八年级数学上册141平方根教案新版冀教版.docx

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八年级数学上册141平方根教案新版冀教版

平方根

教学设计思想：

平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，这是两节课的主要教学目标.在教学设计中，力求在以下两方面突出特点：

1．引导学生建立清晰的概念系统，首先在第1课进要求学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示法；其次在第2课时专门讨论算术平方根的概念及其表示.对于表示a的算术平方根的条件是，被开方数a表示非负数，而本身也表示非负数，因此在教学中不能要求学生死记硬背，要向学生说明规定的合理性.为此，提出算术平方根的一种几何解释，即面积为a的正方形（a为正数），它的边长为（也是正数），从而直观、形象地说明了算术平方根约定的合理性.

2．编选了有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中.

教学目标：

知识与技能：

1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。

2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。

3．知道表示的是非负数a的平方根。

过程与方法：

1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；

2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系．

情感态度价值观：

进一步感受到所学数学知识之间的内在联系．

教学重难点：

重点：

平方根和算术平方根的概念和求法.准确

难点：

弄清平方根与算术平方根的意义

教学方法：

探究学习

课时安排

1课时

教学用具

多媒体

教学过程：

教学过程设计

设计说明

创设问题情境

我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如个面积为50平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?

解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根.

学生

自主

探索

（1）计算:

42，（－4）2；，；（10）2，（-10）2　02

（2）如果x2=16，则x等于多少？

因为42=16所以x=4；又因为（－4）2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为（±4）2=16.

因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根.

一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）.就是说，如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.

比如100的平方根是10与－10.因为（±10）2=100,所以10与－10是100的平方根.

你能说出49，144的平方根吗？

让学生多举出几组数据，（以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论）。

教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论。

同学合作交流

1．当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系？

2．正数有平方根吗？

如果有，有几个？

它们的有什么关系？

3．0有平方根吗？

如果有，它是什么数？

4．负数有平方根吗？

学生独自思考，通过具体实例弄懂上述问题，然后总结出：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

0有一个平方根，它是0本身；

负数没有平方根。

培养学生的抽象概括能力。

学生自主探究

------

师生共同辨析

一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数。

正数a的负的平方根，用符号“－”表示。

这两个平方根合起来可以记作“±”。

这里，符号“”读作“二次根式”，±读作“二次根号a”。

根指数是2时，通常将这个2省略不写，如，记作，读作“根号a”；±记作±，读作“正、负根号a”。

求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

例１．求下列各数的平方根：

（1）8；　　

（2）；（3）0.64；　　（4）　

解：

（1）因为　，　

所以144的平方根是±19．

即　．

（2）因为　，　

所以的平方根是±．

即　．

（3）因为　，　

所以0.64的平方根是±0.8．

即　．

（4）．

此次活动中教师应重点关注：

（1）学生能否说出一个正数的平方根

（2）强调一个正数的平方根有两个

自主探究

教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并引导学生注意观察不等式的结构特点，总结规律，并统一规范写法。

四、巩固练习

1．下列各式中哪些有意义哪些？

哪些无意义？

（1）；

（2）－；（3）；（4）；（5）.

2．判断下列各题正确与错误，并将错误改正.

（1）=；

（2）|－9|没有平方根；

（3）=4；（4）=－2；

（5）=－3；（6）=；

（7）的平方根是；（8）－是的算术平方根；

（9）－（－）是的算术平方根；（10）－是的一个平方根.

3．还应下列各数的平方根及算术平方根；

（1）10,000；

（2）7.29；（3）；（4）1.

4．求下列各式的值：

（1）；

（2）－；（3）；（4）－.

