公开课教案《实数》复习文档格式.docx
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●知识要点
1、平方根
1.1平方根概念
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(二次方根).
用数学语言表达即为:
若x2=a,则x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方的运算.
1.2平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根.
1.3算术平方根
0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即
1.4平方根与算术平方根的区别及联系
区别:
(1)定义不同:
“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;
“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.
(2)个数不同:
一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示方法不同:
正数a的平方根表示为±
,正数a的算术平方根表示为
.
(4)取值范围不同:
正数的算术平方根一定是正数;
正数的平方根则一正一负,两数互为相反数.
联系:
(1)具有包含关系:
平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的一种.
(2)存在条件相同:
平方根和算术平方根都只有非负数才有.
(3)0的平方根、算术平方根均为0.
2.立方根
2.1 立方根的概念:
如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.(也称数a的三次方根)
用数学式表示为:
若x3=a,则x叫做a的立方根,或称x叫做a的三次方根.
2.2 求一个数的立方根的运算,叫做开立方.开立方运算与立方运算互为逆运算.
2.3 立方根的表示方法:
类似于平方根德表示方法,数a的立方根我们用符号
来表示.读作“三次根号下a”,其中a叫做被开方数,3叫做根指数.
2.4 4立方根的性质:
正数的两方法供是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.
3、实数的运算
3.1实数加、减法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
(4)减去一个数,等于加上这个数的相反数.
3.2实数乘法法则
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
(2)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正.
(3)几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
3.3实数除法法则
(1)除以一个数等于乘上这个数的倒数.
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
(3)除数不能等于0.
3.4实数的乘方法则
(1)实数的乘方运算是利用实数的乘法运算进行的.
(2)正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
3.5实数的混合运算
实数的运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的.
4、实数的运算性质
加法的交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变.即:
.
加法的结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变.即:
乘法的交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即:
乘法的结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即:
乘法对加法的分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:
5、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.一般规定从原点方向向右为正方向.
有了数轴,数和形得到了初步结合,这有利于对数学问题的研究,数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法,本课知识要点如下表:
定义
三要素
应用
数形结合
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴
原点
正方向
单位长度
帮助理解有理数的概念,每个有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点并非都是有理数
比较有理数大小,数轴上右边的数总比左边的数要大
在理解并掌握数轴概念的基础之上,要会画出数轴,能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数,要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示,会利用数轴比较有理数的大小.
●中考考点例析
近年中考考查实数内容的题型较多,多以填空和选择题的形式出现,还有判断、比较大小、求绝对值等题型也比较常见.重点考查:
①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况.
②实数大小的比较、简单的实数运算等内容.
③把一个数科学记数,正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系.
④利用数轴,靠直观判断给出实数的特点,进行根式的化简与计算.
考点1 实数的混合运算
典例1 (2006广东省)计算:
【解析】 原式=-1+4×
1-2=1.
【中考指导】
该题是实数的混合运算,包括绝对值,0指数幂、负整数指数幂,正整数指数幂.只要准确把握各自的意义,就能正确的进行运算,其结果为1.本题易错点:
忘记负整数指数(0指数)幂的意义,而使(
)–2=-
,(
)0=0.
考点2 无理数的意义
典例2 (2006云南昆明)下列计算正确的是 ( )
A、(–2)3×
(–3)2=65 B、x6÷
x2=x3
C、(3–π)0+2–1=
D、
=
-
【解析】本题的答案C.
【中考指导】该题是运算法则的考查,可用排除法.A:
因为底数不同,指数不能相加;
B:
指数不应相除而是应该相减,C:
(3–π)0=1,2–1=
,所以1+
是正确的;
D:
左边是一正数,而右边是负数,所以不相等;
故选C.
此类问题有一定的普遍性,在解答时,必须准确把握各种运算法则.
典例3 (2006北京西城区)在3,2.3,
,π四个数中,无理数的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【解析】答案B,即
、π是无理数.
【中考指导】这类考题只要弄明白无理数的意义及类型就能准确选出答案.
无理数有很多,开方开不尽的数是其中的一种,也是我们计算中经常接触到的.要进一步理解无理数的概念,弄清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数.
考点3 绝对值化简
典例4 已知三个数a、b、c满足|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简|b|-|c-b|-|a+b|+|a-c|.
