中考复习练习之胡不归问题教师版Word文档下载推荐.docx

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t4a+2b+c=0

•••抛物线解析式为y=丄丄x2-丄丄x-二，

•••y=：

x-二—（x「）2仝，

22228

•••顶点坐标（「，-丄上）.

（2）如图1中，连接AB，作DH丄AB于H，交0B于P,

此时丄PB+PD最小.

理由：

•••0A=1,OB=二,

•tan/ABO=^―,

OB3

•••/ABO=30°

•PH=1PB,

.•.IPB+PD=PH+PD=DH,•此时PB+PD最短（垂线段最短）.

在Rt△ADH中，•••/AHD=90°

AD=—,/HAD=60°

•DH=

•••丄PB+PD的最小值为匸丄丄

故答案为二-.

（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，

以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，

线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，

所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5.

②如图，Rt△AOB中，•••tan/ABO=」=,

作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA，则/AEB=120°

以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.

则/AFB=/AGB=60°

从而线段FG上的点满足题意,

EB='

=_,

COS303

•OE=OB-EB=—,

•F（丄，t）,EF2=EB2,

•（J2+（t+二）2=（亠）2,

解得匸厶亠丄或

故F「，匚一），G「，匚「）,

2626

图1

练习巩固：

1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD勺对角线AC上有一动点P,BC=6,NABC=150,则PA+PB+P啲最小值为.

将△ADC逆时针旋转60°

，得到△AD'

连接BD'

交AC于P,交AC'

于E,连

接PD,

•••/BAD=30°

/DAD'

=60°

•••/BAD'

=90°

又AB=AD=AD'

•••BD.'

■=6"

，

/ABP=45°

，又/BAP=15°

•••/APE=/PAE=60°

•△EAP为等边三角形，

•PA=PE,

又•••△APD◎△AED'

•PD=ED'

根据两点之间线段最短，

•AP+BP+PD的最小值=PB+PE+ED'

=6二，

故答案为：

：

2.（2015内江）如图，在△ACE中，CA=CE，/CAE=30°

OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

（1）试说明CE是OO的切线；

（2）若厶ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB;

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当^CD+OD的最小值为6时，求OO的

直径AB的长.

（1）连接OC,如图1,

•/CA=CE,ZCAE=30°

•••/E=ZCAE=30°

/COE=2/A=60°

•••/OCE=90°

•••CE是OO的切线;

（2）过点C作CH丄AB于H，连接0C,如图2,

由题可得CH=h.

在Rt△OHC中，CH=OC?

sin/COH,

•h=OC?

sin60°

=_OC,

•oc「一一h,

V33

•AB=2OC=^'

-h;

（3）作OF平分/AOC，交OO于F，连接AF、CF、DF，如图3,

则/AOF=/COF=—/AOC=1（180°

-60°

）=60°

•/OA=OF=OC,

•△AOF、△COF是等边三角形，

•AF=AO=OC=FC,

•四边形AOCF是菱形，

•根据对称性可得DF=DO.

过点D作DH丄OC于H,

•/OA=OC，•/OCA=/OAC=30°

•DH=DC?

sin/DCH=DC?

sin30°

=丄DC,

•••1CD+OD=DH+FD.

根据垂线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，

此时FH=OF?

sin/FOH=__OF=6,

则OF=4二，AB=2OF=8二.

•••当-LcD+OD的最小值为6时，OO的直径AB的长为87.

121

3.（2015日照）如图，抛物线yxmxn与直线yx-3交于Ab两点，交x轴于DC两

点，连接ACBC,已知A（0,3）,C（3,0）.

（1）抛物线的函数关系式为,tan/BAC=.

（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA过点P作PQLPA交y轴于点Q问：

是否存在点P使以A、

P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由.

（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速

度运动到E点，再沿线段EA以每秒、、2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

-2

（I）把A（0,3）,C（3,0）代入y=*x+mx+n,得

n=3

专X9+inx+n=0

解得：

严p.

抛物线的解析式为y=：

x2-—x+3

联立、

解得:

x=0

或口

Lv=i

•••点B的坐标为（4,1）.

如图1.

•••C（3,0）,B（4,1）,A（0,3）,

222

.AB=20,BC=2,AC=18,

229

•BC2+AC2=AB2,

•△ABC是直角三角形，

•••/ACB=90°

•tan/BAC=：

=亠—=二

AC3^23

（n）方法一：

（1）存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.

过点P作PG丄y轴于G,则/PGA=90°

设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>

0,贝UPG=x.

•/PQ丄PA,/ACB=90°

•••/APQ=/ACB=90°

若点G在点A的下方，

①如图2①，当/PAQ=/CAB时，则△FAQCAB.

•••/PGA=/ACB=90°

/PAQ=/CAB,

•△PGABCA,

•匹=匹=丄

…-―丨―：

•-AG=3PG=3x.

则P（x,3-3x）.

