搜索黑匣子剖析.docx
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搜索黑匣子剖析
2014年河南科技大学模拟训练一
承诺书
我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.
我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
C
队员签名：
1.高倩
2.李根
3.邓爽
日期：
2014年8月19日
2014年河南科技大学数学建模竞赛选拔
编号专用页
评阅编号（评阅前进行编号）：
评阅记录（评阅时使用）：
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备
注
搜索黑匣子
摘要
马航失踪，很多国家参与寻找，最终还是没有结果。
能否破解马航失踪之谜，在于是否能在有限的时间内找到并打捞出飞机上的黑匣子。
为找到黑匣子，许多国家调用了卫星，飞机，船只进行搜索，而有效的搜索方案不仅能提高搜索效率，还能减少成本。
此篇论文主要讨论了海面搜索的方式。
问题一：
结合新闻数据，我们主要考虑只有三艘搜索船只的情形，确定相应的搜索方案。
由于目标区域为矩形且长宽不同，所以分为横向搜索和纵向搜索两种方式。
但纵向搜索道数多，转弯也就多，所以耗费的时间比横向搜索的时间要多一点，因此最短时间的搜索方式选择横向道搜索方式进行搜索。
在方案一中，考虑三艘船并列行驶的情况。
按搜索起点的不同，我们先将问题分为两个。
搜索起点在中心时，画出距离图（图5-1-1），根据图，建立了满足搜索要求的0-1规划模型，利用优化软件lingo11.0求解，得到的便是最优的搜索方案。
根据搜索方案，可计算出搜索时间为112.3636小时。
搜索起点在所需搜寻区域端点时，划分问题为奇数行道和偶数行道的搜寻路线问题，进而推出奇数和偶数行道的耗费时间的数学表达式。
在方案二中，把三艘船分开各自进行搜。
船只在划分均匀的区域内搜索，推导出各种搜索起点不同时所需要的时间的表达式，进行比较，得出最优的方案，即花费时间最少的方案。
问题二：
考虑到搜索工具和搜索方式的多样性和复杂性，以及飞机残骸和油迹等线索出现的随机性，我们采用蒙特卡洛随机模拟的方法对搜索区域进行模拟实验，通过量化各种不确定因素，卫星结合飞机确定最佳搜索区域，进而结合问题一的优化模型增派船只选择最优的搜索方式，进行仔细搜索，打捞。
关键词：
图论0-1规划横向搜索纵向搜索蒙特卡罗法
一，问题重述
2014年3月8日一班从马来西亚吉隆坡前往中国北京的波音777-200ER航机失踪，该事件被认为是有史以来“最离奇”的飞机失联案例，也就是所谓的“MH370”的失联事件。
[1]空难的谜团不能解开，很大程度上取决于能不能打捞到“黑匣子”，为了能解开马航失联事件这个谜团，也为了能给失事的家属一个满意的答复，各个国家都积极的参与“黑匣子”的打捞工作，并出动了25架飞机，40艘舰艇，甚至包括若干卫星等。
中国也先后派遣出了15艘搜寻船只，寻找黑匣子下落。
假定现已由某国卫星探测出疑似黑匣子所在区域，为南印度洋某一片长为120海里，宽为60海里的矩形海域，以此作为目标区域作为搜索范围，确定搜救船只的出发点，规划路线，使得总消耗最少（即所走路程最短）。
根据新闻及各艘船的数据，设每艘船的搜索半径为2海里，搜索时的平均搜索速度为11节（海里），每只搜救船上装有GPS定位仪和一定数量的卫星通话设备。
搜索过程中有最新发现时，随时由搜救所在船只的最高指挥官把最新进展报告给指挥部。
我们把该问题分为以下两个问题来进行解决：
（1）请你以MH370为基本背景，基于互联网报导的这次事件的一些数据（如不同搜索设备的搜索能力，速度，续航时间，代价等）基础上，做出合理假设、简化，针对海上搜索（即船只搜索）讨论其搜索的范围和优缺点，制定相应的最优搜索方案；
