初二几何拉分题4套含答案.docx
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初二几何拉分题4套含答案
初二几何拉分题4套(含答案)
第一套
1.在△ABC中,AB=AC,BD、CD平分∠ABC、∠ACB,点D在△ABC内,过D点作EF∥BC.请问EF与BE、CF有什么关系?
2.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF.
(2)连接AF,试判断△ACF的形状并说明理由.
3.在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC且∠BAD与∠BCD互补,求证:
AD=CD.
4.如图所示,点P是△ABC的BC边的垂直平分线上一点,且∠A=2∠PBC,BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D、E,求证:
BE=CD.
5.如图所示,∠1=∠2,AB>AC,求证:
BD>DC.
6.如图所示,正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上,CM=AN,点E在BD上,EN平分∠DNM,EF⊥MN于点F,问MN、AD、EF有什么数量关系?
第二套
1.在△ABC中,AB=AC,延长AB到点D使BD=AB,E为AB边的中点,求证:
CD=2CE.
2.已知△ABC中,CD⊥AB于D,过D作DE⊥AC于点E,F为BC边的中点,过F作FG⊥DC于点G,求证:
DG=EG.
3.如图所示,设BP、CQ是△ABC的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线.求证:
KH∥BC.
4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE为AC边的中线,且∠CBE=30°,求证:
AD=BE.
5.如图所示,已知AO是△ABC中∠A的平分线,BD⊥AO的延长线于点D,E是BC的中点,求证:
DE=
(AB-AC).
6.如图所示,在任意五边形ABCDE中,M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别为MN、PQ的中点.求证:
KL∥AE,且KL=
AE.
第三套
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D是AB上一点,∠BDC=30°,求证:
AD=BC.
2.如图所示,在Rt△ABC中,CM是斜边AB上的中线,MN⊥AB,∠ACB的平分线CN交MN于N,求证:
CM=MN.
3.如图所示,以正方形ABCD的边AD为边向外作等边三角形ADE,F为DE的中点,AF与BE交于M,求证:
DM=
BD.
4.已知一个直角三角形中,三条边皆为整数,一条直角边的长为1997,那么另一条直角边的长为多少?
5.如图所示,△ABC三边的边长分别是BC=17,CA=18,AB=19.过△ABC内的点P向△ABC的三条边分别作垂线PD、PE、PF(D、E、F为垂足),且BD+CE+AF=27.求BD+BF的长.
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,点P是BC边上的任意一点,求证:
PA2+PB·PC是定值.
第四套
1.如图所示,在△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=80°,O为△ABC内一点,∠OBA=10°,∠OAB=30°.求BO的长.
2.如图所示,设点P为△ABC内一点,∠PBA=10°,∠PCB=30°,∠BAP=20°,∠CBP=40°,求证:
△ABC是等腰三角形.
[提示:
外心(外接圆的圆心)定理:
三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.]
3.如图所示,请求证:
在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行.
4.任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去扎这一堆纸片.证明:
不论针尖落在哪一点,总不能一次把六个纸片全部扎中.
5.请求证:
若梯形两底的和等于一腰,则这腰同两底所夹的两角的平分线必过对腰的中点.
答案
第一套
1.BE=CF=
EF.提示:
因为BD是角平分线,所以∠EBD=∠DBC=
∠ABC;因为EF∥BC,所以∠EDB=∠DBC,所以∠EBD=∠EDB,所以EB=ED.同理,FC=DF.又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠EBD=∠EDB=∠FCD=∠FDC=
∠ABC=
∠ACB,所以∠DBC=∠DCB=
∠ABC=
∠ACB.因为∠DBC=∠DCB,所以BD=DC.在△EBD和△FCD中,∠EBD=∠FCD,BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△EBD≌△FCD,所以DE=DF=
EF,因此BE=CF=
EF.
2.等腰三角形.提示:
(1)在等腰直角三角形ABC中,∠CAB=∠ABC=45°,因为BF∥AC,所以∠CBF=90°,所以∠BDE=∠DFB=45°,所以BF=BD,因此△ACD≌△CBF(SAS),可得∠CDA=∠BFC,所以AD⊥CF.
(2)因为AB垂直平分DF,所以AD=AF;又因为AD=CF,所以△ACF为等腰三角形.
3.提示:
作DE垂直于BA、交BA的延长线于点E,作DF垂直于BC、交BC于点F.因为BD平分∠ABC,所以DE=DF;又因为∠BAD与∠BCD互补,所以∠EAD=∠DCB.所以△EAD≌△FCD(AAS),即AD=CD.
4.提示:
在BD上取一点F,使得PE=PF,连接CF.因为PG垂直平分BC,所以PB=PC;又因为PB=PC,∠BPE=∠CPF,PE=PF,可得△PBE≌△PCF(SAS).所以BE=CF,∠PBE=∠PCF.因为∠CDF=∠A+∠ABD=2∠PBC+∠PBE=∠PBC+∠PCB+∠PCF=∠PBC+∠BCF=∠CFD,所以CD=CF,因此BE=CD.
