分形与中医分形集.docx

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分形与中医分形集

分形与中医分形集

分形论概述及在中医经络中的应用与前景:

中医分形集

分形论的创立,就象许多其它伟大学科的创立一样,经过重多先辈长期不懈的艰苦奋斗和努力,暨量的积累之后.再经一个"站在巨人肩上"的划时代人物创造性思维的革命化运作,使该学科发生了从量变到质变的根本性的变革和飞跃科学革命的分形元.分形论的创始者:

公司的研究员暨哈佛大学的曼德勃罗特（）教授就是这样.先前他并不是"专家","权威",且似乎也并无特长的专业,是"业余的杂家".正如他自己所表白的:

这多年来所从事的许多工作（或专业）,其专业的集合的交集肯定为"零（空集）".就是这样的他职业集合的交集为空集的曼德勃罗特,经过多年孜孜不倦的努力求索,于年,成功地将困扰数学,物理学界百年之久的复杂,不规则,自然界广泛存在的,在欧氏几何和线性科学中被认为"病态"不可微的真实事体,做了科学（数理）化的阐释,使它与混沌成为本世纪,继相对论和量子力学之后最伟大的三次科学革命之一.它是年代三大新科学整体观（耗散结构,混沌,分形）的伟大发现之一.它是整体与局部,有序与无序,确定性与随机性,决定论与随机论（非决定论）,有限与无限,正常与病态,常规与反常,复杂与简单等的新的统一.它是新的世界观,认识论和方法论,是科技界的新语言,新思维,新思想,新方法,新工具.成为分形论的专家,权威,鼻祖.

科学界西式观点认为,分形论的建立和发展分三个阶段（历史）;;今.而从分形论的奠基石和本质特征:

自相似性看,可追溯到古老的宗教和中医<<黄帝内经>>等典籍.东方哲学的"阴阳集","五行集"等就是最古老,最简单的"文字"分形集.

分形论等现代复杂性科学的系统化学说,都是科学化（数理）的整体观.它们的一个共同特点就是都用数理的语言来描述.而一个学科,一门学说（中医,针灸经络等）欲成为科学,欲被世界认可,公认,其数理语言的表述是把绝对的标尺,必不可少,搞不了特殊化.中医,经络也难例外.这也是中医现代化奋斗的方向之一.

中医的整体观是准科学的整体观,是文字,非数理,玄神,经验,思辨,哲学化的学说.虽然,其内涵丰富,深广,久远,高哲预智.却经常被充当成现代新科技,及革命化的科学新学科,新思想,新思潮的考古溯源的古董,注角,注释.且总是被作为马后炮和做史者,成为事后褚葛亮,而少成现代及未来科学革命的领头羊和开拓者.悲哀致极.受所表述语言的限制,传统中医,针灸经络等至今难入国际正统科技之殿堂的根本原因,也正在于此:

缺少现代科技和数理语言的阐释欠佳的传统分形元.中医现代化的关键,就是中医理论诠释的科学化,数理化.而现代数学,物理等定量化的集合论,模糊论,分形论等为中医的定量化,数理化提供了便利条件.借鉴祖先的文化遗产,改变传统生成元,争做现代的"事前褚葛亮",为祖国医学的发扬光大,多创新,勇开拓.近来已经开始有了一些好的苗头和尝试,如整体,统一,数理的气集合,阴阳模糊变集,分形经络等,对中医三大古迷:

气,阴阳,经络等难题及其本质的认识都有了新的变革与长足进步和突破.而中医阴阳分形集等的提出,又是中医科学化,现代化,数理化等的新探索,新尝试.

分形（或碎形）理论或"分形"一词是由美国公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系曼德勃罗特（.）教授在年首次提出的.其原义是"不规则的,分数的,支离破碎的".其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的零碎而复杂的无序（不规则）,具有自相似性,自仿射性的系统.是研究无序混乱,不规则不稳定,非平衡非线性,随机的复杂现象及系统,即研究自然界中非线性过程的内在随机性所具有的特殊规律性的科学.是揭示隐藏在这些复杂现象背后的规律,及局部与整体间本质联系,精细结构,从有限认识无限的方法论.