【解析】由|a|+a=0,得|a|=-a,所以a≤0由|ab|=ab,得ab≥0,所以b≤0由|c|-c=0,得|c|=c,所以c≥0.所以c-b≥0,a+b≤0,a-c≤0.
故原式=-b-(c-b)-〔-(a+b)〕-(a-c)=-b-c+b+a+b-a+c=b.
(1)正数及负数的绝对值都是正数,零的绝对值还是零,即任何一个数的绝对值都是非负数,也就是,若a为实数,则|a|≥0;
(2)任何两个互为相反数的绝对值总相等,即,若a为实数,则|a|=|-a|;
(3)任何一个实数都不大于它的绝对值,即,若a为实数,则a≤|a|.
考点4 科学计数法
典例5 (2006湖北省潜江市、仙桃市、江汉油田)我国对农村义务教育阶段贫困家庭的学生实行“两免一补”政策,2005年至2007年三年内国家财政将安排约227亿元资金用于“两免一补”,这项资金用科学记数法表示为 ( )
A、2.27
元 B、227
元 C、22.7
元 D、2.27
元
【解析】 227亿元=22700000000元=2.27
元.
【中考指导】科学记数法这一“名不金传”的概念型“小题”,赋以时代背景,在考查知识点的同时,进行爱国主义教育,已成为近年来中考命题的一大靓点.
所谓科学记数法就是把一个数表示成a×
10n的形式,其中1≤a<10,n是整数.
当一个数的绝对值大于1时,n是整数位数减1;
当一个数的绝对值小于1时,n就是左边第一个非零的数字前面0的个数,包括小数点左边的0.
考点5 平方根、立方根的概念
典例6(2006天津市) 下列说法和式子正确的是 ( )
A.
的平方根是
B.1的立方根是
C.
D.
【解析】在选项中A,
,9的平方根是
,选项B中,1的立方根只有1个是1;
选项C中,
指的是1的算术平方根,
,选项D中,
,所以应选A.
【中考指导】这道题考了平方根和立方根的概念,平方根中,正数有两个平方根,它们互为相反数,正数只有一个正的立方根;
在平方根中负数是没有平方根的,而负数有一个负的立方根;
平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根,立方根都是它本身.理解并掌握平方根和算术平方根、立方根这些概念的联系和区别,是解决这类考的关键.
考点6 利用实数探究规律
典例7 (2005年广东非课改实验区)设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去·
·
(1)记正方形ABCD的边长为
=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为
,
,·
,求出
的值.
(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长
的表达式.
【解析】
(1)根据勾股定理,求出第一个正方形对角线的长,
它的一半即为的二个正方形边长;
以此类推.
(2)在
(1)的基础上猜想出更一般的情形.
【中考导向】猜想规律型的问题难度相对较小,经常以填空等形式出现,解题时要善于从所提供的数字或图形信息中,寻找其共同之处,这个存在于个例中的共性,就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式,体现了总结归纳的数学思想,这也正是人类认识新生事物的一般过程.
相对而言,猜想结论型问题的难度较大些,具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合,解题的方法也更为灵活多样:
计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等,都能用到.
由于猜想本身就是一种重要的数学方法,也是人们探索发现新知的重要手段,非常有利于培养创造性思维能力,所以备受命题专家的青睐,逐步成为中考的又一热点.
典例8 给出下列算式:
32-12=8=8×
1,
52-32=16=8×
2,
72-52=24=8×
3,
92-72=32=8×
4,
……观察上面一系列等式,你能发现什么规律?
用代数式来表示这个规律.
【解析】观察等式,不难发现其规律:
两个相邻的奇数的平方差是8的倍数.由此,设n为自然数,则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1,用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×
4n=8n.
【中考预测】本题以实数为载体,体现了用字母表示数的简明性和普遍性,蕴含着一种数学简洁的美.同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力,渗透从特殊到一般的辩证关系.该题是通过观察给出的运算,找到反应其规律的表达式.这是中考中的一热点问题,此类问题不仅考查学生对知识的掌握,同时考查学生观察分析的能力.猜想性问题是近年来中考的一个热点题型,它具有一定的开放性、探索性,其知识性强,思维能力要求较高.它仍将是新课标命题的方向.