悬链线趣谈Word文件下载.docx

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贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！

之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的几个结论，可以用变分法来证明！

据说牛顿看到题目后花了一个晚上就解出来了，也是第一个引入变分法的，伯努利的说法是：

"

我从他的利爪认出了这头狮子"

。

神奇的数e出现了，就写在蜘蛛丝上面。

在薄雾的清晨，让我们观察昨夜织成的蜘蛛网，具黏性的丝，负载着小水珠的重量，弯曲成一条条的悬链线，水珠沿着曲线排成美丽的项链。

当晨曦穿透雾气，照射在蜘蛛网上，闪耀着彩虹色的亮光，就像一盘夺目的珍珠，荣耀归功于e。

──法布尔

法布尔（Fabre,1823~1915）是法国著名的昆虫学家，他说：

「在昆虫的世界里，可以激发我所有的思想与灵感。

」这份「热情」（passions）推动着他研究昆虫的生活与行为，并且写出《昆虫记》之不朽名著，因而被后人尊称为「昆虫诗人」或「昆虫学界的荷马（Homer）」。

他观察到的蜘蛛网项链，就是上述那段话的由来。

问题的提出

固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程式是什么？

这就是著名的「悬链线问题」（thehangingchainproblem）。

在1690年由贾可比?

贝努利（JakobBernoulli,　1654～1705）公开提出来，向数学界挑战，征求答案。

在微积分初创时期，它正好可用来考验微积分的威力。

这是一段有趣而又极具启发性的历史，值得我们重温一遍，细细品味。

在大自然中，除了悬垂的项链与蜘蛛网的水珠项链外，我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。

由大自然引导出来的数学，让我们觉得「有土、有根」，并且沾染、散发着「就在身边的亲切感」。

大家都看过海豚跃水的表演，以及石头（或炮弹）飞过天际的现象，并且知道它们的轨迹都是拋物线（parabola），这是超乎欧氏几何的曲线。

基本上，欧氏几何只研究由直线与圆所交织出来的图形世界。

亚里斯多德的错误

然而古希腊伟大哲学家（百科全书般的人物）亚里斯多德（Aristotle,384～322B.C.），他却认为石头飞过天空的轨道应如图六所示，因为根据他的「有机目的观」的物理学与哲学，地面上的「自然运动」（naturalmotion）是直线，所以石头飞出去是直线，掉下来也是直线并且垂直地面。

这个错误两千年后才由伽利略（Galileo,1564～1643）加以修正，并且得到轨迹的正确方程式为二次函数y=ax2+bx+c，这不必用到微积分就可以求出来。

事实上，伽利略不懂微积分，那时微积分还未真正诞生。

伽利略的错误

伽利略比贝努利更早注意到悬链线，但是「螳螂捕蝉，黄雀在后」，他也犯了错误：

他猜测悬链线为拋物线。

从外表看起来，悬链线的确很像拋物线，然而实际上并不是！

惠更斯（Huygens,1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但正确的答案这个时候他也求不出来。

这是大自然的一个深刻秘密，只有微积分可以揭开它。

两点启示

首先是，检验错误易，建立真理难，即「理未易明，善未易察」。

其次是，伟大的人物可能犯伟大的错误。

因此，我们要时时警觉到费因曼（Feynman,1918～1988）所说的「科学就是怀疑专家会有错误」，更进一步要如笛卡儿（Descartes,1596～1650）之持「系统地、方法地怀疑」的态度。

科学哲学

这些启示正好就是，在现代科学哲学中，波柏（K.Popper,1902～1995）所提倡的「否证论」（Falsificationtheory）之出发点。

否证论的要旨是：

无论我们观察了多少只的白色天鹅，都没有证明「凡是天鹅都是白色的」这个「理论」，但只要出现一只黑天鹅，就否证了该理论。

换言之，我们虽然无法证明一个科学理论是对的，但是我们可以透过批判讨论（criticaldiscussions）找出理论的错误所在，逼使胡说八道现原形，甚至否证、推翻它，将科学理论不断地推陈出新。

科学的进展是，成功踏着错误前进。

在这个观点之下，科学方法就是「尝试改误」（trialanderror），从错误中学习。

特别地，前人的错误经验，对后人更具有启发性与教育价值。

可惜，这几乎都被我们的教育忽略了，而只讲授成功的典范。

微积分驯服悬链线

伽利略的错误与惠更斯的无能为力，真正的理由是缺乏微积分工具，要驯服悬链线就必须用到微积分！

我们知道，微积分经过两千年的酝酿，到了十七世纪后半叶，才由牛顿（Newton,1642～1727）与莱布尼慈（Leibniz,1646～1716）两人独立地发明。