①若船只并排共同搜索，怎样设计搜索道路，才能有效的利用时间，并使得消耗最少；
②若船只分开在各自不同的区域搜索，怎样设计搜索方案，才能有高的搜索效率；若推广到一般搜救模型，又适合使用什么样的方案。
（2）若假设所有的飞机船舰及卫星都有一个国家统一调度，再讨论如何才是最优飞机残骸和黑匣子的方案？
二，模型假设
1，在进行搜索的过程中，每艘船只搜索能力一样，不会出现任何意外情况；
2，相应的搜索地点不会出现障碍物影响正常搜索；
3，当搜索船只找到目标时，向有关人员汇报信息的时间忽略不计；
4，当搜索船只处于起始位置时，我们将其视为质点；
5,每艘船只都严格按照指定的路线进行搜索；
三，符号说明
V
搜索速度，11nmile/h
V0
航行速度，22nmile/h
m
搜索区域总长，216nmile
p
搜索行道的宽度，根据不同搜索情况变化
Vij
从i到j表示的线路
Cij
从i到j的距离
S1
起点到a，d两点的距离，图5-2-1-1，图5-2-1-2
S2
起点到a，d两点的距离，图5-2-1-1，图5-2-1-2
四，问题分析
问题一：
方案一：
1，本问题要求设计以三艘船为一组的耗时最短的搜索方式，为保证时间最短，首先要求每一组搜救船只在单位时间内的搜索面积尽可能大，所以要求每组的三艘船要相切并排行驶进行搜索，所搜索的最宽距离为4*3=12海里。
2，由于目标区域为矩形且长宽不同，所以分为横向搜索和纵向搜索两种方式。
由于每组的最大搜索宽度为12海里，因此横向搜索道路可分为60/12=5个搜索道（图4-1），纵向搜索可分为216/12=18个搜索道（图4-2）。
●终点●起点
图4-1横向搜索道
图4-2纵向搜索道
由图示可见，虽然横向道和纵向道道数不同，但横向道搜索距离（5*120=600海里）和纵向搜索距离（12*50=600海里）相同。
但纵向搜索道数多，转弯也就多，所以耗费的时间比横向搜索的时间要多一点，因此最短时间的搜索方式选择横向道搜索方式进行搜索。
为使问题要求简化，可将搜索道转化为距离图，根据搜索起始点的位置不同可以分为两种搜索方式：
搜索方式一：
考虑起点在所要搜索的矩形中心的情况，从起点出发，横向搜索。
把问题转化为图论问题（图），确定搜索船只所走路线需要满足的关系，进而建立0-1规划模型，进行求解。
搜索方式二：
考虑起点在所要搜索的矩形四个顶点的情况，划分的道数不同，搜索船只所走的路线也会有不同。
根据不同的道数，确定搜索方案，由此可推出一般情况下的搜索搜用时间的通用模型。
方案二：
若三艘船只分开搜索，不再并列而行，则需要考虑分道的问题，即三艘船只分开走不同的道路。
此篇文章中考虑的船只为同规格，因此，仅存在均匀分道的问题。
搜索区域可以均匀划分，因此将区域划分为上中下三部分，A,B,C船分别到达各自区域的顶角，从顶角开始横向搜索最终到达集合地点。
所分的区域宽宽为60/3=20nmile。
问题二：
在n次模拟试验中，考虑到所有的搜索工具船舰、飞机、卫星等都由同一个国家来调度，运用蒲丰投针法确定卫星正确定位可疑区域A，B，C（概率为p1）,出错区域D（概率为p2），通过掷骰子确定飞机飞往区域A，B，C的概率。
考虑到飞机自身装备和不同区域的地理，自然因素，假设飞机在区域A，B，C的搜索能力为t1,t2,t3,从而确定相对可疑的区域，也即最佳搜索区域。
五，模型的建立与求解
问题一：
方案一：
搜索方式一的求解：
1，以横向道为准，由于要求时间最短，每艘船都应同时进行搜索，而且三艘船应该并排前行且需保证搜索区域相切，船的行驶方向垂直于矩形的边，此为一个搜索道；三艘船并排行驶从起点开始形成宽为12nmile的搜索道。
船的搜索面积为圆形，因此只有在三艘船同时到达矩形搜索区域边缘的情况下，才能保证一个搜索道全部被搜索完成，没有盲点。
