教师课件高中数学第二章圆锥曲线与方程232第1课时抛物线及其标准方程学案新人教A版选修.docx

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教师课件高中数学第二章圆锥曲线与方程232第1课时抛物线及其标准方程学案新人教A版选修

第1课时　双曲线的几何性质

学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等）.2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．

知识点一　双曲线的性质

标准方程

－＝1

（a>0，b>0）

－＝1

（a>0，b>0）

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a

y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：

坐标轴；对称中心：

原点

顶点

坐标

A1（－a,0），A2（a,0）

A1（0，－a），A2（0，a）

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝

a，b，c间的关系

c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）

知识点二　等轴双曲线

思考　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．

（1）x2－y2＝1；

（2）4x2－4y2＝1.

答案　

（1）的实半轴长1，虚半轴长1

（2）的实半轴长，虚半轴长.

它们的实半轴长与虚半轴长相等．

梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.

（1）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）

（2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同．（×）

（3）等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．（×）

（4）离心率是的双曲线为等轴双曲线．（√）

类型一　双曲线的性质

例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.

又双曲线的焦点在x轴上，

∴顶点坐标为（－3,0），（3,0），

焦点坐标为（－，0），（，0），

实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，

渐近线方程为y＝±x.

引申探究

求双曲线nx2－my2＝mn（m>0，n>0）的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

解　把方程nx2－my2＝mn（m>0，n>0）化为标准方程为－＝1（m>0，n>0），

由此可知，实半轴长a＝，

虚半轴长b＝，c＝，

焦点坐标为（，0），（－，0），

离心率e＝＝＝，

顶点坐标为（－，0），（，0），

所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

（1）把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．

（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．

跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为

－＝1.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

c＝＝＝5，焦点坐标是（0，－5），（0,5）；

离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.

类型二　由双曲线的性质求标准方程

例2　

（1）已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0,2），则双曲线的标准方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

答案　B

解析　由已知，得双曲线的焦点在y轴上，

从而可设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0）．

∵一个顶点为（0,2），∴a＝2.

又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，

∴2a＋2b＝2c.

又a2＋b2＝c2，∴b2＝4，

∴所求双曲线的方程为－＝1.

（2）求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A（2，－3）的双曲线的方程．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

解　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.

当所求双曲线的焦点在x轴上时，

设所求双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0）．

因为＝，所以b＝a.①

因为点A（2，－3）在所求双曲线上，所以－＝1.②

联立①②得方程组无解．

当所求双曲线的焦点在y轴上时，

设所求双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），

因为＝，所以a＝b.③

因为点A（2，－3）在所求双曲线上，所以－＝1.④

由③④，得a2＝，b2＝4，

所以所求双曲线的方程为－＝1.

反思与感悟　

（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．

（2）巧设双曲线方程的六种方法与技巧

①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1（a>0，b>0）．

②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1（a>0，b>0）．

③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2<λ

④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）．

⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ（λ≠0）．

⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．

跟踪训练2　

（1）求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M（3，－2）的双曲线的标准方程；

（2）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率e＝，过点A（0，－b）和B（a,0）的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程

解　

（1）设所求双曲线的方程为－＝λ（λ≠0）．

∵点M（3，－2）在双曲线上，

∴－＝λ，即λ＝－2.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

（2）∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①

又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，

∴d＝＝，即4a2b2＝3（a2＋b2）．②

解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

类型三　求双曲线的离心率

例3　已知F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　求双曲线的离心率

解　设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，

那么y＝±.

由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，

所以＝2c，所以b2＝2ac，

所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，

即e2－2e－1＝0，

所以e＝1＋或e＝1－（舍去），

所以双曲线的离心率为1＋.

反思与感悟　求双曲线离心率的三种方法：

（1）若可求得a，c，则直接利用e＝求解．

（2）若已知a，b，可直接利用e＝求解．

（3）若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0（p，q，r为常数，且p≠0），则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．

跟踪训练3　设双曲线－＝1（b＞a＞0）的焦距为2c，直线l过点A（a,0），B（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　求双曲线的离心率

答案　2

解析　如图所示，在△OAB中，

|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，

|AB|＝＝c.

因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，

所以c·c＝ab，即（a2＋b2）＝ab，

两边同除以a2，得2－＋＝0，

解得＝或＝（舍去），

所以e＝＝＝＝2.

1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（　　）

A．实轴长为4，虚轴长为2

B．实轴长为8，虚轴长为4

C．实轴长为2，虚轴长为4

D．实轴长为4，虚轴长为8

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c

答案　B

解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.

2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是（　　）

A．x2－＝1B．－y2＝1

C．－x2＝1D．y2－＝1

考点　由双曲线的简单几何性质求方程

题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程

答案　D

解析　从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.

3．（2017·浙江余姚中学期中）设F1，F2分别是双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（　　）

A.B．3C.D.

答案　A

4．与双曲线－＝1共渐近线且经过点M（2，6）的双曲线的标准方程为__________．

答案　－＝1

解析　设双曲线的标准方程为－＝t（t≠0），

又经过点M（2，6），

∴－＝t，即t＝2，

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

5．已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程研究其他问题

答案　12

解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为（－2,2），此时S＝－＝12.

1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．

2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ（λ≠0）求解．

3．与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有共同渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ（λ≠0，a＞0，b＞0）.

一、选择题

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（　　）

A．2B．2C．4D．4

考点　双曲线的简单几何性质

题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线

答案　C

解析　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.

2．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y＝±2xB．y＝±x

C．y＝±xD．y＝±x

考点　双曲线的离心率与渐近线

题点　渐近线与离心率的关系

答案　B

解析　由e＝＝＝，得2＝2.

故渐近线方程为y＝±x，故选B.

3．设F1，F2是双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

考点　双曲线的简单几何性质

题点　求双曲线的离心率

答案　C

解析　不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，

∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos30°，

∴（2a）2＝（4a）2＋（2c）2－2×4