牛顿在1660年代发明，但直到1711年才发表；

莱布尼慈在1670年代发明，在1684年就发表，比牛顿还早公诸于世。

微积分基本上是要探求曲线的切线与曲线所围成的面积这两个问题。

它们的解决都必须经过「无穷步骤」，才能得到答案，落实于取极限或无穷小的演算。

换句话说，微积分是道道地地的「无穷之学」（thescienceofinfinity），这是微积分之所以深刻、困难与迷人的理由。

牛顿与莱布尼慈的微积分，最主要的内涵是：

建立微分法的系统演算规则并且看出微分与积分的互逆性。

微分法的正向演算（即由f（x）求出f'

（x）），解决了求切线、求极值、求速度、加速度以及一切变化率的问题。

微分法的反向演算（即由f'

（x）求出f（x）），解决了两千年的求积分之难题以及运动现象的里程问题等等。

更要紧的是，面对大自然变化万千的现象，利用「物之理」与微分法，我们可以将一条未知曲线（或一个未知函数），网在一个微分方程式之中，再利用「积分法」（即反微分法），解开网子，求得未知曲线（或未知函数）。

这和我们在中学时代，利用代数方程式网住未知数x，再求解方程式的手法完全一样。

微分法是人类苦练两千余年才得到的宝剑，削金斩铁，锐利无比。

当贾可比·

贝努利在1690年提出「悬链线问题」后，隔年（1691年）莱布尼慈、惠更斯（当时他已62岁）与约翰·

贝努利（JohannBernoulli,1667～1748，贾可比·

贝努利之弟）都利用这一把利器，求得正确的答案：

y=（eax+e-ax）/（2a）

此地我们用了较后来才出现的现代数学术语与记号来表达，下面我们也要按此要领，先建立悬链线所满足的微分方程，然后再求解之。

假设链子的质料是均匀的且单位长度的重量为ρ，且s为AB之间的长度，悬链线AB之中A点的张力为H（水平张力），B点的张力为T（切线方向），而且还有AB受到的重力，于是得

Tcosθ=H而且Tsinθ=ρs

考虑B点:

dy/dx=tanθ=（Tsinθ）/（Tcosθ）=ρs/H...（*）

弧长公式:

（dS）2=（dx）2+（dy）2

对（*）微分，得到

　　　　　　　　　___________

d2y　ρds　ρ√（dx）2+（dy）2ρ　　__________

---　=----　=---------------　　　=　√1+（dy/dx）2

dx2　　Hdx　　Hdx

令p=dy/dx化简且两边不定积分得ln（p+√1+p2）=ρx/H+C

由于当x=0时，p=dy/dx=0，将此初始条件代入得C=0。

为方便令a=ρ/H

求得dy/dx=p=（eax-e-ax）/2

最终求出y=（eax+e-ax）/（2a）此即为悬链线的方程式，这里的a与链子的质料有关

它是一个超越函数（transcendentalfunction），而拋物线y＝ax2+bx+c只是一个代数函数（algebraicfunction），两者的难易度、深浅度相差非常大。

今日我们定义函数coshx=（ex+e-x）/2

sinhx=（ex－e-x）/2分别称为双曲余弦函数与双曲正弦函数。

因此，（9）式可以改写成

y=1/acosh（ax）（10）

数学发现的狂喜

微积分发明后，在欧陆瑞士的贝努利家族，因为勤于跟德国的莱布尼慈通信，所以是第一批学会微积分的人。

利用微积分工具，约翰解决了悬链线问题，反倒是提问题的哥哥贾可比没有解出来。

为此，约翰尝到发现的狂喜，即使是经过27年后，胜利的甜蜜滋味仍旧跃然纸上。

事情是这样的：

因为约翰一直对外宣称是他而不是贾可比求得答案，有一位同事提出质疑，所以约翰写信说明这件事。

他在1718年（此时贾可比已过世十三年）写道：

你说我的哥哥贾可比提出（悬链线）问题，这是对的，但这并不意谓着他也求得答案，不是吗？

事实上，他根本没有算出答案。

当他在我的建议下，提出这个问题时（我是第一个想到此问题的人），我们两人都不会求解。

对于求解不出这件事，我们同感苦恼、绝望。

直到莱布尼慈先生在1690年经由《莱比锡》（Leipzig）杂志p.360，透露消息说，他已求得答案，但暂时不公布，预留时间给其它分析学家，也有发现的机会。

这鼓舞了我们兄弟两人，重新思考这个难题。

我哥哥的努力并没有成功，而我比较幸运，因为我找到了求解此问题的技巧（这样说并不是「老王卖瓜」，我何必隐藏或歪曲真相呢？

）…第二天早晨，我的内心充满着狂喜，急忙去找哥哥，发现他仍然在跟他的「戈登结」（Gordianknot）苦斗，没有胜利的迹象，因为他总是和伽利略犯同样的错误，把悬链线想成是拋物线。