此次活动中，教师应重点关注：

（1）学生能判断符号的意义

（2）学生在讨论的过程中是否敢于发表自己的想法，并说明想法的根。

引导学生加深对平方根的认识和理解．

反思与

评价

谈谈你的收获！

引导学生总结本节的主要知识点：

这一节课的主要内容是：

开方与平方逆运算；平方根的定义；平方根的性质；平方根的符号表示与读法；开平方运算。

培养学生及时反思及时归纳的学习习惯．

板书设计

平方根

一、平方根表示方法二、开平方

引例

定义例题

性质

三、练习

立方根教学设计

（一）

唐海县第二中学郭瑞梅

教学设计思想：

这节课我们讨论立方根的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法，这是本章的重点内容之一。

在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上，组织教学活动时，引导学生多举一些实例。

在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结。

让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

教学目标：

知识与技能：

1．能说出立方根的概念，会表示一个数的平方根。

2．知道开立方与立方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求一个数的立方根。

3．知道表示的是非负数a的平方根。

过程与方法：

通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同。

情感态度价值观：

发展求同存异思维

教学重难点：

重点：

立方根的概念及求法准确

难点：

立方根与平方根的区别

教学方法：

类比及引导探索法

课时安排

1课时

教学用具

多媒体

教学过程设计

设计说明

创设问题情境

1．想一想：

平方根是如何定义的？

平方根有哪些性质？

（1）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

（2）正数有个平方根，它们；

（3）0的平方根是；

（4）负数；

为使学生能更轻松地发现，掌握立方根，先激活学生记忆中有关平方根的知识，在这里设计了想一想，让学生回顾平方根的知识，以填空的形式简要归纳，为立方根的引入奠定基础。

学生

自主

探索

2．做一做：

（多媒体展求图片及问题）

要制作一种容积0.125m3的正方体形状包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

用多媒体展示图片和课件让学生动手做一做。

在做的过程中引导学生思考，利用体积等于边长的立方，将此题转化为求一个数使它的立方等于27，得出边长为3m。

这样从现实生活中提出数学问题，把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”，使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习立方根提供背景和生活素材。

同学合作交流

3．试一试：

你能试着给数的立方根下个定义吗？

（学生分组讨论，相互交流，再总结定义，最后由教师补充）

一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

即：

如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

（强调开立方与立方是逆运算）

让学生试着给出立方根和开立方的定义。

在这里让学生原有的知识和经验出发，引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，使他们更好地理解数学概念的形成，发展他们的数学能力。

培养学生的抽象概括能力。

在本次活动中，教师要关注：

学生对平方根的了解程度；学生能否正确的利用类比的方法说出立方根和开立方的概念；通过对概念的探究，能否理解立方与开立方是一种互逆的运算；学生在活动中的参与意识及发表个人见解的勇气。

学生自主探究

------

师生共同辨析

1．探究Ⅰ：

根据立方根的意义填空

（1）因为23=8，所以8的立方根是（）；

（2）因为（）3=0.125，所以0.125的立方根是（）；

（3）因为（）3=0，所以0的立方根是（）；

（4）因为（）3=-8，所以-8的立方根是（）；

（5）因为（　）３=，所以的立方根是（）；

学生在了解立方根的有关概念的基础上通过对问题的研究，进一步巩固立方根的概念，并能熟练地利用开立方与立方的互逆性，求一个数的立方根。

2．大家谈谈：

（学生分组讨论）

观察练习题中正数、0和负数的立方根各有什么特点？

并完成多媒体展示的表格

平方根

立方根

正数

有两个且互为相反数

0

0

负数

没有平方根

以填空的方式让学生计算具体的正数、0和负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过小组讨论合作交流，归纳得出立方根的性质。

这样让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究的过程中发展思维能力，有效的改变学生旧有学习方式。