分形论是年代科学上的三大发现（耗散结构,混沌和分形论）之一,他与混沌可以看成是继相对论和量子力学之后的本世纪物理学的第三次革命.他揭示了非线性系统中有序与无序的统一,确定性与随机性的统一.分形论已成为一门重要的新学科,已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域,正成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一.曼德勃罗特因此而获得了许多荣誉和奖励.

一.分形论的创立

（一）.科学研究大环境的变化

.从简单到复杂的转向:

"复杂与简单,简单与复杂的统一"

以前西方科学的研究方法是解析,分析,分解,简化,线性,确定性,决定性的科学,即将自然界中广泛存在的复杂现象,经简单化处理,即理想化后来发现和揭示其内在规律性（线性）的.他们研究自然实际是"从复杂到简单"的.传统西方科学认为世界"简单系统行为简单",且它们的行为是稳定的和可预言的;而"复杂行为意味着复杂的原因",眼见是不稳定,不可预言或是失控的复杂系统,必定或者由许多独立的组元统治着,或者受到外界的随机影响;"不同系统的行为也不同",象这样的科学家们,认定自己学科里的各种组元是不同的,也就想当然地认为由几十亿这样的组元构成的复杂系统必定是不同的,缺少共性.（这标题有两层意思,还有复杂中酝含着简单）.

然而,现在一切都变了.在这年间,物理学家,数学家,生物学家,天文学家和经济学家们创立了另外一套思想.简单系统产生出复杂行为,"简单性孕育复杂性".复杂系统产生出简单行为.最重要的是有关复杂性的定律具有普适性,而与构成系统的组元的细节完全无关.

在经过了几个世纪的研究探索和发展之后,科学家们逐渐感觉到了这种简化方法的不足.渐渐转向,即热衷于现代的对复杂性现象的探索.数理上的非欧几何,随机性数学,系统论,信息论,控制论,突变论,协同论,耗散结构,超循环,非线性动力学,混沌,分形理论,全息论等相继出现.无理性丰富了有理性.

对于大多数实干的科学家粒子物理学家,或者神经学家,或者甚至数学家（和中医师或杂家）,这种变化并没有马上发生作用.他们继续在自己学科的范围内研究问题.但是他们知道有某种叫做混沌的东西.他们知道有些复杂现象已经得到解释,而且知道一些别的现象忽然看来需要新的解释了.科学家们都不能再用传统的"置之不理"的办法来对待出乎意料的涨落或振荡的出现.对于某些人,这是添麻烦.另一方面,他们从实用主义的角度知道,能获得许多利益.他们中的越来越多的人认识到,混沌提供了处理老数据的新鲜途径.越来越多的人感觉到科学的划分成为工作中的障碍.越来越多的人感到与整体分割开来研究各个部分是枉费心机.对他们来说,混沌是科学中约化主义计划的终结.

不理解;反对;生气;接受.这是科学革命,科学创新及许多新生事物,出生,磨难,发展壮大的艰难历程的真实写照和普适公式.是与科学社会界积极进取相对立的偏见,落后的,阴暗,消极侧面的反映和产物.要能改变这种阻碍式的规律,将是科学革命者或科学创新者的福音.很难,起码现在还不能改变.

中医本来就是以复杂性的观点来研究复杂现象的,有自己的优势.中医现代化的任务就是将传统中医理论,中医描述的语言"翻译"成现代科学"语言",即力争用"数理的语言"来表述中医的内涵（内核）和理论.即要有从复杂到复杂,从简单到复杂,更需要返回头来从复杂到简单.理论和观念上突破后,就可以在实验上与现代技术接轨.

.从线性动力学到非线性动力学:

在经典物理中,所研究的现象多是用简化（理想化）的线性可微的数学关系表示的.但是,对多数复杂的现象如看似简单的"单摆",以及复杂的湍流,化学振荡等,用古典的线性的方法难以解决.使物理学家们渐渐地转向非线性领域,非线性动力学,混沌就应运而生.（动态迭代

.从平衡态到非平衡态:

传统科学从数学,物理学,化学到社会,经济学和生物学多是研究平衡系统的变化和现象.因为它们可以化成简单的模型.但是对于有序的自组织系统,多是远离平衡态的系统.用经典热力学的平衡态的无序是无法解释的.