5.提示:
在AB上截取AF=AC,连接DF.易证△ADF≌△ADC,所以FD=CD,∠ADC=∠ADF.因为∠ADC=∠1+∠B,∠BFD=∠1+∠ADF,所以∠BFD>∠B,由此可得BD>DF,所以BD>DC.
6.AD-EF=
MN.提示:
=AD-EF,过点E作EG⊥AD交AD于点G,EQ⊥AB交AB于点Q,过点B作BP⊥MN.因为AB=CB,∠NAB=∠MCB,AN=CM,所以△NAB≌△MCB,所以∠NBA=∠MBC,BN=BM.因为∠MBC+∠ABM=90°,所以∠NBA+∠ABM=90°,所以∠NBM=90°,△MBN为等腰直角三角形且BP⊥MN,BP=
MN.因为△NPB为等腰直角三角形,所以∠PNB=45°;因为EN平分∠DNM,所以EG=EF,∠AGE=∠AQE=90°;因为∠ADB=∠ABD=45°,所以△DGE与△BQE都为等腰直角三角形,DG=EG=EF,∠QEB=45°,所以AG=AD-DG=AD-EF,又因为∠GAQ=90°,四边形AGEQ为矩形,所以QE∥AG且QE=AG=AD-EF,∠GNE=∠QEN,∠QEN=∠ENF;因为∠BNE=∠ENF+∠PNB,∠BEN=∠QEN+∠QEB,又因为∠PNB=∠QEB=45°,所以∠BNE=∠BEN,BN=BE,所以△BEQ≌△NBP,EQ=BP=
MN,AD-EF=
MN.
第二套
1.提示:
延长CE到点F,使CF=2CE.在△AEC和△BEF中,CE=EF,∠AEC=∠BEF,AE=EB,所以△AEC≌△BEF,可得BF=AC=AB=BD,∠CAE=∠FBE.因为∠CBD=∠CAB+∠ACB,∠CBF=∠CBA+∠ABF,∠ACB=∠ABC,所以∠CBD=∠CBF.在△CBF和△CBD中,BF=BD,∠CBD=∠CBF,CB=CB,所以△CBF≌△CBD,可得CF=CD,因此CD=2CE.
2.提示:
作FQ⊥BD于点Q,由DE⊥AC可得∠DEC=90°,由FG⊥CD,CD⊥BD,得BD∥FG,∠BDC=∠FGC=90°,因此QF∥CD,QF=DG,∠B=∠GFC.又因为F为BC边的中点,所以BF=FC,易证△BQF≌△FGC,可得QF=GC,则QF=DG,DG=GC.在Rt△DEC中,G为DC中点,所以DG=EG.
3.提示:
延长AH交BC于N,延长AK交BC于M.因为BH平分∠ABC,可得∠ABH=∠NBH.因为BH⊥AH,所以∠AHB=∠NHB,可证△ABH≌△NBH(ASA),所以AH=HN.同理可得AK=KM,因此KH是△AMN的中位线,可得KH∥MN,即KH∥BC.
4.提示:
取DC的中点F,连接EF,则EF为△ADC的中位线,所以EF=
AD且EF∥AD.因为AD⊥BC,所以EF⊥BC;又因为∠CBE=30°,所以EF=
BE,因此AD=BE.
5.提示:
延长AC、BD交于点F,因为BD⊥AO,所以△ABD≌△AFD(ASA),则△ABF为等腰三角形且BD=DF.又因为E为BC中点,所以ED是△BCF的中位线,因此DE=
CF=
(AF-AC)=
(AB-AC).
6.提示:
连接BE,取其中点为R,再连接MR,连接PN、NQ、QR、RP.在△ABE中,因为M、R分别为AB、BE的中点,则MR=
AE.又因为N、P、R、Q分别为各边上的中点,所以四边形PNQR为平行四边形,可得平行四边形的两条对角线RN、PQ互相平分.又因为L为PQ中点,所以L为RN的中点.在△MNR中,因为K、L分别为MN、RN的中点,所以KL∥MR,KL=
MR,因此KL∥AE且KL=
AE.
第三套
1.提示:
作AE⊥CD,垂足为E,作AF⊥BC,垂足为F.因为AB=AC,故∠BAF=
∠BAC=10°,又∠ACD=∠BDC-∠DAC=30°-20°=10°,从而∠BAF=∠ACD,所以Rt△AFC≌Rt△CEA,CF=AE,但是CF=
BC,AE=
AD,故BC=AD.