3．自主探究：

如何表示一个数的立方根？

一个数a的立方根可表示为：

，读作：

三次根号a

其中a是被开方数，3是根指数。

4．议一议：

你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？

设计这个问题，可以了解学生对立方根及平方根知识的掌握程度，可以在教的过程中，对于学生不理解的，没掌握的知识点再加以强调。

学生在归纳的过程中可能结果不是很完善，教师可以引导学生从各自的定义、性质、表示方法上加以区别。

例1求下列各数的立方根

（1）-8；

（2）；（3）-0.064

解：

（1）因为

所以-8的立方根是2，

即=-2

（2）因为

所以的立方根是，

即=

（3）因为

所以的立方根是-0.4，

即=-0.4

2．猜一猜：

你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗？

教师引导学生先分析每个式子所表示的意义再填空。

通过这个活动，让学生大胆猜想，训练学生由浅入深，从特殊情形总结一般规律的能力，进一步熟悉立方根的求法，总结出负数立方根的一个重要性质：

=-

3．做一做：

例：

求下列各式的值

（1）

（2）（3）

例题采取学生自己先动手做，再由教师点评，最后师生共同小结的方式完成。

这种师生互动的形式激发了学生学习的热情，使学生主动地获取了知识和技能。

在

（2）、（3）两题中，鼓励学生采取用多种方法来做，培养他们的发散思维。

4．练一练：

求下列各式的值

（1）

（2）（3）（4）-

考虑到学习知识的过程就是一个由浅入深的过程，这又是学生第一次独立解题，故而练习的题目应以简单为宜。

练习题中的被开方数由整数到小数再到分数，由正数到负数设计的比较全面，从学生的解题过程中也能较全面地看出学生对知识的掌握程度。

在本次活动中，教师应关注：

学生能否真正理解每个根式所表达的意义；学生对立方根的了解程度；学生能否正确的说出一个负数立方根的求法。

此次活动中教师应重点关注：

通过让学生自主探究立方根的表示方法和读法，进一步训练学生利用类比的方法学习立方根，这样将新旧知识联系起来既有利于复习巩固平方根，又有利于理解和掌握立方根。

自主探究

（三）引导探究，延伸知识

1．探究Ⅱ：

例1求下列各数的立方根

（1）-8；

（2）；（3）-0.064

解：

（1）因为

所以-8的立方根是2，

即=-2

（2）因为

所以的立方根是，

即=

（3）因为

所以的立方根是-0.4，

即=-0.4

2．猜一猜：

你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗？

教师引导学生先分析每个式子所表示的意义再填空。

通过这个活动，让学生大胆猜想，训练学生由浅入深，从特殊情形总结一般规律的能力，进一步熟悉立方根的求法，总结出负数立方根的一个重要性质：

=-

3．做一做：

例：

求下列各式的值

（1）

（2）（3）

例题采取学生自己先动手做，再由教师点评，最后师生共同小结的方式完成。

这种师生互动的形式激发了学生学习的热情，使学生主动地获取了知识和技能。

在

（2）、（3）两题中，鼓励学生采取用多种方法来做，培养他们的发散思维。

4．练一练：

求下列各式的值

（1）

（2）（3）（4）-

在本次活动中，教师要关注：

学生能否根据立方根的概念填空；学生能否准确地归纳出立方根的性质；学生能否正确地用符号表示一个数的立方根；学生能否全面地说出平方根与立方根。

考虑到学习知识的过程就是一个由浅入深的过程，这又是学生第一次独立解题，故而练习的题目应以简单为宜。

练习题中的被开方数由整数到小数再到分数，由正数到负数设计的比较全面，从学生的解题过程中也能较全面地看出学生对知识的掌握程度。

反思与

评价

谈谈你的收获！

引导学生总结本节的主要知识点：

学生总结，教师补充，重点总结平方根和立方根的异同点

培养学生及时反思及时归纳的学习习惯．

板书设计

　算术平方根

唐海县第二中学郭瑞梅

教学目标：

（一）教学知识点

　　1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.

　　2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.

　　3.了解算术平方根的性质.

（二）能力训练要求

　　1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.

　　2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.

　　（三）情感与价值观要求

　　1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

　　2.训练学生动脑、动口、动手能力.

　　教学重点：

　　了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.

　　教学难点：

　　了解算术平方根的概念、性质.

教学过程设计

设计说明

创设问题情境

一、复习引入：

问：

1．625的平方根是多少？

这两个平方根的和是多少？

2．－7和7是哪个数的平方根？

3．正数m的平方根怎样表示？

4．下列各数的平方根各是什么？

（1）64；

（2）0；（3）（－0.4）2；（4）；（5）－16；（6）（－4）3.

答：

1．625的平方根是25和－25，这两个平方根的和是0.

2．－7和7是49的平方根.

3．正数m的平方根表示为.

4．

（1）64的平方根是=8.

（2）0的平方根是0.

（3）因为（－0.4）2=0.16，所以它的平方根是=0.4.

（4）因为==，所以的平方根是=.

（5）因为－16<0,所以－16没有平方根.

（6）因为（－4）3=－16<0,所以（－4）3没有平方根.

问：

已知正方形的面积等于a,那么它的一条边长等于多少？

答：

设正方形的一条边长为x，则x2=a,根据平方根的定义，x=.因为正方形的边长是正数，所以正方形边长为.

　通过回顾平方根，从而类比算术平方根，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。

学生

自主

探索

二、讲解新课

正数a有两个平方根（表示为），我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为.

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即=0.

用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义，如图所示，面积为a（a应是非负数）、边长为的正方形，边长就表示a的算术平方根.

“”是算术平方根的符号，就表示a的算术平方根.的意义有两点：

被开方数a表示非负数，即a≥0；

也表示非负数，即≥0.也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即a<0时，无意义.

如=3，8是64的算术平方根，无意义.

这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根.

例如既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根.

以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论。

教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论。

此次活动是本节课的核心活动。

同学合作交流

三、例题精选

例1求下列各数的算术平方根：

（1）36；

（2）0.01；（3）；（4）（-16）2；.

解：

（1）因为62=36，

所以36的算术平方根是6，

即.