.从无序（混沌）到有序:

"有序与无序的统一"

科学遗产中,至今尚未得到答案的两个基本问题之一,无序与有序的关系.经典热力学对无序的平衡态已非常成功.而对于自然界的普遍规律的时空有序常感无奈.促成人们对有序现象的热衷.（邓宇等的）"信息能量物质"的转换关系成为联系和解答无序与有序关系的桥梁.所有这些（分形,混沌）事物的有序和无序的和谐搭配而产生的形状具体到物理形式上都是动态过程,有序和无序的特定组合是动态过程的典型特征.

.从确定性向随机性转向（从决定论到混沌）:

"确定性与随机性的统一"

由确定性的数据得出确定性的结果,这是历代科学家们所追求的,决定论的理想.而偶然性,非决定论的随机性却撼动了理想化的决定论.尤其是,对于非线性动力学,确定性的输入得到的确是不确定的随机的结果,决定论出现了麻烦,需要新的知识和观念来解释.有序扮成随机的混沌是它们的根源.

.随机中隐含着规则,有序:

"有序扮成随机",偶然中蕴含着必然,随机未必代表无规,无序中孕育着有序,随机中潜含着规则.

.稳定与不稳定:

通常平衡态多是自稳定的.而非平衡态常是较难"自"稳定的,多需要外界调控,来维持这个不平衡系统的稳定.而对于远离平衡态的自组织系统,如耗散结构,生物体等都有强的自稳定性（抗干扰）.这是传统解释不了的课题.自组织系统的特点.（附注:

.时间的本质:

时间随宇宙的变化而变

上述许多问题又都与"时间的本质"密切相关.而"时间的本质"还没搞清?

时间方向性的有无,可逆与不可逆,循环与单向性?

都是难题.关于对"时间本质"认识的混沌性（糊涂性）,正表明了对"时间概念"认识的模糊性.即时间概念的关系，次序，层次，逻辑上的种属关系的错位宇宙万物的变化是上位属概念，时间是宇宙万物运动变化次序度量的下位种概念。

一般人,尤其是在人们的潜意识中,都把时间看成是同"空间"一样的"自变量?

",是"原因?

",时间是靠自身的变化而变化的?

时间有他自己的变化规律,不受宇宙其它事物变化的干扰和影响.其实不然.通常人们的潜意识里都认为"宇宙万物是随时间的变化而变化的?

","宇宙或空间的变化是时间的函数（,崐....）（）?

"....就是由于这些误念,才造成了对"时间"观念认识,描述和使用的混乱.其实,"时间的本质":

是"时间随宇宙万物的变化而变化",他是"因变量"是宇宙万物变化的"函数",（,...）,不是原因,是宇宙空间变化的"结果".这点从时间的解释（或定义）:

"时间是事件发生的顺序"上等许多方面都能感觉到,有许多证据.实际上,宇宙是由空间和事件的发生的次序（时间）组成的,而宇宙是由空间和时间构成的不是宇宙构成的本源."次序"空间才是宇宙的实体和本来面目."事件发生的次序"是时间的上位概念,时间是个隐函数或隐变量,时间只是一个下位概念,是事件及其发生次序的延续或产物.标准化后的事件发生的次序时间,到可以作为衡量宇宙变化变迁的尺子,或度量的尺度,但时间不是事物变化的本源,"变化的次序"才是时间的内在本质和本源.知道了时间是随宇宙的变化而变化的内在本质,关于时间的可逆与不可逆,循环与方向性,时间机器等许多难题就迎刃而解了.可逆与不可逆,循环与非循环本身是宇宙自身变化造成的一些多样性的现象,而时间作为这些变化的函数,也必然会有这些表现.所以,对时间多种表现的解释也就容易了.）

（二）.传统科学的困难

经典数学的研究对象之一是欧几里得几何学的规则光滑的几何构型.他们多是处处连续可导可微的.但是,还存在一些连续但不可微的函数和几何客体病态形体,使经典数学陷入危机,并被排斥在研究对象之外.这正是分形几何学诞生的土壤.

在物理学方面,对许多复杂的物理现象（无序生有序,有序变无序）,用牛顿（线性）连续动力学法则无法解释,如湍流和相变就是两大难题.有待新学科的出现,以便对此能有所解说.混沌,非线性动力学,分形应酝而生.

在化学和生物学中,高分子材料的生产,凝胶的生成,化学波,化学震荡的产生,生态种群的变化,生物活性物质的构型与功能（蛋白质）,组织形态,分布与功能（血管,气管）.用传统方法也遇到了许多不解之谜.经络的解剖结构等.

