最新解析大题不用韦达定理.docx

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最新解析大题不用韦达定理

解析几何中不用韦达定理试题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；

（Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，.求证：

∠为定值.

2、【2015年延庆一模】已知椭圆的离心率为，其短轴的两端点分别为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

3、【2015年西城二模】设分别为椭圆E：

的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，

点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．

⑴若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；

⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若以PQ为

直径的圆经过点F1，证明：

4、【东城一模理19】（本小题共13分）

已知椭圆：

的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：

以为直径的圆与直线相切于点．

5、【东城区一模19】（（本小题共13分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：

恒为定值.

二、直线不与圆锥曲线相交问题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；

（Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，.求证：

∠为定值.

解：

（Ⅰ）依题意得解得：

，.………………3分

所以圆的方程为，椭圆的方程为.………………5分

（Ⅱ）解法一：

如图所示，设（），，则

即

………………7分

又由得.

由得.

………………10分

所以,

.

所以.

所以，即.………………14分

（Ⅱ）解法二：

如图所示，设，（）.

由得.

所以，即.

所以，即.

所以直线的斜率为.

所以.

令得:

，.………………10分

设，则，.

所以.

因为，

所以.

所以，即.………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆的离心率为，其短轴的两端点分别为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

（Ⅰ），，，

∴，∴，…………3分

∴椭圆方程为…………5分

（Ⅱ）设，则，

，,

……………………7分

令，则……………………8分

设的中点为,则的坐标为，即：

，

半径为，

∴圆的方程为，………10分

∵，∴化为

令，则，代入得：

，…………11分

令，则，代入得：

，……12分

由得：

，代入得：

左=右………………13分

∴圆恒过定点………………14分

3、【2015年西城二模】设分别为椭圆E：

的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，

点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．

⑴若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；

⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若以PQ为

直径的圆经过点F1，证明：

4、【东城一模理19】（本小题共13分）

已知椭圆：

的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：

以为直径的圆与直线相切于点．

（Ⅰ）解：

由已知…………2分

解得，．…………4分

故所求椭圆方程为．…………5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，，．

设，则．

于是直线方程为，令，得；

所以，同理．…………7分

所以，.

所以

．

所以，点在以为直径的圆上．…………9分

设的中点为，则．…………10分

又，

所以

．

所以．…………12分

因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，

故以为直径的圆与直线相切于右焦点．…………13分

5、【东城区一模19】（（本小题共13分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：

恒为定值.

（Ⅰ）解：

由题意可知，，，

解得.…………4分

所以椭圆的方程为.…………5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，

于是直线的方程为，令，则.

即.…………7分

又直线的方程为，令，则，

即.…………9分

所以，………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以为定值.……13分

解析几何中不用韦达定理试题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；

（Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，.求证：

∠为定值.

解：

（Ⅰ）依题意得解得：

，.………………3分

所以圆的方程为，椭圆的方程为.………………5分

（Ⅱ）解法一：

如图所示，设（），，则

即

………………7分

又由得.

由得.

………………10分

所以,

.

所以.

所以，即.………………14分

（Ⅱ）解法二：

如图所示，设，（）.

由得.

所以，即.

所以，即.

所以直线的斜率为.

所以.

令得:

，.………………10分

设，则，.

所以.

因为，

所以.

所以，即.………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆的离心率为，其短轴的两端点分别为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

（Ⅰ），，，

∴，∴，…………3分

∴椭圆方程为…………5分

（Ⅱ）设，则，

，,

……………………7分

令，则……………………8分

设的中点为,则的坐标为，即：

，

半径为，

∴圆的方程为，………10分

∵，∴化为

令，则，代入得：

，…………11分

令，则，代入得：

，……12分

由得：

，代入得：

左=右………………13分

∴圆恒过定点………………14分

3、【2015年西城二模】设分别为椭圆E：

的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，

点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．

⑴若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；

⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若以PQ为

直径的圆经过点F1，证明：

4、【东城一模理19】（本小题共13分）

已知椭圆：

的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：

以为直径的圆与直线相切于点．

（Ⅰ）解：

由已知…………2分

解得，．…………4分

故所求椭圆方程为．…………5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，，．

设，则．

于是直线方程为，令，得；

所以，同理．…………7分

所以，.

所以

．

所以，点在以为直径的圆上．…………9分

设的中点为，则．…………10分

又，

所以

．

所以．…………12分

因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，

故以为直径的圆与直线相切于右焦点．…………13分

5、【东城区一模19】（（本小题共13分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：

恒为定值.

（Ⅰ）解：

由题意可知，，，

解得.…………4分

所以椭圆的方程为.…………5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，

于是直线的方程为，令，则.

即.…………7分

又直线的方程为，令，则，

即.…………9分

所以，………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以为定值.……13分

二、直线不与圆锥曲线相交问题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；

（Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，.求证：

∠为定值.

解：

（Ⅰ）依题意得解得：

，.………………3分

所以圆的方程为，椭圆的方程为.………………5分

（Ⅱ）解法一：

如图所示，设（），，则

即

………………7分

又由得.

由得.

………………10分

所以,

.

所以.

所以，即.………………14分

（Ⅱ）解法二：

如图所示，设，（）.

由得.

所以，即.

所以，即.

所以直线的斜率为.

所以.

令得:

，.………………10分

设，则，.

所以.

因为，

所以.

所以，即.………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆的离心率为，其短轴的两端点分别为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

（Ⅰ），，，

∴，∴，…………3分

∴椭圆方程为…………5分

（Ⅱ）设，则，

，,

……………………7分

令，则……………………8分

设的中点为,则的坐标为，即：

，

半径为，

∴圆的方程为，………10分

∵，∴化为

令，则，代入得：

，…………11分

令，则，代入得：

，……12分

由得：

，代入得：

左=右………………13分

∴圆恒过定点………………14分

3、【2015年西城二模】设分别为椭圆E：

的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，

点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．

⑴若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；

⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若以PQ为

直径的圆经过点F1，证明：

4、【东城一模理19】（本小题共13分）

已知椭圆：

的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：

以为直径的圆与直线相切于点．

（Ⅰ）解：

由已知…………2分

解得，．…………4分

故所求椭圆方程为．…………5分

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，，．

设，则．

于是直线方程为，令，得；

所以，同理．…………7分

所以，.

所以

．

所以，点在以为直径的圆上．