北师版小升初总复习数学归类讲解及训练中含答案Word文件下载.docx
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3.14×
（9.42÷
3.14÷
2）²
×
2×
545=7700.85≈7701（千克）
这个粮囤约装稻谷7701千克。
虽然求容积的方法和求体积的方法相同，但并不意味着体积就是容积。
体积的数据是从外面量的，而容积的数据要从里面量。
所以一个物体的体积都比其容积要大。
例3、（计算和圆柱的体积相关的实际问题）
有一个高为6.28分米的圆柱形机件，它的侧面展开正好是一个正方形，求这个机件的体积？
圆柱侧面展开是个正方形，说明圆柱的底面周长和高相等。
先通过底面周长求出底面积，再求体积。
（6.28÷
6.28=19.7192（立方分米）
这个机件的体积是19.7192立方分米。
圆柱侧面展开之后得到一个长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。
在这儿展开之后是个正方形，就说明这个圆柱的底面周长和高相等。
例4、（综合题）一种抽水机出水管的直径是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分钟能抽水多少立方米？
每秒流出来的水的形状，可以看成是一个底面直径1分米，高2米的圆柱，这个圆柱的体积就是1秒种流出的水的体积，再乘60得出1分钟抽水的体积。
1分米=0.1米
（0.1÷
2=0.0157（立方米）
0.0157×
60=0.942（立方米）
1分钟能抽水0.942立方米。
例5、（综合题）把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加31.4平方厘米。
这根钢材的体积是多少立方厘米？
长4米是圆柱的高，要求圆柱的体积还要知道底面积。
把圆柱截成两段，增加了两个底面的面积，即增加31.4平方厘米，可以求出圆柱的底面积。
4米=400厘米
31.4÷
2=15.7（平方厘米）
15.7×
400=6280（立方厘米）
这根钢材的体积是6280立方厘米。
例6、（计算圆锥的体积）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是4厘米，求它的体积。
已知圆锥的底面半径、直径、周长时，都要先求出底面积，然后根据V=
来计算圆锥的体积。
在计算时，千万不要忘记“除以3”或“乘
”。
6²
4=150.72（立方厘米）
圆锥的体积是150.72立方厘米。
求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。
如果不除以3，求的就是和这个圆锥等底等高的圆柱的体积，而不是圆锥的体积。
计算时，可以先算
4，最后再乘3.14，可以使计算简便，提高正确率。
例7、（解决和圆锥体积计算相关的实际问题）
一个圆锥形沙堆高1.5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨，这堆沙约重多少吨？
要求沙堆的质量，先要求沙堆的体积。
沙堆是圆锥形，已知它的高和底面周长，根据圆锥体积的计算公式，先求圆锥的底面积。
18.84÷
2=3（米）
3²
1.5=14.13（立方米）
沙堆的质量：
14.13×
1.7=24.021（吨）
这堆沙约重24.021吨。
例8、判断：
（1）圆锥的体积是圆柱体积的
。
…………（）
（2）如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的
，那么它们等底等高。
…（）
（1）一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的
，这一结论是将它的体积和它等底等高的圆柱进行比较得到的。
（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
；
但圆锥的体积是圆柱体积的
，并不意味着它们等底等高。
例9、（综合题）一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是75.36立方厘米，高是多少厘米？
要求圆锥的高，根据圆锥体积计算的公式，可以先用体积乘3，求出和它等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，即高=体积×
3÷
底面积，注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。
也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。
方法1：
底面积：
=28.26（平方厘米）
高：
75.36×
28.26=8（厘米）
方法2：
设高是ⅹ厘米。
ⅹ=75.36
9.42ⅹ=75.36……先算左边的
3.14×
ⅹ=8
高是8厘米。
通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3，求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，求出高；
也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。
例10、（综合题）把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方厘米？
削去的部分是多少立方厘米？
将正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。
正方体的体积：
12×
12×
12=1728（立方厘米）
圆锥的体积：
（12÷
12=452.16（立方厘米）
削去部分的体积：
1728–452.16=1275.84（立方厘米）
圆锥的体积是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。
模拟试题
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米
（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。
（3）底面直径是8米，高是10米。
（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。
2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。
第一个圆柱的体积是24立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？
4、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次？
5、一根圆柱形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。
如果每立方厘米钢重7.8克，截下的这段钢材重多少千克？
（得数保留整千克数。
）
6、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。
这个圆柱体积减少多少立方厘米？
二、圆锥体积
1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（ ）
①
a立方米②3a立方米③9立方米
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（ ）立方米
①6立方米②3立方米③2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………（ ）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 ：
1………（ ）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ ）
3、填空
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。
圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。
（2）底面直径6分米，高8厘米。
（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。
5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨？
6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
7、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
参考答案：
（1）底面积0.6平方米，高0.5米0.6×
0.5=0.3（立方米）
5=141.3（立方厘米）
（8÷
10=502.4（立方米）
（25.12÷
2=100.48（立方分米）