2，把问题转化为有关图论的问题，首先把三艘船看作一个点，搜索道看作一条边，相邻搜索道之间间隔距离为12nmile，以出发点和最终集合点以及搜索道的端点构成一个距离图：
图5-1-1
为求解，建立能搜完总面积的所走最短路程的0-1规划模型；
Vij=1，选择这条路；Vij=0，不选择这条路；Ciji到j的距离。
目标函数，总路程最小：
Minf=
ijCij（i≠j）
限制条件：
1），从起点到其他点的边之和大于等于一，保证至少有边出去，
1i>=1;
2），所有点到终点的边之和大于等于一，
i11>=1;
3），中间点进去和出去的边要守恒，有
ji-
ij=0;
4），所有搜索路径必须走完，因此有
St.V1,2+V2,1>=1;
V1,11+V11,1>=1;
V3,8+V8,3>=1;
V4,7+V7,4>=1;
V5,9+V9,5>=1;
V6,10+V10,6>=1;
5），从起点到终点的路必须连通，不能形成脱离的圈；
6），对所有的Vij,有Vij∈（0,1）；
综合以上所有条件，满足搜索路径条件的最短路的0—1规划模型为：
Minf=
ijCij（i≠j）
St.
1i>=1;
i11>=1;
ji-
ij=0;（i,j=1,2…11）
V1,2+V2,1>=1;
V1,11+V11,1>=1;
V3,8+V8,3>=1;
V4,7+V7,4>=1;
V5,9+V9,5>=1;
V6,10+V10,6>=1;
Vij∈（0,1）；
根据所建模型，利用lingo11编程（见附录）求解得多条优化路线，选择其中一条作为示例：
v1→v2→v5→v9→v10→v6→v5→v2→v3→v4→v7→v8→v3→v2→v1→v11
所走总路程为8个宽道，5.5个搜索行道。
（1），最短时间的计算:
根据搜索需满足的条件，搜索行进的速度为11nmile/h，边界道路以及重复搜索的道路以搜寻船只的最大行进速度表示，为22nmile/h，因此根据所得结果可以计算出最短的搜索时间为：
时间共计为T=
=112.3636小时。
综合以上所说，我们把搜索矩形目标区域转换为距离图，利用图论建立满足条件的由起点到终点的最短路线的0-1规划模型，由计算得到搜索的走向及搜索完成的最短时间112.3636小时。
搜索方式二的求解：
搜索起点在最上面或最下面端点的模型的建立：
由问题分析可知：
对于奇数道搜索行道的模型，搜索起点应在整个搜救矩形平面的右上端点或右下端点；而对于偶数道搜索行道的模型，搜索起点应该在整个矩形搜救平面的左上端点或左下端点。
奇数道的行走方式：
以正常的搜索速度（v=11nmile）走了5条长度为216nmile的行道，以全速走了6个道宽以及一个从起点到搜索起始点的距离；
T
图5-1-2
时间表达式T=
n=5；
偶数道的行走方式：
以正常的搜索速度（v=2nmile）走了4条（以4为例）长度为216nmile的行道，以全速走了4个道宽以及一个从起点到搜索起始点的距离；
图5-1-3
时间表达式为：
T=
n=4；
推广并扩大模型适用范围，最终可以得到通用的模型为：
m搜索道的长度，p道宽，
n为奇数时：
T=
n为偶数时：
T=
通过模型，我们可以通过计算得到5道搜索的最短时间为107.6404小时。
分成五道的道宽为12nmile。
与搜索方式一相比较，不同的起点所耗费的搜索时间也不同，此方案的奇数道搜索更节省时间。
方案二：
搜索区域可以均匀划分，因此可以将搜索区域划分为所分区域大小相同，由搜索方式二可知搜索船只应从各自区域的右边的端点出发，最终回到集合地点。
对于A,B,C,三艘船，搜索所行走的路程相同，而回到终点所走的道宽却有差异。
A,C船会比B船多走1个道宽才能回到终点。
图5-2-1-1
图5-1-2-1
图5-1-2-2
如图5-2-1，A，B,C，船需要搜索的区域均匀划分，搜索起点在各自所需搜索区域的右上角，结束搜索时在各自所需搜索区域的左下角，然后赶回终点集合。
