171几何 第二章 相交线平行线.docx

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171几何第二章相交线平行线

第二章相交线平行线

本章主要研究两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，并结合这些知识简要介绍了命题的组成和证明的步骤.

学习时要注意：

1.掌握好相交线、平行线有关的角是学好这些知识的关键.2.要注意学会观察图形和利用图形，结合图形分析问题和解决问题.3.注意区别平行线的判定、性质，判定与性质的题设与结论正好相反，因此在运用它们推理证明时，一定要注意区别，不要用错.4.把文字语言叙述过程“翻译”成使用符号推理的格式.

2.1相交线

【双基同步训练】

1.填空

（1）在△ABC中，∠C是直角，则在AB、AC和BC三条线段中，最长的是这是因为

（2）如下图中

（1）图，AD⊥BC，AB=6cm,AD=3cm,AC=5cm,则点A到BC的距离是，A、B两点间的距离是

（3）如下图中

（2）图，∠ADE与是同位角，∠DEF与∠CFE是角；∠BDF与∠DFE是角，∠EFC与∠B是角；∠A与∠AEF是角

（4）如上图中

（2）图，∠AED与∠C是被所截的同位角，∠EDF与∠BFD是被

所截的内错角；∠AEF与∠BFE是被所截的同旁内角.

（5）如上图中（3）图，若∠1=65°，OE⊥CD，OF⊥AB,则∠2=,∠AOC=.

（6）如上图中（4）图，EF与AB、CD分别交于点M、N，MG平分∠EMB，NH平分∠CNF，∠1=∠2，则∠AMN+∠CNM=.

（7）如下图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=∠3，∠1与∠3互余，则∠1=度，∠3=度。

（8）如右图，共对同位角，共有对内错角，共有对同旁内角.

（9）如下图，∠1与∠2互补，∠3=115°，则∠4=度。

（10）如右图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，则：

①∠AOC的对顶角是。

②∠AOD的对顶角是。

③∠BOC的邻补角是和。

④∠BOE的邻补角是和。

（11）如下图所示，OA⊥OB，直线CD过O点，且∠AOC=40°。

求∠DOB的度数。

解：

∵OA⊥OB（已知）

∴∠AOB=°（）

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=°

∴∠BOD=180°-∠BOC=°（补角定义）

（12）如下图长方体中：

①棱AA′与面、面垂直。

②棱BC与面、面垂直。

③垂直于面ADD′A′的棱有条，它们是。

④垂直于面AA′B′B的面有个，它们是。

（13）看右图填空。

①∠1和∠4是AB被所截得的角。

②∠3和∠5是、被AC所截得的角。

③∠2和∠5是、被所截得的内错角。

④AC、BC被AB所截得的同旁内角是。

2.选择题

（1）下列四个句子

①只有铅垂线和水平线才是互相垂直的直线；

②从直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

③邻补角是由两条直线相交得到的，不仅有一个公共顶点，还有一条公共边；

④有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

（2）下列各对平分线中互相垂直的是（）

A.对顶角的平分线B.邻补角的平分线

C.同位角的平分线D.内错角的平分线

（3）如果∠1和∠2是邻补角，且∠1＞∠2，那么∠2的余角是（）

A.

（∠1+∠2）B.

∠1

C.

（∠1-∠2）D.∠1-∠2

（4）P为直线l上一点，点A、B、C为直线l在三点，如果PA=2cm,PB=3cm,PC=4cm,则P到直线l的距离为（）

A.等于4cmB.等于3cmC.等于2cmD.不大于2cm

（5）如右图，已知∠1=∠2，若要有∠3=∠4，则需要（）.

A.∠1=∠2；

B.∠2=∠3

C.AB∥CD；

D.∠1=∠4

（6）下列给出的图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）.

（7）如下图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（）。

A.1个B.2个C.3个D.4个

（8）如下左图所示，直线AB和CD相交于O点，∠AOD和∠BOC的和为236°，那么∠AOC的度数为（）。

A.72°B.62°C.124°D.144°

（9）如上右图，三条直线l1、l2、l3相交于一点O，则∠1+∠2+∠3等于（）。

A.90°B.120°C.180°D.360°

3.判断题

（1）如果∠1与∠2是同位角，那么∠1=∠2.（）

（2）若∠α=∠β，那么∠α与∠β是对顶角.（）

（3）两直线被第三条直线所截，那么内错角相等.（）

（4）过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.（）

（5）“垂线段最短”是真命题.（）

4.画图与测量

（1）如下左图，用三角板过点D画AB的垂线，再过点C画AB的垂线.