我对他说：

停！

不要再折磨自己，不要尝试去证明悬链线就是拋物线，因为这根本是错误的。

悬链线问题的解决，有苦有乐，并且标志着新发明的微积分之伟大胜利，它比美于五年后在1696年约翰所提出著名的「最速下降线问题」（thebrachistochroneproblem），这是另一个美丽的数学发现故事（以后有机会再介绍）。

关于数学的苦乐，现代法国布尔巴基（Bourbaki）学派的数学家魏尔（A.Weil）说得更明白，他说：

每位真正的数学家都曾经历过一种清澄的狂喜，阵阵欢欣的情绪一波接着另一波，像奇迹般地产生…，这种感觉可能延续几小时，甚至几天。

一经体验过这种飞扬的纯喜，你就会热切期待再次得到，但这无法随心所欲，除非也许是你必须透过顽强的、辛苦的工作。

大自然按最小原理行事

贝努利兄弟对悬链线的求解，贾可比略居下风。

然而，在1691年贾可比证明了：

悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，要以悬链线的重心最低，并且因而具有最小位能。

这件事使得贾可比扳回一局，两兄弟扯平了。

这个发现深具意义，因为它首度启示我们一个深刻的观点：

在某种神秘运作下，大自然的实际结构是按着最小位能的原理来布局。

贾可比的证法已经查不到，不过，我们现在可以利用变分法（calculusofvariation）加以证明。

如图九，考虑通过A、B两点的各种等长曲线。

令曲线y＝f（x）的长度为L，重心坐标为（x，y），则

y＝（a）＝α，y（b）＝β（21）来确定。

（20）式为悬链线。

因此，我们的结论是：

在所有可能的曲线中，悬链线的重心最低。

悬链线还具有另一个美妙的性质，即它的旋转体之表面积最小，这也可以利用变分法加以证明。

详言之，在坐标平面上，通过两点（x1,y1）与（x2,y2）的所有可能曲线，绕x轴旋转得到旋转体，那么以悬链线所产生的旋转体，其表面积为最小。

双曲函数与圆函数的类推

双曲函数（hyperbolicfunctions）最早出现于悬链线的研究之中，例如我们已看过双曲余弦函数

y=coshx=（ex+e-x）/2

为什么要取名「双曲」呢？

它跟双曲线有关系吗？

答案是肯定的。

最早注意到双曲函数及其跟圆函数（即三角函数）的类推关系的人是意大利数学家芮卡蒂（V.Riccati,1707～1775），他在1757年引入记号

coshx＝（ex+e-x）/2

sinhx＝（ex－e-x）/2这两个函数的图形如图十一。

任何定义在以原点为中心的函数y＝f（x）都可以表成偶函数与奇函数之和：

f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f（x）－f（-x）]