2.提示:
作CH⊥AB,垂足为H,因为AC⊥BC,所以∠BCH=∠A.因为CM是斜边AB上的中线,故CM=AM,∠A=∠ACM,所以∠BCH=∠ACM.又因为CN是∠ACB的平分线,故∠ACN=∠BCN,所以∠ACN-∠ACM=∠BCN-∠BCH,即∠MCH=∠HCN.因为MN⊥AB,CH⊥AB,所以MN∥CH,所以∠HCN=∠N,∠MCN=∠N,因此CM=MN.
3.提示:
因为∠BAE=90°+60°=150°,且BA=AD=AE,所以∠ABE=∠AEB=
(180°-150°)=15°.因为F是等边三角形ADE边DE的中点,所以AF垂直平分DE,∠EAF=30°,所以∠DMF=∠EMF=∠EAM+∠AEB=30°+15°=45°;所以∠EMD=45°+45°=90°,故DM⊥BE.又因为∠DBM=∠DBA-∠EBA=30°,所以DM=
BD.
4.1994004.提示:
设斜边为y,另一条直角边为x,y2-x2=19972,(y-x)×(y+x)=19972(因为1997为质数所以只能拆成1和1997的平方,显然y+x>y-x,所以y-x=1;又因为y-x=1,y+x=19972=3988009,所以
5.18.提示:
设BD=x,CE=y,AF=z,则DC=17-x,AE=18-y,FB=19-z,连接PB、PC.在Rt△PBD和Rt△PFB中,有x2+PD2=(19-z)2+PF2,同理有y2+PE2=(17-x)2+PD2,z2+PF2=(19-y)2+PE2.将以上三式相加,得到x2+y2+z2=(17-x)2+(18-y)2+(19-z)2,即17x+18y+19z=487,又因为x+y+z=27,故x=z-1.所以BD+BF=x+(19-z)=(z-1)+(19-z)=18.
6.提示:
作AD⊥BC于点D.在Rt△ADP中,由勾股定理得PA2+PB·PC=PA2+(BD+DP)(DC-DP),又因为AB=AC,所以BD=CD,因此PA2+PB·PC=PA2-DP2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.所以不论点P在BC上何处,PA2+PB·PC都是定值.
第四套
1.提示:
作∠CBO的角平分线BD交AO的延长线于点D,连接CD.因为∠OBA=10°,BD为∠CBO的角平分线,所以∠DBO=∠DBC=20°,所以∠DAB=∠DBO+∠ABO=30°=∠DBA,因此AD=BD.在△ACD和△BCD中,AD=BD,CD=CD,AC=BC,所以△ACD≌△BCD,所以∠ACD=∠BCD=
∠ACB=40°.因为∠BOD=∠OAB+∠OBA=40°,所以∠BOD=∠BCD.在△BDC和△BDO中,∠BOD=∠BCD,∠CBD=∠OBD,BD=BD,所以△BDC≌△BDO,所以BO=BC=5.
2.提示:
作AQ⊥BC,且AQ=AB,连接QP、QB、QC,易知∠BAQ=40°,于是∠BAP=∠QAP,所以△BAP≌△QAP,BP=QP.又因为∠APB=150°=∠APQ,所以∠BPQ=60°,△BPQ为正三角形.因为BQ=PQ,∠PQB=60°=2∠PCB,所以Q为△BPC的外心,于是BQ=CQ,AQ垂直平分BC,所以AB=AC,△ABC是等腰三角形.
3.提示(反证法):
在同一平面内,假设AB不平行于CD,则AB与CD相交,设其交点为P.已知AB∥EF,CD∥EF,这就是说过P点有两条直线.AB和CD都平行于直线EF,显然,这与平行公理(欧氏几何)矛盾,因此假定AB不平行于CD是错误的.由此可知AB∥CD.
4.提示:
(该命题相当于,平面上有六个圆,每个圆心都在其余各圆的外部,证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部.)
第4题
证明:
如图所示,设平面上有一点M,同时在六个圆心MO1,MO2,…,MO6上,则∠O1MO2+∠O2MO3+…+∠O6MO1=360°.因此,至少有一个角不大于60°,不妨设∠O1MO2≤60°,∠1≤60°,又∠1+∠2+∠3=180°,则∠2和∠3中必有一个不小于60°,不妨设∠3≥60°,则∠3≥∠1,所以O1O2≤O1M<r1(r1为圆O1的半径).故O2在圆O1内,这与题设矛盾,这就证明了点M不可能同时在六个圆的内部.
5.提示:
由于线段的中点是唯一的,而一个角的平分线也是唯一的.从而本题符合同一原理,故可用同一方法证明.
第5题
证明:
连接AE并延长,使之与BC的延长线交于F,则易证明△AED≌△FCE.所以BF=BC+CF=BC+AD=AB,所以∠2=∠5,而∠1=∠5,所以∠1=∠2.这就是说,AE是∠BAD的平分线.同理∠3=∠4,即BE是∠ABC的平分线.
由于一条线段的中点是唯一的,一个角的平分线也是唯一的,所以∠DAB和∠ABC的平分线都过CD的中点E.故原命题得证.