多元函数微分学与其应用归纳总结.docx

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多元函数微分学与其应用归纳总结

第八章多元函数微分法及其应用

一、多元函数的基本概念

1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限

✧（或）的定义

✧掌握判定多元函数极限不存在的方法：

（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用定义证明

例2（03年期末考试三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？

证明你的结论。

例3设，讨论是否存在？

例4（07年期末考试一、2，3分）设，讨论是否存在？

例5．求

3、多元函数的连续性

✧一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

✧在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

例1．讨论函数在（0，0）处的连续性。

例2．（06年期末考试十一，4分）试证在点（0,0）不连续，但存在一阶偏导数。

例3．求例4．

4、了解闭区域上商连续函数的性质：

有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数

1、二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）

如果极限存在，则有

（相当于把y看成常数！

所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

）

如果极限存在，则有

对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试一、3，4分）已知，则

例2（06年期末考试十一，4分）试证在点（0,0）不连续，但存在一阶偏导数。

例3设，求。

例4设，求。

例5（03年期末考试，一、2，3分）设，则在（1,2）的值为（）。

2、二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）

定理：

若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。

例1．设，其中为常数，求：

。

例2．设，求。

3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）

4、偏导数的几何意义：

表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。

三、全微分

1、在点可微分的判定方法

若，则可判定在点可微分。

其中

例1．（08年期末考试十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。

例2（07年期末考试七、6分），证明：

（1）函数在（0，0）处偏导数存在；

（2）函数在（0，0）处不可微。

2、全微分的计算方法

若在可微，则有

其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。

例1（08年期末考试，一，1，4分）设，则

例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。

例3（06年期末考试，二、2，3分）设，则

例4（03年期末考试，二、2，3分）函数在点（1,0,1）处的全微分为

例5．设，，，求函数：

对变量的全微分。

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）

✧一阶偏导数在连续在可微在连续在有极限

✧在可微在的一阶偏导数存在

✧在可微在的方向导数存在

四、多元复合函数求导法则

1、链式求导法则：

变量树状图法则

（1）

（2）

（3）

例1．（08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。

例2．（08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。

例3．（07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。

例4．（06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（）。

例5．（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。

例6．（03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。

例7记，具有连续二阶偏导数，求，。

例8设，而，，求和。

例9设，而，，则。

例10．设，又具有连续的二阶偏导数，求。

2．一阶全微分形式不变性：

设，则不管是自变量还是中间变量，都有

✧通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。

✧当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。

例1．设其中都可微，求。

五、隐函数的求导法则

1、，求

方法1（直接代公式）：

，其中：

，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。

方法2：

直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：

2．，求

方法1（直接代公式）：

方法2：

直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：

，

3．

建议采用直接推导法：

即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。

同理可求得。

例1．设，其中是由确定的隐函数，求。

例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。

例3．（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明

六、多元函数微分学的几何应用

1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线

切线向量

切线向量

切线向量

3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数

法线向量

法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：

例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点（a,0,0）的切线方程

例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。

例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面在点（1,2,0）处的法线方程。

例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点（0,a,-a）处的切平面方程。

例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。

例7.在曲线，，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。

例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。

例9由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，

七、方向导数与梯度

1、方向导数的概念和计算公式

在沿方向的方向导数为：

1设为上一点，则

②设的方向余弦为：

，则

可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系

2、梯度的概念和计算公式

在沿什么方向的方向导数最大？

沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模

例1．求函数在点沿曲线在点处的切线方向的方向导数。

例2．求函数在点（2，1）沿方向的方向导数

例3．设函数，

（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；

（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？

例4（08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。

例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。

例6（06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。

八、多元函数的极值及其求法

1、掌握极值的必要条件、充分条件

2、掌握求极值的一般步骤

3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法

例1．求函数的极值。

例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？

例3．求旋转抛物面与平面之间的最短距离。

例4（08年期末考试，六、7分）求在约束下的最大值和最小值。

例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？

例7（03年期末考试，八、10分）求曲线上距原点最近和最远的点。