（2）如上右图，量出点D到B的距离，再量出D到BC的距离.

（3）在下图中，用三角板分别过点C画AB的垂线。

（4）在下列各图中，分别画BF⊥AD、CF⊥AD，垂足分别为E、F。

5.说理题

（1）如右图，∵MN⊥AB,（已知）

∴∠MOB=90°（）

（2）如右图，∵CD平分∠EDF，（已知）

∴∠3=∠4.（）

∵CD⊥AB,（已知）

∴∠CDB=∠CDA=90°（已知）

即∠1+∠3=∠2+∠4

∴∠1=∠2.（）

又∠2和∠5是对顶角，（已知）

∴∠2=∠5（）

∴∠1=∠5.（）

6.如下图，直线AB、CD、EF交于O点，CD⊥AB,∠COE=27°18′，求∠AOF.

7.如下图所示，已知BA⊥CD，DC⊥AD，∠C=75°，求∠B的度数.

【创新能力训练】

1.画∠AOB=80°,作∠AOB的平分线OC，在OC上截取OP=4cm,再过P点作射线OA、OB的垂线直线段PE、PF，量出PE、PF的长度并比较它们的大小.

2.指出图中对顶角、同位角、内错角与同旁内角的各有多少对?

【实践能力训练】

如下图，将书页一角折叠使角的顶点落在A′处，BC为折痕，另一页折叠使角的顶点落在D′处，BD′与BA′叠合，试计算∠CBE的度数.

2.2平行线

【双基同步训练】

1.填空

（1在同一平面在内，若两条直线不相交，则它们一定

（2）如下图，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=134°则∠3=

（3）如图，AD∥BC,AB⊥BC,∠ABD=29°，则∠ADB=度.

（4）如图，∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=

（5）如图，AB∥CD,DE平分∠ADC，ED⊥DF,∠BAD=60°,则∠CDF=

2.选择题

（1）两条直线被第三条直线所截，则（）

A.同位角的邻补角相等B.内错角的对顶角一定相等

C.同位角不一定相等D.同旁内角有两对，其和为周角

（2）如下图，EF∥BC,DE∥AB,∠FED=50°，则下列结论正确的是（）

A.∠B＞50°B.∠B=50°

C.∠B＜50°D.∠B的度数不能确定

（3）两直线被第三条直线所截，若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=70°，则（）.

A.∠2=70°B.∠2=110°

C.∠2=70°或∠2=110°D.∠2的度数确定

（4）若两条平行直线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线互相（）

A.平行B.垂直C.相交D.重合

（5）如下图，AB∥EF,∠B=70°，∠F=30°，则∠BCF等于（）

A.100°B.40°C.50°D.20°

（6）下列命题中是真命题的是（）.

A.同旁内角相等，两直线平行；

B.不相等的角一定不是对顶角；

C.一个角的补角一定大于这个角；

D.点到直线的距离是点到这条直线的垂线的长.

（7）如右图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB

∥CD的是（）.

A.∠1=∠2；B.∠B=∠DCE；

C.∠3=∠4；D.∠D+∠DAB=180°

（8）如下右图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，下列结论不正确的是（）.

A.∠C+∠D=180°；

B.∠A+∠B=180°；

C.∠A+∠C=180°；

D.∠B+∠C=180°

3.在下列各题的横线上填上推理结果，并在括号内填写理由.

（1）如下图，∵∠1=65°，∠2=65°,（已知）

∴∠1=∠2（）

∴∥（）

∵AB、DE相交，（已知）

∴∠1=∠4（）

∴∠4=65°（）

∵∠3=115°（已知）

∴∠3+∠4=180°

∴∥.（）

（2）如下右图，AF、AC、DF、DB与EG都是直线，且∠1=∠2，∠C=∠D，根据推理填写理由，

∵∠1=∠2（），

又∵∠1=∠3（），

∴∠2=∠3（），

∴DB∥EC（），

∴∠C=∠ABD（），

又∵∠C=∠D（），

∴∠D=∠ABD（）.

∴AC∥DF（），

∴∠A=∠F（）.

（3）如下右图，已知∠AEC=∠A+∠C，

求证：

AB∥CD.

证明：

过点E作EF∥AB，

∴∠1=∠A（），

∵∠AEC=∠A+∠C（），

即∠1+∠2=∠A+∠C.

∴∠2=∠C（）.

∴EF∥CD（），

∴AB∥EF，CD∥EF（）.

∴AB∥CD（）.

