最新湘教版九年级数学第一章教案.docx

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最新湘教版九年级数学第一章教案

第一章反比例函数

本章需课时总第1--2课时

课题1·1反比例函数

（一）教学目标：

一、知识与技能

1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。

2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

二、过程与方法

1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。

2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。

三、情感态度与价值观

1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。

2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。

重、难点分析：

1.教学重点：

理解和领会反比例函数的概念。

2.教学难点：

领悟反比例的概念。

3.难点的突破方法：

（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解

（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式

，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一切实数；看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

讲解时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。

（3）

（k≠0）还可以写成

（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式

（三）教学方法：

启发式教学法；小组合作学习

（四）教学手段：

多媒体教学

（五）教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动1

动动脑筋：

（1）一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时，各选手的平均速度v（m/s）与所用时间之间有怎么样的关系？

并写出他们之间的关系式；

（2）利用

（1）的关系式完成下表：

所用时间t/s

121

137

139

143

149

平均速度v/（m/s）

随着时间t的变化v发生了这样的变化？

（3）平均速度v是所用时间t的函数关系么？

为什么？

我们已经知道，路程、速度与时间之间的关系式：

s=vt，因此，v=3000/t.式中当路程s一定时，每当t取一个值时，v都有唯一的一个值与它对应，因此平均速度v是所用时间t的函数。

由于当路程s一定时，平均速度v与时间成反比例关系，因此，我们把这样的函数称为反比例函数。

二、引入概念

概念：

如果两个变量x,y之间的关系可以表示成

（k为常数,k≠0）

的形式，那么y是x的反比例函数,其中x是自变量，常数k（k≠0）称为反比例函数的比例系数.

另注意：

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

例：

如图1-1，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC、AB的长分别为x，y。

写出自变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数。

解：

因为菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

所以

所以xy=360（定值），即y与x成反比关系。

所以

因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数。

三、课时小结

反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。

在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。

反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。

四、课堂反馈

活动4

1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。

（1）写出y与x之间的函数关系式。

（2）求y=2时x的值。

2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

x

-2

-1

1

3

y

2

-1

（1）写出这个反比例函数的表达式；

（2）根据函数表达式完成上表。

3、已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值

学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。

五、作业布置

完成课本书练习题，P4练习题第1、3、4做在作业本上。

（七）课后反思

总第3课时

课题1．2反比例函数的图象和性质

（1）

（一）教学目标：

1、知识与技能

会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。

2、过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征。

3、情感态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣。

（二）重、难点分析：

1.教学重点：

理解并掌握反比例函数的图象和性质。

2.教学难点：

正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。

3.难点的突破方法：

画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：

列表、描点、连线，其中列表取值很关键。

反比例函数

（k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。

连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。

教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。

（三）教学方法：

启发式教学法；小组合作学习

（四）教学手段：

多媒体教学

（五）教学过程：

一、创设情境，导入新课

1．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线．

2．试用描点法画出下列函数的图象：

（1）y=2x；

（2）y=1-2x．

二、合作交流，解读探究

问题：

我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=

（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？

尝试用描点法来画出反比例函数的图象．

画出反比例函数y=

和y=-

的图象．

解：

列表

x

…

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

…

y=

-1

-1.5

-2

-6

3

1

y=-

1

1.2

3

6

-1.5

（请把表中空白处填好）

描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．

连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究反比例函数y=

和y=-

的图象有什么共同特征？

它们之间有什么关系？

做一做把y=

和y=-

的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．

归纳反比例函数y=

和y=-

的图象的共同特征：

（1）它们都由两条曲线组成．

（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．

（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．

此外，y=

的图象和y=-

的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=

和y=-

的图象．

交流两个函数图象都用描点法画出？

【分析】由y=

和y=-

的图象及y=

和y=-

的图象知道，

（1）它们有什么共同特征和不同点？

（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？

（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？

猜想反比例函数y=

（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？

在每一个象限内，y随x的变化情况如何？

它可能与坐标轴相交吗？

【归纳】

（1）反比例函数y=

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．

（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。

（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。

三、应用迁移，巩固提高

例题指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=

（k≠0）在同一坐标系中的图象（）

【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=

来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．

【答案】B

备选例题

1．请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．

2．如图所示的函数图象的关系式可能是（）

A．y=xB．y=

C．y=x2D．y=

四、总结反思，拓展升华

1．画反比例函数的图象．

2．反比例函数的性质．

3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．

4．在y=

（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．

五、课堂跟踪反馈

夯实基础

1．已知反比例函数y=

的图象如图所示，则k>0，在图象的每一支上，y值随x的增大而减小．

2．下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）

六、作业布置

1．若函数

与

的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

2．反比例函数

，当x＝－2时，y＝；当x＜－2时；y的取值范围是；

当x＞－2时；y的取值范围是

（七）课后反思

总第4--5课时

课题1．2反比例函数的图象和性质

（2）

（一）教学目标：

1、知识与技能

会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。

2、过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征。

3、情感态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣。

（二）重、难点分析：

1.教学重点：

理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题。

2.教学难点：

学会从图象上分析、解决问题。

3.难点的突破方法：

在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。

（三）教学方法：

启发式教学法；小组合作学习。

（四）教学手段：

多媒体教学

（五）教学过程：

一、课堂引入

复习上节课所学的内容

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？

有什么性质？

3．在叙述反比例函数性质时，要注意强调“在每一象限内”？

练习：

函数的图象上有三点（－3,y1）,（－1,y2）,（2,y3）,则函数值y1、y2、y3的大小关系是_______________;