特别地，指数函数y=ex可以表成双曲正弦函数与双曲余弦函数之和：

ex=1/2（ex+e-x）+1/2（ex－e-x）=coshx+sinhx

芮卡蒂进一步发现cosh2x－sinh2x=1，这类似于三角恒等式cos2x+sin2x=1。

后者与圆x2+y2=1有关，而前者与双曲线x2－y2=1有关。

两者之间的详细类推情形，由德国数学家蓝柏特（Lambert,1728～1777）作了全面的研究，并且在1770年发表。

首先我们看圆与三角函数的关系，这是大家都很熟悉的内容。

在图十二中，我们有下列关系式，这是三角函数，又叫做圆函数（circularfunctions）的理由。

PM＝sinθ，OM＝cosθ

AB＝tanθ，PC＝cotθ

OB＝secθ，OC＝cscθ

在图十二中，θ代表角度，但是这无法类推到双曲线的情形，因为在图十三中，显然θ不代表∠POA，而是代表阴影领域面积之两倍：

=（CoshθSinhθ）/2-θ/2

所以阴影领域的面积＝θ/2（22）

另一方面，在图十四中，显然θ/2代表扇形领域的面积。

因此，将θ解释成面积才能抓到圆函数与双曲函数的共通本质。

这是在1757年由芮卡蒂所证明的结果。

进一步，其它四个含曲函数仿三角函数的办法定义如下：

tanhx＝sinhx/coshx=（ex－e-x）/（ex+e-x）

cothx＝coshx/sinhx=（ex+e-x）/（ex－e-x）

sechx＝1/coshx=2/（ex+e-x）

cschx＝1/sinhx=2/（ex－e-x）

它们分别称为双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数与双曲余割函数。

每一个三角函数的恒等式、微分公式与积分公式，都可类推到双曲函数，不过，可能会有正负号上的微小差异。

另外，我们也可仿照反三角函数，谈论反双曲函数以及两者之间的平行类推关系。

我们要强调，请注意在类推过程中的「同中之异」与「异中之同」，以求达到「知所异同，方窥全貌」。

下面列出一些对照公式：

（i）毕氏关系式

cos2x+sin2x=1，cosh2x－sinh2x=1

（ii）奇偶关系

cos（-x）＝cosx，cosh（-x）＝coshx，sin（-x）＝-sinx，，sinh（-x）＝-sinhx

（iii）和角公式

cos（x+y）＝cosxcosy-sinxsiny，cosh（x+y）＝coshxcoshy+sinhxsinhy，sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsiny，sinh（x+y）＝sinhxcoshy+coshxsinhy

（iv）积分公式

Dcosx＝-sinx，Dcoshx＝sinhx，Dsinx＝cosx，Dsinhx＝coshx

（v）积分公式

，

（vi）周期性*

cos（x+2π）＝cosx，sin（x+2π）＝sinx

*双曲函数没有实值周期

既然圆函数与双曲函数具有这么多的平行类推关系，它们的重要性与地位似应相同。

然而，事实并非如此。

最主要的理由是，圆为封闭曲线，周而复始，导致圆函数为周期函数，适合于研究周期现象，发展出傅立叶（Fourier）分析。

相对地，双曲函数就缺乏这种特性。

不过，从悬链线、反演几何（Inversivegeometry）、非欧几何（双曲几何），到广义相对论，都有双曲函数的应用踪迹。

结语

本文由法布尔对蜘蛛网水珠项链的赞美切入，引出悬链线问题的探寻。

从伽利略的错误，直到微积分出现后，莱布尼慈、惠更斯、贝努利兄弟才真正把问题解决。

接着，芮卡蒂与蓝柏特以悬链线作为一个胚芽，并且平行类推于圆函数，进一步展开双曲函数的研究。

图十五是位于美国圣路易的拱形大门（theGatewayArch），它是按悬链线来设计的，在1965年建造完成。

它的方程式如下：

y＝693.8597－68.7672cosh（0.0100333x）

－299.2239≦x≦299.2239

其中x,y的单位为呎。

这是结合数学、艺术与工程技术，三合一的作品，横跨密西西比河的两岸。

我们顺便也可以利用悬链线的拱门图形来表达微积分最基本的架构：

一个概念、两个定义与一个定理。

地基是极限概念；

拱门的两个脚是两个定义，即微分与积分；

最高点会合处是一个定理，即微积分根本定理，包括微分与积分的互逆性以及Newton-Leibniz公式。

从历史的长河来看，西方文明发源于古希腊，经过大约两千年的发展，到了十七世纪，在西欧才结合古希腊的「逻辑演绎」与文艺复兴的「实证精神」，完成伟大的「科学革命」，最主要的成果是微积分、牛顿力学与万有引力定律的创立。

接着是十八世纪法国的「启蒙运动」（theEnlightenment），导致民智大开，各支学问蓬勃发展，产生政治革命（1776年美国独立革命，1789年法国大革命），以及十八至十九世纪的工业革命，逐步开展出现代的人类文明。

在这个过程中，无可置疑地，微积分扮演着关键性的角色。

「看似寻常，最奇绝；

成如容易，却艰辛。

」

蔡聪明任教于台湾大学数学系

参考资料

1.法布尔，《昆虫记》共八册，奥本大三郎改编，台北东方出版社，1993。

2.Maor,E.,ethestoryofaNumber,PrincetonUniversitypress,NewJersey,1994.

3.Marks,J.,ScienceandtheMakingoftheModernWorld,Heinemann,London,1983.

4.Simmons,G.F.,CalculuswithAnalyticGeometry,McGraw-Hill,1996.

5.Simmons,G.F.,CalculusGems,BriefLivesandMemorableMathematics,McGraw-Hill,1992.

6.Simmons,G.F.,DifferentialEquationswithApplicationsandHistoricalNotes,2ndEd.,McGraw-Hill,1991.

7.Boyer,C.B.,AHistoryofMathematics,RevisedbyU.C.Merzbach,JohnWiley＆Sons,Inc.,1991.