把P（x,3-3x）代入y=_Lx2-Jlx+3，得

-x2—x+3=3-3x,

整理得：

x2+x=0

xi=0（舍去），X2=-1（舍去）.

②如图2②，当/PAQ=/CBA时，则△PAQCBA.

同理可得：

AG=_PG=_x，贝UP（x,3-_x）,

333

把P（x,3-_Lx）代入y=-Lxx+3，得

322

_x2_二x+3=3_-x,

223

x2-—x=0

xi=0（舍去），乂2=丄一，

•••P（「，」；

若点G在点A的上方，

1当/FAQ=ZCAB时，则△PAQs^CAB,

点P的坐标为（11,36）.

2当/PAQ=/CBA时，则△PAQs^CBA.

点P的坐标为P（丄_,上）.

综上所述：

满足条件的点p的坐标为（ii,36）、（23,2£

）、（2工，览）;

3939

方法二：

作厶APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHPQGP,.J[II'

•••以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似，

•二汗I'

或「H：

…不=三T二「二它；

设P（2t,2t2-5t+3）,A（0,3）,H（2t,3）,

mIFJ_.1

①」；

1=:

;

•••2t」，2「,

②皿Q-|

②厂，"

3-2t「5t+3

~2T

1=3

•••2ti=11,2t2=—1,（舍）,

•••满足题意的点p的坐标为（11,36）、（23,2生）、（2丄，奧）;

（2）方法一：

过点E作EN丄y轴于N,如图3.

在Rt△ANE中，EN=AE?

sin45°

=-AE,即AE=「EN,

•••点M在整个运动中所用的时间为匚+二=DE+EN.

作点D关于AC的对称点D'

连接D'

则有D'

E=DE,D'

C=DC，/D'

CA=ZDCA=45°

•••/D'

CD=90°

DE+EN=D'

E+EN.

根据两点之间线段最短可得：

当D'

、E、N三点共线时，DE+EN=D'

E+EN最小.

此时，•••/D'

CD=ZD'

NO=ZNOC=90°

•四边形OCD'

N是矩形，

ND'

=OC=3,ON=D'

C=DC.

对于y=_x2-X+3,

当y=0时，有1x2-X+3=0,

X1=2,X2=3.

•D（2,0）,OD=2,

ON=DC=OC-OD=3-2=1,

NE=AN=AO-ON=3-1=2,

•••点E的坐标为（2,1）.

作点D关于AC的对称点D'

DD'

交AC于点M，显然DE=D'

作D'

N丄y轴，垂足为N,交直线AC于点E,如图4,

=二AE,即卩AE=「EN,

•••当D'

、E、N三点共线时，DE+EN=D'

E+EN最小，

•••A（0,3）,C（3,0）,

•Iac：

y=-x+3,

•M（m,-m+3）,D（2,0）,

•DM_LAC,•KdmXKac=-1,

m-2

=_b

m=—,•M（一,—）,

•M为DD'

的中点,

•D'

（3,1）,

•/Ey=D'

y=1,

•E（2,1）.

方法三：

如图，5,过A作射线AF//x轴，过D作射线DF//y轴，DF与AC交于点E.

•A（0,3）,C（3,0）,

y=-x+3.

•/OA=OC,/AOC=90°

•/ACO=45°

•AF//OC,•/FAE=45

•EF=AE?

sin45°

•当且仅当AF丄DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为:

•抛物线的解析式为沪IF3,且C（3,0）,

•可求得D点坐标为（2,0）

则E点横坐标为2,将x=2代入Iac:

y=-x+3.,得y=1.所以E（2,1）.

图1

4.（2014成都）如图，已知抛物线y（x，2）（x-4）（k为常数，k>

0）与x轴从左至右依次交于点A、

B,与y轴交于点C,经过点B的直线y3xb与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式.

（2）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，—动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值.

（1）抛物线y=Z（x+2）（x-4）,

令y=0，解得x=-2或x=4,

•••A（-2,0）,B（4,0）.

•••直线y=-一x+b经过点B（4,0）,

•••-—X4+b=0，解得b^—,

••直线BD解析式为：

y=-x+一.

当x=—5时，y=3:

•••D（-5,3二）.

•••点D（—5,3乙）在抛物线\y=±

（x+2）（x—4）上,

•-：

（—5+2）（—5—4）=37,

•k—狄-

•抛物线的函数表达式为：

y—…（x+2）（x—4）.

__9

即y—_x2-__x-：

999

（2）由抛物线解析式，令x—0,得y—-k,

•-C（0,—k）,OC—k.

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是△ABCAPB或厶ABCPAB.

①若△ABCs^APB，则有/BAC—ZPAB,如答图2—1所示.

设P（x,y）,过点P作PN丄x轴于点N，则ON—x,PN—y.

Itv

tanZBAC—tanZPAB,即：

…,

2时2

•y—!

