形；

④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.

中考展望点击中考

中考命题总结与展望

这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现，在综合题中，等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。

中考试题预测

例1如图14－82所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.

分析证线段2倍关系，通常考虑在直角三角形中是否有30°角.

证明：

如图14－83所示，连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=

=30°.

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴FA=FC.∴∠C=∠FAC=30°，

∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.

在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°，

∴AF=

BF.∴CF=

BF.

∴BF=2CF.

例2如图14－84所示，D是△ABC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE.求证：

（1）△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.

分析

（1）只需证△BFD≌△CED，证∠B=∠C即可.

（2）只需证邻边相等，因为邻边相等的长方形是正方形.

证明：

（1）∵DF⊥AB，DE⊥AC，

∴∠BFD=∠CED=90°.

又∵D是BC的中点，∴BD=CD.

在Rt△BFD和Rt△CED中，

∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

∴AB=AC（等角对等边）.

∴△ABC是等腰三角形.

解：

（2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形.

理由如下：

∵∠AFD=∠AED=∠A=90°，

∴四边形AFDE是长方形.

由

（1）知△BFD≌△CED，∴FD=ED.

∴四边形AFDE是正方形.

例3如图14－85所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）

A.150°B.130°C.120°D.100°

分析本题主要考查：

（1）直角三角形两锐角互余；

（2）三角形内角和是180°.具体过程如下：

∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠AEB=∠ADC=90°.

又∵∠A=50°，

∴∠ABE=∠ACD=90°-50°=40°.

又∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°.

∴∠