底面积相等的两个圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7，第一个圆柱的体积也就是是第二个圆柱的4/7。
24÷
4/7–24=18（立方厘米）
第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多18立方厘米。
（0.8÷
60=60.288（立方米）
那么1分钟流过的水有60.288立方米。
牙膏体积：
1厘米=10毫米
（5÷
10×
36=7065（立方毫米）
7065÷
[3.14×
（6÷
10]=25（次）
这样，这一支牙膏只能用25次。
1.5米=150厘米
（4÷
150×
7.8=14695.2（克）=14.6952（千克）≈15（千克）
截下的这段钢材重15千克。
6、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
6=169.56（立方分米）
这个圆柱的体积是169.56立方分米。
底面周长：
94.2÷
3=31.4厘米
（31.4÷
3=235.5（立方厘米）
这个圆柱体积减少235.5立方厘米。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（ ② ）
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（ ③ ）立方米
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………（ ×
）
1………（ √）
………（ ×
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（6）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（54）立方厘米。
圆柱的体积是（108）立方厘米，圆锥的体积是（36）立方厘米。
4²
6=100.48（立方厘米）
（60÷
8=7536（立方厘米）
12=314（立方厘米）
2²
1.5×
1.8=11.304（吨）
这堆沙约重11.304吨。
（12.56÷
1.2×
750=3768（千克）
这堆小麦重3768千克。
5×
4×
3=60（立方厘米）
60×
6=30（平方厘米）
这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米
小学数学总复习专题讲解及训练（六）
比例的意义和基本性质
1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”；
理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项，叫做解比例。
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
AB
C
（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；
长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。
这两个长方形的长有什么关系？
宽呢？
（2）如果要把长方形A按1:
2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？
各是多少？
（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。
或者说长方形B和长方形A长的比是2:
1，宽的比也是2:
1。
把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:
1，就是把长方形A的长和宽按2:
1的比进行放大。
（2）把长方形A按1:
2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的
，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。
例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:
2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:
2的比画出长方形A缩小后的图形C。
（1）图B的长、宽各是几格？
（2）图C呢？
（3）观察这三幅图形，你有什么发现？
A
B
（1）按3:
2的比将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B的长为6×
1.5=9格，宽为4×
1.5=6格。
（2）按1:
2的比将长方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的
，那么图C的长为6÷
2=3格，宽为4÷
2=2格。
（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。
按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。
例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？
比较写出的两个比，你有什么发现？
3厘米
6厘米
4厘米
8厘米
（1）图A中长与宽的比是4:
3；
图B中长与宽的原始比是8:
6，而8:
6化简后就是4:
3。
（2）这两个比化简后都是4:
3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。
即
4:
3=8:
6或
=
，都读作：
4比3等于8比6。
例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（1）
5
：
6
和15
18
（2）
0.2
0.1
和
3
1
（3）
1.2
0.8
（4）
2
和
：
分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。
因为5
=
，15
18=
，所以5
=15
18。
（2）
因为0.2
=2，
1=3，所以
1不能组成比例。
因为
，
，所以
=1.2
0.8。
（4）
=3，
=3，所以6
判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。
这样解题的依据是比例的意义。
例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。
你能根据数量间的关系写出比例吗？
（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。
3.6
=4.8
4
（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。
4.8
=3
（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。
3
3.6
=4
4.8
介绍“项”：
组成比例的四个数，叫做比例的项。
例如：
=
内项
外项
观察题中的三个比例，你有什么发现？
43.6
43
（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（2）3.6×
4=3×
4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（3）如果把3.6
4改写成分数形式
，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。
（4）如果用字母表示比例的四个项，即a:
b=c:
d，
那么这个规律可表示成=或=。
（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
例6、（比例基本性质的应用）根据2×
7=1.4×
10这个等式写出几个比例。
根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。
1.4:
2=7:
101.4:
7=2:
10
10:
1.410:
1.4
2:
1.4=10:
72:
10=1.4:
7
7:
27:
2
像这样的比例一共可以写8个。
但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。
写的时候可以一组一组地写了。
例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？
5厘米
按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。
两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5:
5=宽:
4或12.5:
宽=5:
4
例8、（解比例）上图中
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