二、合作交流，解读探究

探究已知反比例函数的图象经过点A（2，6），试问:

（1）这个函数的解析式是什么？

图象分布在哪几个象限?

y随x的增大如何变化？

（2）点B（3，4）、C（-2

，-4

）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？

解：

（1）设这个反比例函数为y=

，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=

，解得k=12，此反比例函数式为y=

，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．

（2）把点B、C、D的坐标分别代入y=

，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=

的图象上，点D不在这个函数的图象上．

三、随堂练习

请同学们回忆一下本节课都学习了什么内容？

反比例函数中k的几何意义:

2、从反比例函数的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=

│k│

四、课堂跟踪反馈

夯实基础

1．请你写出一个反比例函数，使它满足下列各条件：

①图象在第二、四象限内；

②图象上一点向x轴、y轴作垂线段与坐标围成的长方形的面积为3。

开放探究

4．点A、B在反比例函数的图象上，且A、B两点的横坐标分别为a、2a（a>0），

AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2.

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，比较y1与y2的大小

九、作业布置

1、课本书P12页第1、4、6题，并完成其他习题在课本上。

2、复习1.3反比例函数的应用：

十、课后反思

总第6课时

课题1.3实际问题与反比例函数

（1）

（一）教学目标：

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。

2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见。

2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

（二）重、难点分析：

1.教学重点：

掌握从实际问题中建构反比例函数模型。

2.教学难点：

从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。

3.难点的突破方法：

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。

教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

（三）教学方法：

启发式教学法；小组合作学习。

（四）教学手段：

多媒体教学

（五）教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问题：

某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．

（1）请你解释他们这样做的道理．

（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化?

（3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么?

①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?

为什么?

②当木板面积为0.2m2时，压强是多少?

③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?

④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．

⑤请利用图象对

（2）（3）作出直观解释，并与同伴交流．

设计意图：

展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣．

师生行为：

学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．

教师可以引导、启发学生解决实际问题．

在此活动中，教师应重点关注学生：

①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；

②能积极地与小组成员合作交流；

③是否有强烈的求知欲．

生：

在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小．

生：

在（3）中，①p＝

（S＞0）p是S的反比例函数；②当S＝0.2m2时．p＝3000Pa；③如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?

因为在物理学中，S＞O，p＞0．

师：

从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“1.3实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．

二、活动与探究

如果等腰梯形ABCD的顶点A，B在一次函数y＝

－7的图象上，顶点C、D在这个反比例函数为y＝

的图象上，两底AD，BC平行于y轴，点A和B的横坐标分别为a和a＋2．求a的值．

过程：

组织学生分小组进行交流，而此问题最关键的是数形结合．

结果：

∵点A、B的横坐标分别为a和a＋2，

∴可得A（a，

a－7），B（a＋2，

a－4）

C（a＋2，

）D（a，

），

∵AB＝CD，∴22＋32＝22＋（

－

）2．

即

－

＝±3①

由

－

＝3得a2＋2a＋8＝O，方程无解；

由

－

＝－3，得a2＋2a－8＝0，

∴a＝－4，a＝2．

经检验a＝－4，a＝2均为所求的值．

三、课时小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?

可以是什么?

逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

四、反馈练习

练习；

（1）已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。

（2）当矩形的长为12cm时，求宽为多少?

当矩形的宽为4cm，求其长为多少?

（3）如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?

设计意图：

进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?

可以看成什么?

七、作业布置

1、完成课本练习。

2、习题1.3第1、3做作业

（七）课后反思

总第7课时

12．2实际问题与反比例函数

（2）

（一）教学目标：

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。

2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题。

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程。

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见。

．

2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

（二）重、难点分析：

1.教学重点：

掌握从实际问题中建构反比例函数模型。

2.教学难点：

从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。

3.难点的突破方法：

用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。

教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。

（三）教学方法：

启发式教学法；小组合作学习。

（四）教学手段：

多媒体教学

（五）教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

[例]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：

吨／天）与卸货时间t（单位：

天）之间有怎样的函数关系?

（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?

设计意图：

进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?

可以看作什么?

逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

师生行为：

学生先独立思考，然后小组交流合作．

教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：

①学生能否自己建构函数模型，

②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；

③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．

解：

（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：

k＝3×80＝240．

所以v与t的函数式为

v＝

．

（2）由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?

即当t≤5时，v至少为多少呢?

由v＝

得t＝

，t≤5，所以

≤5，又∵v＞O，所以240≤5v

解得v≥48．

所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．

生：

老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第

（2）问．

画出v＝

在第一象限内的图象（因为t＞O）．如下图．

当t＝5时，代入v＝

，得v＝48

根据反比例函数的性质．v＝

在第一象限，v随t的增大而减小．所以当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．

生：

我认为还可以用方程来解．

把t＝5代入v＝

，得

v＝

＝48，

从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．

师：

同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了!

我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好!

二、巩固提高与活动与探究

某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：

第x天应付的养护与维修费为[

（x－1）＋500]元．

（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗．请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数．

（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?

注：

在解本题时可能要用到以下两个数学知识点（如果需要可以直接引用下述结论）．

A.对于任意正整数n，下列等式一定成立

l＋2＋3＋4＋……＋n＝

；

B．对于确定的正常数a，b以及在正实数范围内取值的变量x，

一定有

≥2

＝2

成立．可以看出，2是

一个常数，也就是说函数y＝

有最小值2

，而且当

时，y取得最小值．

解：

（1）设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：

（2）y＝

当且仅当

，即x＝2000时，取等号．

三、课时小结

本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际