地学,地质,地震的复杂性及预测的困难.社会,经济领域的多变,混沌,都是分形产生的基础.中医,针灸经络,气功的奥秘,都仰赖分形等复杂性科学去解决.

（三）.分形论的建立

.对自然界的思考:

在慢长的岁月中,对自然界的持续思考,使曼德勃罗特对自然界和现实世界逐步形成一幅图画,开始是不清晰的未聚焦的映像,大约历经年的不懈奋斗,终于以奇异而真实的面目出现于世,这就是分形论.（开放式的,外插,形象,灵感思维）曼德勃罗特的开创性工作.

曼德勃罗特于年出生在华沙的一个犹太家庭中,父亲是成衣批发商,母亲是牙科医生年迁往巴黎.他受的教育很不正规,时断时续,他自己说从来没有学过字母表,没有学过乘以上的乘法表.他当过车床维修学徒工.然而当他回忆起个人的艰辛历程时,始终记住在学校里与老师成为朋友,其中有几位是因战争而流落的杰出学者.

巴黎解放后,由于他的天赋好,虽然缺乏准备,却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试,笔试和口试竟长达一个月,还包括绘画课.他在临摹维纳斯雕像时表现出潜在的灵巧.数学考试他成功地靠几何直觉掩盖了缺乏训练.不管给出什么解析问题,他几乎总可以用脑海中的形象加以思考.给出一个图形,他可以设法变换它,改变它的对称,使它更为和谐.他的变换往往直接导致问题的解决.在此后的学业和工作中,他沿着自己的路走去.由于学术思想上的尖锐冲突,他离开法国到美国居住年,他接受国际商用机器公司（）沃森研究中心的聘请,开始他的异国科学研究生涯.（一般人所没有的,对图形的特殊的超乎寻常的感悟能力）.

他孤独地搜寻道路.他尝试过语言学,解释词的一种分布规律,在哈佛大学教过工程学,在爱因斯坦医学院教过生理学,等等.他自己说过:

"当我听到过去从事过的一连串职业时,常常怀疑自己是否存在,这些集合的交集肯定是空的".他在公司工作的初期,主要是研究商品价格,不久碰上公司非常关心的异国实际问题.工程师们被计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题所困扰.工程师们采用加强信号来淹没噪声的方法,但某些自发噪声怎么也无法消除,而且偶尔会抹掉信号,而造成误差.他提出一种描述误差分布的方式,可以对观察到的模式做出语言.

¨¨¨在任何一群误差中,无论时间多短,总会存在几段完全无误差的传输.无论是在小时或在秒的尺度上,无误差期间与有误差期间之比总是常数.曼德勃罗特所作的描述,正是以世界数学家康托尔命名的抽象构造.康托尔集.这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的.分析表明,不应靠加强信号来淹没噪声,而应采用适当的信号为好.

然而,在曼德勃罗特正在发展的现实世界中,没有这种二分法的容身之处.他的图象不是把大小变化分开,而是把它们束在一起.他不是在特定的一个或另一个尺度上寻求模式,而是跨越每一个尺度.他毫不清楚怎样画出自己心目中的图象,但他明白这里应当存在某种对称,不是左右或上下对称,而是大小尺度之间的对称.后来曼德勃罗特转向其它感兴趣的事.但他同时有了探索尺度现象的日益增强的决心.这看来成了一种独特的品质,一种深刻的印迹.

在大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序.曼德勃罗特自问:

考虑到所考察的数字的任意性,还会有任何规律存在吗?

为什么它对于个人收入和棉价同样适用呢?

延绵弯曲的海岸线,蜿蜒起伏的山峦轮廓线,变幻漂浮的云朵,袅袅上升的炊烟,一泄千里星罗奇布的江河,粗细曲折分岔的血管¨¨¨他反复观察,持续思考,试图从中悟出大自然的真谛年,他在美国<<科学>>杂志上发表了一篇题为"英国的海岸线有多长?

"的论文.他对海岸线的本质作了独特的分析而震惊了学术界.这篇论文也成为他自己思想的转折点,分形概念就从这里萌芽生长了.

