计算机算法设计与分析课程设计Word格式文档下载.docx
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任务:
按照算法设计方法和原理,设计算法,编写程序并分析结果,完成如下内容:
1.运用分治算法求解排序问题。
2.运用回溯算法求解N后问题。
工作计划与进度安排:
第12周:
查阅资料。
掌握算法设计思想,进行算法设计。
第13周:
算法实现,调试程序并进行结果分析。
撰写课程设计报告,验收与答辩。
指导教师:
201年月日
专业负责人:
201年月日
学院教学副院长:
摘要
算法分析是对一个算法需要多少计算时间和存储空间作定量的分析。
算法(Algorithm)是解题的步骤,可以把算法定义成解一确定类问题的任意一种特殊的方法。
在计算机科学中,算法要用计算机算法语言描述,算法代表用计算机解一类问题的精确、有效的方法。
分治法字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。
在一个2^k*2^k的棋盘上,恰有一个放歌与其他方格不同,且称该棋盘为特殊棋盘。
回溯法的基本做法是深度优先搜索,是一种组织得井井有条的、能避免不必要重复搜索的穷举式搜索算法。
数字拆分问题是指将一个整数划分为多个整数之和的问题。
利用回溯法可以很好地解决数字拆分问题。
将数字拆分然后回溯,从未解决问题。
关键词:
分治法,回溯法,棋盘覆盖,数字拆分
1分治法解决期盼覆问题
1.1问题描述
在一个2k×
2k(k≥0)个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为特殊方格。
显然,特殊方格在棋盘中出现的位置有4k中情形,因而有4k中不同的棋盘,图(a)所示是k=2时16种棋盘中的一个。
棋盘覆盖问题要求用图(b)所示的4中不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且热河亮哥L型骨牌不得重复覆盖
1.2问题分析
用分治策略,可以设计解决棋盘问题的一个简介算法。
当k>
0时,可以将2^k
*2^k棋盘分割为4个2^k-1
*
2^k-1子棋盘。
由棋盘覆盖问题得知,特殊方格必位于4个较小的子棋盘中,其余3个子棋盘中无特殊方格。
为了将3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘可以将一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处,所以,这3个子棋盘上被L型覆盖的方格就成为给棋盘上的特殊方格,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归的使用这种分割,直至棋盘简化为1*1棋盘为止。
。
1.3算法设计
将2^kx2^k的棋盘,先分成相等的四块子棋盘,其中特殊方格位于四个中的一个,构造剩下没特殊方格三个子棋盘,将他们中的也假一个方格设为特殊方格。
如果是:
左上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格
当然上面四种,只可能且必定只有三个成立,那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架,我们可以给它们作上相同的标记。
这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似,我们就可以用递归算法解决。
1.4算法实现
#include<
iostream.h>
inttile=1;
intboard[100][100];
voidchessBoard(inttr,inttc,intdr,intdc,intsize)
{
if(size==1)
return;
intt=tile++;
ints=size/2;
if(dr<
tr+s&
&
dc<
tc+s)
chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{
board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
}
dc>
=tc+s)
chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
board[tr+s-1][tc+s]=t;
chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
if(dr>
=tr+s&
chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
board[tr+s][tc+s-1]=t;
chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
board[tr+s][tc+s]=t;
chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
}
intmain()
intsize;
cout<
<
"
输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂):
"
;
cin>
>
size;
intindex_x,index_y;
输入特殊方格位置的坐标:
index_x>
index_y;
chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);
for(inti=0;
i<
i++)
for(intj=0;
j<
j++)
cout<
board[i][j]<
\t"
cout<
endl;
}
1.5结果分析
1.6算法分析
设T(n)是算法ChessBoard覆盖一个2^k
2^k棋盘所需要的时间,则从算法
的分治策略可知,T(k)满足如下递归方程T(k)
=
{
O
(1)
k=0
4T(k-1)+O
(1)
k>
解得此递归方程可得T(k)
O(4^k)。
由于覆盖一个2^k
*2^k棋盘所需的L型
牌个数为(4^k
—
1)/3,故算法ChessBoard是一个在渐进意义下最优的算法.
2回溯法解决数字拆分问题
2.1问题描述
整数的分划问题。
如,对于正整数n=6,可以分划为:
6
5+1
4+2,
4+1+1
3+3,
3+2+1,
3+1+1+1
2+2+2,
2+2+1+1,
2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1
用户从键盘输入
n
(范围1~10)
2.2问题分析
很明显这是一道关于数的组合的问题,但形成组合的数是有一定的限制的。
仔细分析一下题目,我们可以得到以下的结论:
(1)每一组数之和必须等于n;
(2)每一组数的个数是不固定的;
(3)等式中后一个数的大小必定大于或等于前一个数,因为这样做的目的有两个:
一是能够避免等式的重复,例如
n=2
2=1+1
n=3
3=1+2
3=1+1+1
3=2+1
(
可以看出为与
1+2
是同一种拆分,因此该式子不能算
)
另一个目的是可以减少不必要的搜索,提高程序效率。
我们可以将待拆分的数对应路径图中的路口,将可拆分的数对应分叉的编号,这样对于
每个路口而言,它所拥有的分叉号是变化的,规律是:
分叉的起始值取决于前一次所取数,
分叉的终止值取决于该路口数的中值。
2.3算法设计
在进行算法设计时我们必须要注意两点:
一是本问题需要解决如何记录某一路径中可取数的问题,为了解决这一问题,本程序加入了一个新的数组b,用来记录每一步所取的数。
二是当某一条路走完以后,我们必须回到某一个路口,而路口的值始终保持原来的数,
因此在递归调用中我们所使用的实际参数应是独立的。
本例中使用的是形式参数m,实际参数是a
[
k
],这样无论在某一级中a[k]的值怎样变化,m的值是始终不变的。
2.4算法实现
stdio.h>
stdlib.h>
voidsplitN(intn,intm);
//n是需要拆分的数,m是拆分的进度。
intx[1024]={0},total=0;
//total用于计数拆分的方法数,x[]用于存储解
intn;
printf("
pleaseinputthenaturalnumbern:
);
scanf("
%d"
&
n);
splitN(n,1);
Thereare%dwaystosplitnaturalnumber%d.\n"
total,n);
system("
PAUSE"
return0;
voidsplitN(intn,intm)
{//n是需要拆分的数,m是拆分的进度。
intrest,i,j;
for(i=1;
=n;
{//从1开始尝试拆分。
if(i>
=x[m-1])
{//拆分的数大于或等于前一个从而保证不重复
x[m]=i;
//将这个数计入结果中。
rest=n-i;
//剩下的数是n-i,如果已经没有剩下的了,并且进度(总的拆分个数)大于1,说明已经得到一个结果。
if(rest==0&
m>
1)
total++;
%d\t"
total);
for(j=1;
m;
%d+"
x[j]);
%d\n"
x[m]);
splitN(rest,m+1);
//否则将剩下的数进行进度为m+1拆分。
x[m]=0;
//取消本次结果,进行下一次拆分。
环境恢复,即回溯
2.5结果分析
参考文献
[1]张子阳..NET之美.第一版.机械工业出版社.2014
[2]MarkMichaelis.C#本质论.第四版.人民邮电出版社.2014
[3]MoreWindows.白话经典算法之七大排序.第二版
[4]王晓东.计算机算法设计与分析.第四版.电子工业出版社.2013