每艘船从搜索起点到搜索终点的搜索路径相同（若起点在各自区域右下角，则搜索路线由下往上，由右向左），如图5-2-2，搜索起点为M,搜索终点为N,由N点回到终点集合。
如图5-2-1-1与图5-2-1-2，A船起点在右上角与在右下角所走的路线不同，所耗费时间也不同；B船的起点在右上角与在右下角所耗费时间相同；C船的起点在右上角与在右下角所走路线长短不同，所耗费时间也不同。
令起点到a，d两点的距离为s1，到b，c两点的距离为s2，道宽为p，搜寻速度v，航行速度v0，搜索行道长为m，则有：
A）.当A的起点在所需搜寻区域右上方的时候，A需经过一个起点到搜寻起点的距离，然后搜索区域内经过5个道长和4个道宽，最后经过3个道宽回到终点，所耗费的时间表达式为：
TA1=
当A的起点在所需搜寻区域右下方的时候，A需经过一个起点到搜寻起点的距离，然后搜索区域内经过5个道长和4个道宽，最后经过7个道宽回到终点，所耗费的时间表达式为：
TA2=
B）.B需经过一个起点到搜寻起点的距离，然后搜索区域内经过5个道长和4个道宽，最后经过2个道宽回到终点，所耗费的时间表达式为：
TB=
C）.当C的起点在所需搜寻区域右上方的时候，C需经过一个起点到搜寻起点的距离，然后搜索区域内经过5个道长和4个道宽，最后经过7个道宽回到终点，所耗费的时间表达式为：
TC1=
当C的起点在所需搜寻的区域右下方的时候，C需经过一个起点到搜寻起点的距离，然后搜索区域内经过5个道长和4个道宽，最后经过3个道宽回到终点，所耗费的时间表达式为：
TC2=
代入数据，求得各种方法下的搜寻时间（单位：
h）为：
TA1=104.5555，TA2=105.1113；
TB=104.2026；
TC1=105.1113,TC2=104.5555；
因此，最省时间的方案为，A船从所需搜寻区域的右上角出发，B船从右上角或右下角均可，C船从所需搜寻区域的右下角出发；所需搜寻的最短时间为T=104.5555h。
综合方案一，方案二两种搜索方案的所有搜索方式，方案二中的均匀分道为奇数道时最节省时间。
问题二：
在这个问题中由于考虑到海风海况等因素的影响，飞机残骸，油迹等物，可能会漂浮到其他区域。
在这个过程存在一系列不确定因素（包括漂浮物最后的己知位置、搜救对象类型以及影响漂移的风况、海况等），所以目标物的位置充满了随机性，因此我们采用随机数来进行模拟实验的方法，也即与蒙特卡罗法相结合来建立数学模型，通过量化诸多不确定因素，从而确定最佳搜索区域。
从实际情况考虑，有如下图形可供参考：
图5-2-1
考虑到所有的搜索工具船舰、飞机、卫星等都由同一个国家来调度，因此搜索工具和搜索方法就充满了多样性，在这里我们拟采用：
先用卫星定位判断出可疑的区域，再派遣飞机对可疑区域进行搜索找到相对可疑区域，最后让船只进行较为仔细的搜索与打捞。
设计模拟过程框图如下：
i:
要模拟的实验次数；
k1:
派遣到A区域的次数；
k2:
派遣到B区域的次数;
k3:
派遣到C区域的次数;
k4:
派遣到出错区域D的次数;
E1:
A区有效搜索概率；
E2:
B区有效搜索概率；
E3:
C区有效搜索概率；
初始化：
i=0,k1=0,k2=0,k3=0,k4=0
i=i+1
蒲丰投针
骰子点数
k1=k1+1
k2=k2+1
k3=k3+1
ik4=k4+1
E1=k1/nE2=k2/nE3=k3/n
停止
图5-2-2
理论分析：
在n次模拟试验中，考虑到所有的搜索工具船舰、飞机、卫星等都由同一个国家来调度的情况下，运用蒲丰投针法确定卫星正确定位可疑区域A.B.C（概率为p1）,出错区域D（概率为p2），通过骰子确定飞机飞往区域A.B.C的概率。
考虑到飞机自身装备和不同区域的地理，自然因素，假设飞机在区域A.B.C的搜索能力为t1,t2,t3,从而确定相对可疑的区域.