.分形论奠基用图象思考,

曼德勃罗特于年在法兰西学院讲学期间,提出分形几何学思想,认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型,指出分形几何学将成为研究许多物理现象的有力工具（模糊）.这期间他关于分形的思想逐步明朗化,但并未给出明确的名字年冬天的一个下午,曼德勃罗特正在撰写第一本专著,他注意到物理学领域正在兴起新的潮流,于是他思索着为自己多年来所酝酿的几何学起一个有别于前人定义的名字.他的儿子刚刚放学回家,曼德勃罗特随意翻阅儿子的拉丁文词典.他凝视着由动词（破坏）变来的形容词,联想到英文中的同源词（断裂）和（分数）,于是创造了（分形）,这个词即是名词,又是形容词,（有人认为又是动词）,即是英文又是法文.今天,这个词已为众多学术界人士所熟悉,并激发了巨大的兴趣.

年,他出版了奠基性的著作:

<<分形:

形,机遇与维数>>,提出了分形的三要素,即构形,机遇和维数.紧接着于年又出版了<<自然界的分形几何学>>.这两部著作的发表标志着分形论迈进了现代新兴学科之林.曼德勃罗特的持续奋斗,获得了巨大的成就,赢得了崇高的荣誉.

鉴于以前对新学科的介绍,"结果描述的多,过程叙述的少",不利后人借鉴,及对探索创新的机密,过程和方法的了解.而我们缺少的不是对结果的了解和理解,而是贫于对创新过程,方法和实质的理解与深刻感悟.所以对分形的创立过程做较多的介绍.

与混沌（费根鲍姆,普适常数）等科学发现,创新的哲学方法学比较可以看出,科学革命者的知识结构不同,思维方式不同,性格有孤独,慎独一面,心理顽强,环境宽松,内耗少,伯乐高素养老板,做垫脚石.研究重大,高难问题,自己发现和寻找问题,建立新的方法,外插,发散法.以及刊物编辑部的眼光和评判能力.这是科学探索创新开拓的方法简论及对中医经络（祖国传统（科学）学问）创新的启示与思索:

内插性创造,外插性创造,发散思维.

.分形的研究对象及分类（类别）:

分形论是以复杂事物为研究对象的,包括线性分形和非线性分形.线性分形是具有自相似性的无序,无规则性的系统,其维数的变化是连续的,又称自相似分形.其余的均为非线性分形,它是研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下几何图形的性质.如图

┌有规分形（经典分形多些）

┌线性分形（均匀线性变换群）┴无规分形（随机分形多些）

分形几何┤┌自仿射分形（非均匀线性变换群）

└非线性分形（非均匀线性变换群┤自反演分形（非线性变换群）

和非线性变换群）┕自平方分形（非线性变换群）

还有递归分形,多重分形,胖分形等等.自仿射分形比自相似性分形更重要.反映了大自然的复杂性和丰富性.

.分形认识论"共性观"与分形的意义和分维的涵义及作用:

分形是非线性变换下的不变性.通过思维之窗,分形是观察无穷的方法（外插,发散的方法）.分形认识论通常包含两方面,即一种是从整体向局部,从宏观向微观深化的认识过程（缩小的过程）;另一方面,还包括从局部向整体,从微观向宏观的认识过程（放大过程,与混沌一样）.是集古典与现代为一身的较全面的认识论方法.也就是较古典的从复杂到简单,从整体到局部的简化方法;及现代（古典中医,中国古典哲学和认识论）的系统论,控制论等,从局部向整体,从微观向宏观扩展的系统观,全局观和整体观的方法.现代分形与混沌包容了两方面的认识论过程,有双重涵义,即局部观和整体观并存,局部中蕴含着整体（特性）,整体中又潜含着局部（自相似性,自仿射性:

共性）.是双向的.与简化论和系统论又有所不同（古典的简化（省略,约减,消元）论和系统论（增元,多元方程组）都只是单向的）.是注重共性（自相似性,包括简单的共性和复杂的共性,以及简单与复杂的混合）和原样,少约简（经典简化）,少添元（系统论）的.它是传统与现代的统一或返古归真（今:

中医整体观）,使认识论更为全面,丰富,实用和有效.