（4）如右图，填空：

①∵∠1=∠C（已知）

∴ED∥（已知）

②∵∠2=∠BED（已知）

∴DF∥（已知）

③∵∠2+∠AFD=180°（已知）

∴∥（已知）

④∵∠3=∠B（已知）

∴∥（已知）

⑤∵∠DFC=∠（已知）

∴ED∥AC（）

（5）根据下图填空：

①∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（）

②∵∠2+∠4=180°（已知）

∴AB∥CD（）

③∵AB∥CD（已知）

∴∠2=∠3（）

4.如下图，∠1=38°26′，∠2=141°34′，∠3=51°34′.求∠4

5.如下图，∠AOB=50°,PC∥OB,PD为∠OPC的角平分线，求∠APC、∠OPD、∠PDO的度数.

6.如下图，已知AD∥BC，∠1=∠B，求证：

AD∥EF.

7.如下左图，量得∠1=∠2=∠3。

（1）从∠1=∠2，可以推出哪两条直线平行?

它的根据是什么?

（2）从∠2=∠3，可以推出哪两条直线平行?

它的根据是什么?

8.如上右图，E是AB上一点。

（1）知道了∠DEC=∠ADE，可以判定哪两条直线平行?

为什么?

（2）知道了∠AEC+∠DCE=180°，可以判定哪两条直线平行?

为什么?

（3）知道了∠AED=∠B，可以判定哪两条直线平行?

为什么?

9.如下图，∠B=∠D=120°，∠A=60°，那么哪些线段互相平行?

为什么?

10.如下图，已知∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB∥CD吗?

为什么?



【创新能力训练】

1.如下图，已知AC∥DE,∠1=∠2,那么AB∥CD吗?

为什么?

【实践能力训练】

1.如下图，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得铁路走向是北偏东48°25′，则在B地测得A地在南偏西多少度?

如果A、B两地同时开工，那么在B地铁路按∠B施工，∠B为多少度才能使铁路在山腹中准确接通?

2.3命题定理证明【双基同步训练】

1.填空

（1）一个命题由和两部分组成，正确的命题叫做、叫做假命题，判断一个命题是假命题只须.

（2）证明是由出发，经过一步步的，最后推出的过程.

（3）命题“对顶角相等”的题设是，结论是.

（4）把“同角的余角相等”改写成“如果，那么.

（5）举反例说明“等式是方程”是假命题.

2.选择题

（1）下列命题中，假命题是（）

A.推理过程叫做证明B.定理都是命题

C.命题都是公理D.公理都是命题

（2）下列命题中，真命题是（）

A.正数与负数之和是正数

B.同位角相等

C.个位是4的整数一定能被4整除

D.不相等的两个角不是对顶角

（3）下列各语句中不是命题的是（）

A.两点之间，线段最短B.对顶角不相等.

C.连结A、B两点D.两直线相交只有一个交点

（4）已知∠1和∠2是直线l1、l2被l3所截得的同旁内角，如果l1∥l2，结论正确的是（）

A.∠1=∠2B.∠1+∠2=90°

C.

∠1+

∠2=90°D.∠1是钝角，∠2是锐角

（5）如果AB⊥EF,CD∥EF,那么AB⊥CD,这一推理的依据是（）

A.垂直定义

B.平行公理

C.等量代换

D.垂直于两条平行线中的一条的直线垂直于另一条

3.判断下列命题的真假

（1）如果∠α和∠β是同位角，那么∠α=∠β。

（）

（2）如果ab=0，那么a=0。

（）

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

（）

（4）若a=b，则│a│=│b│。

（）

（5）自然数是整数。

（）

（6）一个角的余角一定小于这个角的补角。

（）

4.画图，写出已知、求证（不证明）

垂直于同一条直线的两条直线平行.

5.完成下面的推理，并在括号内填写理由

（1）已知：

如右图，AD∥BC,∠BAD=∠BCD,求证：

AB∥CD.

证明：

∵AD∥BC,（）

∴∠1=.（）

又∵∠BAD=∠BCD,（）

∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2

即∠3=∠4

∴AB∥（）

（2）已知：

如右图，AB∥CD,AE与CD相交于F，求证：

∠AFC=∠BAE.

证明：

∵AB∥CD,（）

∴∠BAE=∠DFE.（）

又∵∠DFE=∠AFC.（）

∴∠AFC=.（）

（3）已知：

如右图，AB⊥CD，∠1=∠2，求证∠EOC=∠FOC.

证明：

∵AB⊥CD（）

∴∠AOC=∠BOC=90°（）

又∵∠1=∠2（）

∴∠1+∠AOC=[CD#3]+[CD#3]即〖CD#3〗=[CD#3].