_x+k.

p（x,鱼x+k）,代入抛物线解析式y—虫（x+2）（x—4）,

■:

得一（x+2）（x—4）——x+k,整理得：

x—6x—16—0,

x—8或x——2（与点A重合，舍去），

•P（8,5k）.

•/△ABCAPB,

.ACABRnVk2+46

…，即

怔惭6725k2+100

②若△ABCs^PAB，则有ZABC—ZPAB，如答图2—2所示.设P（x,y）,过点P作PN丄x轴于点N，则ON—x,PN—y.

/•y=Lx+__.

•••P（X,Zx+乂），代入抛物线解析式

得上（x+2）（x-4）

•P（6，2k）.

•/△ABCRAB,

AB=CB

■■'

•6_=（1軒2,

^64+4k26

解得k=±

•/k>

•k=_,

综上所述，k=--或k=_.

（3）方法一：

如答图3,由

（1）知：

D（-5,3匚）,

答图3

如答图2-2,过点D作DN丄x轴于点N,贝UDN=37,ON=5,BN=4+5=9,

•••tan/DBA=—

BN9

•••/DBA=30°

过点D作DK//x轴，则/KDF=/DBA=30°

过点F作FG丄DK于点G,贝UFG=--DF.

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：

t=AF+「DF,

•t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.

过点A作AH丄DK于点H，贝Ut最小=AH,AH与直线BD的交点，即为所求之F点.

•/A点横坐标为-2,直线BD解析式为：

y=-丄

•y=^：

x（-2）+亠=27,

•F（-2,2二）.

综上所述，当点F坐标为（-2,2铝：

、）时，点M在整个运动过程中用时最少.

作DK//AB,AH丄DK,AH交直线BD于点F,

•//DBA=30°

•/BDH=30°

•FH=DFxsin30°

•••当且仅当AH丄DK时，AF+FH最小，

AFNT]

点M在整个运动中用时为：

T■'

：

■,

丄M

•••Ibd：

y=-丄上x+M_i

二Fx=Ax=-2,

二F（-2,小』5）-

2..

5.（2017徐州二模）二次函数y=ax—2x+c图象与x轴交于A、C两点，点C（3,0）,与y轴交于点

B（0，-3）.

（1）a-，c-；

（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD求•2PD-PC的最小值.

（3）如图②，点M在抛物线上，若Sambc=3，求点M的坐标.

（1）把C（3,0）,B（0,-3）代入y=ax2-2x+c

得到，，解得［丹•

L9a-6+c=0I匚二-3故答案为1，-3.

（2）如图1中，作PH丄BC于H.

.•./PCH=45°

在Rt△PCH中,

PH=—PC.

•/「DP+PC="

■（PD+一PC）=-（PD+PH）,

根据垂线段最短可知，当

H共线时“J:

「DP+PC最小，最小值为匚DH

在Rt△DH'

B中，TBD=4,/DBH'

=45

.DH-BD=2_,

•••匚DP+PC的最小值为匚？

2匚=4.

（3）如图2中，取点E（1,0）,作EG丄BC于G,易知EG=^2.

•••Sebc=?

BC?

EG=?

3」=3,

•过点E作BC的平行线交抛物线于

Mi,

=3，二匕二:

[=3,

•••直线BC的解析式为y=x-3,

•••直线M1M2的解析式为y=x-1,

r3W17

由*

V—

2、

1+VFF或

x~~2

I-」，尸

...M1（3眄1如）,M2（3+阿比向

根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点

）,

M3、M4也满足条件,

易知直线M3M4的解析式为y=x-5,

由’

Z解得］

脚或（

-2x-3

尸-4〔

•M3（1.-4）,M4（2,-3）,

x=2

尸-3

综上所述，满足条件的点M的坐标为•M1（3^^,丄^^）,M2（彳+佰，丄+佰），M3（1.

2222

4）,M4（2,-3）.

交于点C,经过点A的直线y=3x-b与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为.

（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P,使得以A、BP为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标.

（3）在

（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE,—动点Q从点B出发，沿线段

2J3

BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标

为多少时，点Q运动的时间最少?

（1）vy=a（x+3）（X—1）,

•••点A的坐标为（-3,0）、点B两的坐标为（1,0）,

•直线y=-*x+b经过点A,

•b=—3'

•y=-m：

j：

x—3■:

当x=2时，y=—,

则点D的坐标为（2,—57）,

•••点D在抛物线上，

•a（2+3）（2—1）=—57,

解得，a=-€二，

则抛物线的解析式为y=-二（x+3）（x—1）=—7x2—27x+3二;

PH丄x轴于H，设点P坐标（m,n）,

（2、如图1中，作

BAC=ZPBA,

•tan/BAC=tan/PBA,

二=—2-,即n=-

3-riH-1

m=—4或1（舍弃），

4（叶1）解得

Ln=a（irH-3）（inT）

当m=—4时，n=5a,

•/△BPAs^ABC,

•坐=如

…，=时

•AB=AC?

PB,

二4=.「一

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