（2）因为（0.1）2=0.01,，

所以0.01的算术平方根是0.1，

即.

（3）因为

所以的算术平方根是，

即.

（4）因为（-16）2=162,

所以（-16）2的算术平方根是16，

即.

注意：

100的平方根是10和－10，而其算术平方根是10.

培养学生的计算能力。

学生自主探究

------

师生共同辨析

例2求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

分析：

只要求的一个正数的算术平方根，那么这个数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数。

解：

（1）因为1.32=1.69，

所以=1.3.

（2）因为252=625，

所以=－25.

（3）因为，

所以.

（4）因为（-17）2=172，

所以=－17.

注意：

由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：

非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0（当a<0时，无意义）.

此次活动中教师应重点关注格式的书写。

自主探究

教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并统一规范写法。

四、随堂练习:

1．课后练习1，2

2．求下列各式的值：

（1）；

（2）－；（3）；（4）－.

引导学生加深对知识的认识和理解．

反思与

评价

谈谈你的收获！

引导学生总结本节的主要知识点：

平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系.

1．平方根和算术平方根的区别.

（1）定义不同.如果x2 =a,那么x叫做a的平方根.

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.

如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根.

一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数.

（2）表示方法不同.正数a的平方根，表示为.正数a的算术平方根为.

（3）平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1.

2．平方根和算术平方根的联系.

（1）二者有着包含关系：

平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个.

（2）存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根.

（3）零的平方根和零的算术平方根都是零.

培养学生及时反思及时归纳的学习习惯．

板书设计

算术平方根

定义例1例2

性质

实数

（一）教学设计

唐海县第二中学郭瑞梅

教学设计思想：

本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围。

从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义。

通过本节的学习，应该知道无限不循环小数叫做无理数。

有理数和无理数统称为实数。

有理数的运算律等在实数范围内仍然成立。

这部分知识在教师的引导下有学生以小组讨论的方式得出。

教学目标

知识与技能

1．说出无理数和实数的概念以及实数的分类，能正确识别无理数；

过程与方法

通过实际问题，认识到数的扩充的必要性；

情感态度价值观

1．经历对实数进行分类，发展分类意识；

3．经历从有理数逐步扩充到实数，体会人类对数的认识是不断发展的，体验数学的发展来源于生活实践，又作用于生活实际。

教学方法

启发引导、小组讨论

教具准备

纸片，支持，剪刀，计算器，多媒体，或投影仪

课时安排

1课时

教学过程设计

第一课时

重点难点

重点：

①了解无理数和实数的概念。

②实数的分类。

难点：

①对无理数认识。

教学过程

教学过程设计

设计说明

创设问题情境

一、做一做

（1）在纸上画一个Rt△ABC，使得两条直角边AC=BC=2；

（2）做斜边AB上的高CD；

（3）沿CD剪开，拼成一个正方形

做好后思考，正方形的面积是多少，边长是多少？

学生：

自己动手操作，利用面积公式与开平方法计算正方形的面积与边长

　通过学生自己动手操作使从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。

学生

自主

探索

二、大家谈谈

1．对于整数-3，-2，-1，0，1，2，3，它们的平方分别等于什么？

结果是怎么的数？

有平方后等于2的整数吗？

2．对于分数，它们的平方分别等于什么？

结果是怎样的数？

有平方后等于2的分数吗？

3．m是有理数吗？

4．借助计算器，算算=？

学生活动：

小组讨论，共同探究，回答问题

注：

1．整数的平方是整数。

没有平方后等于2的整数。

2．分数的平方是分数，没有平方后等于2的分数。

3．平方等于2的数不是有理数，从而知道不是以前熟悉的有理数。

4．通过计算器算得是一个无限不循环小数

让学生多举例（以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论）。

教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论。

同学合作交流

思考：

你还能举出我们熟悉的无限不循环小数吗？

学生回答：

……

培养学生的举一反三的能力。

学生自主探究

------

师生共同辨析

三、一起探究

1．定义：

无限不循环小数叫做无理数．

　　请同学们判断以下说法是否正确？

（1）无限小数都是无理数．

（2）无理数都是无限小数．

　　（3）带根号的数都是无理数．

　　答：

（1）错，无限不循环小数都是无理数．

（2）错，无理数是无限不循环小数．

现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．

　　2．实数的定义：

有理数和无理数统称为实数．

　　3．实数的分类：

　　对于实数，我们可按定义分类如下：

　　由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：

　　对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握．

　　4．实数的相反数：

如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依然是0．

　　由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．

　　5．实数的绝对值：

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；