（4）如下左图，直线AB、CD被直线EF所截，已知∠1+∠2=180°，求证：

AB∥CD。

证明：

∵∠1+∠3=180°∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠3（）∴AB∥CD（）

（5）如上右图，已知：

∠C=∠DAE,∠B=∠D。

求证：

AB∥DF。

证明：

∵∠C=∠DAE（已知）

∴AD∥BC（）

∴∠D=∠DFC（）

又∵∠B=∠D（已知）

∴∠B=∠DFC（）

∴AB∥DF（）

（6）如下左图，已知OP平分∠AOB，PC∥OB。

求证：

∠1=∠2。

证明：

∵PC∥OB（）

∴∠2=∠BOP（）

又∵OP平分∠AOB（已知）

∴∠1=∠BOP（）

∴∠1=∠2（）

（7）如上右图，已知：

AB∥CD，求证：

∠A+∠APC+∠C=360°。

证明：

过点P作PE∥AB

∵AB∥CD（已知）

∴PE∥CD（）

∴∠A+∠1=180°

∠2+∠C=180°（）

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°（）

即∠A+∠APC+∠C=360°（）

6.已知，如下图，CD⊥OB,EF⊥OB,∠1=60°，求∠2的度数.

7.已知，如下图∠1=∠2,求证：

∠2=∠3.（要求有两种方法证明）

【创新能力训练】

已知，如下图，∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断：

∠AED和∠C的关系?

【实践能力训练】

平面内两条直线有相交和平行两种位置关系，想一想，在空间两条直线有其它的位置关系吗?

试举出现实生活中的实例.

参考答案

2.1相交线

【双基同步训练】

1.

（1）AB略

（2）3cm;6cm（3）∠DBF；内错；内错；同位；同旁内角（4）DE，BC，AC；DE，BC，DF；AC，BC，EF（5）65°；25°（6）180°（7）45°，45°（8）4、2.2（9）65°（10）∠BOD，∠BOC，∠AOC，∠BOD，∠BOF，∠AOE（11）90°，垂直定义，50°，130°（12）①ABCD，A′B′C′D，②CDD′C′，ABB′A；③4，棱DC、AB、A′B′、D′C′，④4，面ABCD、面A′B′C′D、面AA′D′、面BB′C′C（13）①CD、BC同位；②AB、BC，同旁内；③AB，CD，AC；④∠4和∠5

2.

（1）B

（2）B（3）C（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）C

3.

（1）×

（2）×（3）×（4）√（5）√

4.略

5.略

6.62°42′

7.105°

【创新能力训练】

1.略

2.6对，12对；6对，6对

【实践能力训练】

90°

2.2平行线

【双基同步训练】

1.

（1）平行

（2）46°（3）61°（4）102°（5）140°

2.

（1）C

（2）B（3）D（4）A（5）A（6）B（7）B（8）C

3.

（1）—（3）略

4.①AC，同位角相等，两直线平行；

②AB，内错角相等，两直线平行；

③DE，AC，同旁内角相等，两直线平行；

④DF，AB，同位角相等，两直线平行；

⑤∠2，内错角相等，两直线平行

5.①两直线平行，同位角相等；

②同旁内角互补，两直线平行；

③两直线平行，内错角相等

6.128°26′

7.50°；65°；65°

8.略

9.

（1）a∥b，内错角相等，两直线平行；

（2）c∥d，同位角相等，两直线平行

10.

（1）AD∥EC，内错角相等，两直线平行

（2）DC∥AB，同旁内角互补，两直线平行

（3）DE∥CB，同位角相等，两直线平行

11.AD∥BC，AB∥DC，同旁内角互补，两直线平行

12.∵∠1=135°，∠2=45°，∴∠1+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

【创新能力训练】

1.平行（可证∠1＝∠3）

【实践能力训练】

南偏西48°25′；131°35′

2.3命题定理证明

【双基同步训练】

1.

（1）题设；结论；真命题；错误的命题；举出一个反例

（2）题设；推理；结论正确（3）—（5）略

2.

（1）C

（2）D（3）C（4）C（5）D

3.

（1）假

（2）假（3）真（4）真（5）真（6）真

4.略

5.

（1）—（3）略

（4）同角的有相等；同位角相等，两直线平行；

（5）内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行。

（6）已知：

两直线平行，内错角相等；角平分线定义；等量代换。

（7）平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；等式性质。

6.60°

7.略

【创新能力训练】

∠AED＝∠C

【实践能力训练】

有；异面直线