分形论的出现,其作用和意义不只限于分形论专业本身,它已经超出了分形内部本身,具有广泛和深远影响.它拓宽了人们的视野,启迪了新的思维,更新了落伍的观念,激发出了新的智慧和创造性.带领和指导人们从有限认识无限,从局部（整体）认知整体（局部）.从复杂中发现简单,由简单创造复杂.从无序生成有序,从有序寻找随机等.它帮助人们洞察隐藏在混乱复杂现象背后的精细结构和特性.是一种新语言和定量方法,是新思想,新思维和新方法.是科学方法和科学观念的一场革命.

虽然,分形及分维现在能告诉给我们的东西（物理的,实际的意义）还不很多.描述的多,解释的少.定性的东西多过定量.抽象的内容多过实用.表面化的现象多过对内在本质的揭示.这是所有新学科的早期及发展进程中的必然阶段和结果,无可厚非.它的伟大功绩是不可磨灭的.

分形几何可以用来描绘自然物体的复杂性,不管其起源或构造方法如何,所有的分形都具有一个重要的特征:

可通过一个特征数,即分形维数测定其不平度,复杂性或卷积度.

分维恰好是正确的码尺.在一定意义上说,不规则的程度对于物体占有空间的有效性.一条简单的一维欧几里德线根本不占有空间.但科克曲线的轮廓,以它的无限长度挤在有限的面积之中,确实占有空间（经络也是）.它比线要多,但比平面又少.它比一维大,但仍不及二维图形.曼德勃罗特给出了精确的刻划"分数维数".直觉的起了重要作用.

分形的数学概念是描述具有或大或小的各种不同尺度结构的事物,因此它反映了图形的层次结构原理.这里存在着一个至关重要的理想化假设,即分形是自相似的.尽管这种假设可能过于简化,但在自然界的数学描述中增加了深刻的维数的概念."全能维数",就象正数与负数,有理数与无理数,实数与复数,整数与分数等.自然的数学.

分形,混沌是一种思想,它使这些科学家们信服,大家都是同一个合资企业的成员.许多学科的科学家们,他们相信简单的决定论的系统可以滋生复杂性;相信对传统数学来说过于复杂的系统仍然可能遵从简单规律;不论他们所从事的特殊领域如何,相信大家的任务都是去了解复杂性本身.而"复杂性"这概念很难定义.它的定义是它所提出的问题的总体（罗列式的定义）.复杂过程的本质特征之一是能够实现不同动态之间的转变,有演化或进化.

分形,混沌是数学,是物理......,是科学.科学的严格数学化所取得的巨大成功,特别让物理学家相信,实验中所观测到的事实是完完全全地符合数学规则的,物理现象中遵循着数学的定律,这是人类做出的最惊人的和最美好的发现之一.但是,数学不是由实验可推断出来的科学,它是人类智慧的结晶,正象雅典娜是从宙斯的头脑中产生出来的一样.

数学知识是明确的,也就是说它真实的内容是能表达的,但这是一种先验性的知识.当一个物理学家利用这种知识,根据某地的一些测量和一种适当的理论来对完全不同的时间和空间的自然现象来作预测,而且这种预测被证明是真的,这就近乎于奇迹了.物理学家仅满意地证明这理论的正确性.但是,客观世界为什么会使它自己完全遵循一种理论,一种数学结构呢?

基本思想是这样的:

并不是我们的感觉和感性活动迫使自然套上数学的紧身衣,在我们的进化发展过程中,自然本身把数学作为一种客观的存在结构加到我们的理性之中.人类关于抽象和处理逻辑符号能力的进化必定同现实世界中实际存在的结构有关.数学用于描述自然范围之广是一种奇迹.科学还没有达到可清楚地辨别数学方法应用的极限.这种广度是惊人的,因为我们的数学能力是我们祖先通过处理日常世界中比较粗糙的结构和事物的经验中而取得的.

这决不是说能很明显地把我们的几何和逻辑能力推广到日常世界的范围之外.但它们确实可以推广,这一点说明现实本身在很大程度上是相当（数学）结构化的.虽然可由越来越深刻的结构和定理推断出（描述现实的）这些结构性原理,但有一点是不确实的:

现实世界,从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节,是完全可由数学结构来描述的.换言之,对自然的数学描述恐怕是有限度的.

.分形研究动向与发展前景:

（）.分形数学理论及体系的创建与完善,憖特别是多重分形理论的研究.

.如何判断一个对象是分形或多重分形（寻找完整而精确的分形定