模拟结果：
E1=k1/n;
E2=k2/n;
E3=k3/n;
ABC区域搜索到黑匣子的概率为
p（A）=（p1*k1*t1）/n;
p（B）=（p2*k2*t2）/n;
p（C）=（p3*k3*t3）/n;
确定较为可疑的搜索区域，结合问题一的优化模型增派船只选择最优的搜索方式，进行仔细搜索，打捞。
六，模型评价
优点：
1,把求搜索完所给区域面积所用时间最少的问题抽象的转化为两点之间最短距离的问题，并结合LINGO以及图论的知识解决问题；
2，问题一中建立了不同搜索道数的数学模型，使模型更具有适用性和广泛性；
3，采用并排式搜寻，避免搜救盲点；
4，图形结合，使文章更条理，更有说服力。
缺点：
1，问题一中仅仅考虑了相切的情况，是否还可以考虑其他情况；
2，所参与的搜救船只搜索能力可能与实际情况有所不同，没有考虑到其他例如海洋天气状况，海水流速等因素；
3，考虑问题过于理想。
七，参考文献
[1]邱平，海上最佳搜寻区域与搜寻方法的研究，中国知网，2006.
[2]姜华林，海上搜救中搜寻区域的确定模型研究，中国知网，2011.
[3]邢胜伟，张英俊，李元奎，高宗江，大连海事大学学报，第38卷第二期，2012.
[4]姜启源，刑文训，谢金星等，大学数学实验，北京：
清华大学出版社，2005.5.
[5]赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2003,6.
八，附录
MODEL:
sets:
A/1..11/:
U;
B/1..11/;
L（A,B）:
V,Y,C;
endsets
DATA:
C=@ole（'files...','cc'）;
ENDDATA
n=@size（A）;
MIN=@SUM（L（i,j）|i#ne#j:
v（i,j）*c（i,j））;
@for（L（i,j）|i#ne#j:
v（i,j）>=y（i,j））;
@SUM（L（i,j）|i#ne#j:
y（i,j））=n-1;
@for（A（i）:
@for（B（j）|j#gt#1#and#j#ne#
i:
U（j）>=U（i）+Y（i,j）-（n-2）*（1-Y（i,j））+（n-3）*y（j,i））;）;
@for（A（i）|i#gt#1:
U（i）<=n-1-（n-2）*y（1,i）;U（i）>=1+（n-2）*y（i,1））;
@SUM（B（j）|j#ne#1:
V（1,j））>=1;
@FOR（B（j）|j#NE#1#AND#j#NE#
19:
@SUM（A（i）:
V（i,j））-@SUM（A（i）:
V（j,i））=0;
@SUM（A（i）|i#1t#11:
V（i,11））>=1;
V（1,2）+V（2,1）>=1：
V（1，11）+V（11，1）>=1;
V（3,8）+V（8,3）>=1：
V（4,7）+V（7,4）>=1;
V（5,9）+V（9,5）>=1;V（6,10）+V（10,6）>=1;
@FOR（L（i,j）:
@BIN（V（i,j））;@BIN（Y（i,j））;
END
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