北师大版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元检测卷A一.docx
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北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》单元检测卷A一
北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A
（一）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．
80°
B．
80°或20°
C．
80°或50°
D．
20°
2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．
如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．
直角都相等
C．
两直线平行，同位角相等
D．
若a=6，则|a|=|b|
3．（4分）△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
4．（4分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．
∠A=∠C
B．
AD=CB
C．
BE=DF
D．
AD∥BC
第4题第5题第6题
5．（4分）（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ）
A．
10
B．
8
C．
5
D．
2.5
6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．
2.5
B．
1.5
C．
2
D．
1
7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（ ）
A．
①
B．
②
C．
①②
D．
①②③
8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（ ）
第7题第8题第9题第10题
A．
10
B．
12
C．
24
D．
48
9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（ ）
A．
6
B．
8
C．
9
D．
10
10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：
S△ABC=1：
3．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
第12题第13题第16题
13．（4分）（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．
①②③
B．
①④⑤
C．
①③④
D．
③④⑤
二、填空题（每小题4分，共24分）
14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 _________ ．
15．（4分）（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 _________ ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________ ．
第17题第18题第19题
17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 _________ ．
18．（4分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 _________ m（容器厚度忽略不计）．
19．（4分）（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 _________ ．
三、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．
求证：
∠A=∠B．
21．（7分）（2013•兰州）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：
不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
四、解答题（每小题10分，共40分）
22．（10分）（2013•攀枝花模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，
求AB的长度？
23．（10分）（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：
△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
24．（10分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：
CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
25．（10分）已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：
BF=AC；
（2）求证：
．
五、解答题（每小题12分.共24分）
26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：
BG=CF；
（2）求证：
EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是 _________ 三角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？
请直接写出结论并画出相应的图形．
北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A
（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．
80°
B．
80°或20°
C．
80°或50°
D．
20°
考点：
等腰三角形的性质．5422084
专题：
分类讨论．
分析：
分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
解答：
解：
①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．
如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．
直角都相等
C．
两直线平行，同位角相等
D．
若a=6，则|a|=|b|
考点：
命题与定理．5422084
分析：
先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
解答：
解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：
如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．
故选：
C．
点评：
此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（4分）△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
考点：
含30度角的直角三角形．5422084
分析：
三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．
解答：
解：
根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．
点评：
此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．
4．（4分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．
∠A=∠C
B．
AD=CB
C．
BE=DF
D．
AD∥BC
考点：
全等三角形的判定．5422084
分析：
求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
解答：
解：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选B．
点评：
本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（4分）（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ）
A．
10
B．
8
C．
5
D．
2.5
考点：
线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．5422084
分析：
根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
解答：
解：
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），
∴CE=BE=10．
故选A．
点评：
本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．
6．（4分）（2013•邯郸一模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．
2.5
B．
1.5
C．
2
D．
1
考点：
等腰三角形的判定与性质．5422084
分析：
由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=
BE=
AE=
（AC﹣BC）．
解答：
解：
如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=
BE=
AE=
（AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=
（5﹣3）=1．
故选D．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．
7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（ ）
A．
①
B．
②
C．
①②
D．
①②③
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．5422084
专题：
常规题型．
分析：
从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．
解答：
解：
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF（①正确）
∴AE=AF，
∴BF=CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（②正确）
∴DF=DE，
连接AD，
∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD=∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上（③正确）
故选D．
点评：
此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．
8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（ ）
A．
10
B．
12
C．
24
D．
48
考点：
勾股定理；含30度角的直角三角形．5422084
分析：
本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．
解答：
解：
∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°
∴∠AEB=∠CDE=30°
∵30°所对的直角边是斜边的一半
∴AE=6，DE=8
又∵∠AED=90°
根据勾股定理
∴AD=10．
故选A．
点评：
解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．
9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（ ）
A．
6
B．
8
C．
9
D．
10
考点：
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．5422084
分析：
作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
解答：
解：
延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8，
故选B．
点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
10．（4分）（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：
S△ABC=1：
3．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．5422084
专题：
压轴题．
分析：
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解答：
解：
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=
AD，
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD，S△DAC=
AC•CD=
AC•AD．
∴S△ABC=
AC•BC=
AC•
AD=
AC•AD，
∴S△DAC：
S△ABC=
AC•AD：
AC•AD=1：
3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：
①②③④，共有4个．
故选D．
点评：
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
12．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
等腰三角形的判定；坐标与图形性质．5422084
专题：
压轴题．
分析：
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．
解答：
解：
如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6﹣2=4，
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×
=3
，
∵3
＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
所以，点C的个数是1+2=3．
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
13．（4分）（2009•重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（ ）
A．
①②③
B．
①④⑤
C．
①③④
D．
③④⑤
考点：
正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．5422084
专题：
压轴题；动点型．
分析：
解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=
DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4
，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
解答：
解：
连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
因此①正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
因此②错误．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，
因此④正确．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=
BC=4．
∴DE=
DF
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