rsa算法原理一文档格式.docx

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1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：

（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；

（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则（简称"

密钥"

），这被称为"

对称加密算法"

（Symmetric-keyalgorithm）。

这种加密模式有一个最大弱点：

甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。

保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

1976年，两位美国计算机学家WhitfieldDiffie和MartinHellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。

这被称为"

Diffie-Hellman密钥交换算法"

这个算法启发了其他科学家。

人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"

非对称加密算法"

（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。

公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。

（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。

　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。

1977年，三位数学家Rivest、Shamir和Adleman设计了一种算法，可以实现非对称加密。

这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"

毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。

根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。

也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。

因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。

文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。

你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。

二、互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。

比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。

这说明，不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系，不难得到以下结论：

　　1.任意两个质数构成互质关系，比如13和61。

　　2.一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。

　　3.如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。

　　4.1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。

　　5.p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。

　　6.p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

三、欧拉函数

请思考以下问题：

　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？

（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？

）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ（n）表示。

在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ（n）=4。

φ（n）的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则φ

（1）=1。

因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则φ（n）=n-1。

因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。

比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即n=p^k（p为质数，k为大于等于1的整数），则

比如φ（8）=φ（2^3）=2^3-2^2=8-4=4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。

而包含质数p的数一共有p^（k-1）个，即1×

p、2×

p、3×

p、...、p^（k-1）×

p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是k=1时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

　　n=p1×

p2

则

　　φ（n）=φ（p1p2）=φ（p1）φ（p2）

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。

比如，φ（56）=φ（8×

7）=φ（8）×

φ（7）=4×

6=24。

这一条的证明要用到"

中国剩余定理"

，这里就不展开了，只简单说一下思路：

如果a与p1互质（a<

p1），b与p2互质（b<

p2），c与p1p2互质（c<

p1p2），则c与数对（a,b）是一一对应关系。

由于a的值有φ（p1）种可能，b的值有φ（p2）种可能，则数对（a,b）有φ（p1）φ（p2）种可能，而c的值有φ（p1p2）种可能，所以φ（p1p2）就等于φ（p1）φ（p2）。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

再根据第3条的结论，得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。

比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

四、欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。

"

欧拉定理"

指的是：

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ（n）可以让下面的等式成立：

也就是说，a的φ（n）次方被n除的余数为1。

或者说，a的φ（n）次方减去1，可以被n整除。

比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ（7）等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。

我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。

比如，7和10互质，根据欧拉定理，

已知φ（10）等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ（p）等于p-1，则欧拉定理可以写成

这就是著名的费马小定理。

它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。

理解了这个定理，就可以理解RSA。

五、模反元素

还剩下最后一个概念：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

这时，b就叫做a的"

模反元素"

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为（3×

4）-1可以被11整除。

显然，模反元素不止一个，4加减11的整数倍都是3的模反元素{...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则b+kn都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到，a的φ（n）-1次方，就是a的模反元素。

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好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。

RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

（完）