人教版七年级数学下册辅导.docx
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人教版七年级数学下册辅导
人教版七年级数学下册辅导
第12讲与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内,两条直线的两种位置关系：
相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图,三条直线AB、CD、EF相交于点O,一共构成哪几对对顶角？
一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：
有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：
两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
有6对对顶角.12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示,直线AB、CD、EF相交于P、Q、R,则：
⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角,几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角.
问：
当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
【例２】如图所示,点O是直线AB上一点,OE、OF分别平分∠BOC、
∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝
∠BOC,∠FOC＝
∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝
∠BOC＋
∠AOC＝
又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝
×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：
∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：
∠AOE.
【变式题组】
01．如图,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC＝100°,则∠BOD的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°,则∠4＝.
【例３】如图,直线l1、l2相交于点O,A、B分别是l1、l2上的点,试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线,垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点,A、B、C是直线l上三点,且PA＝4cm,PB＝5cm,PC＝6cm,则点P到直线l的距离为（）
A．4cmB．5cmC．不大于4cmD．不小于6cm
02如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中,在的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近,而距离村庄Ｍ越来越远.
【例４】如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF＝65°,求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得：
∠AOF＝90°,OF⊥AB．
【变式题组】
01．如图,若EO⊥AB于O,直线CD过点O,∠EOD︰∠EOB＝1︰3,求∠AOC、∠AOE的度数.
02．如图,O为直线AB上一点,∠BOC＝3∠AOC,OC平分∠AOD．
⑴求∠AOC的度数；
⑵试说明OD与AB的位置关系.
03．如图,已知AB⊥BC于B,DB⊥EB于B,并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2,请作出∠CBE的对顶角,并求其度数.
【例５】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称：
∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6：
∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：
首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF,GH相交,图中的同旁内角共有（）
A．4对B．8对C．12对D．16对
02．如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图,按各组角的位置判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行？
并说明理由•
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角,有“”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB,可推得AD∥BC；根据内错角相等,两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°,可推得AD∥BC；根据同旁内角互补,两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等,两直线平行.
【变式题组】
01．如图,推理填空.
⑴∵∠A＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠C＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
C
⑶∵∠A＝∠（已知）
∴AB∥DF（）
02．如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1＝∠2,试说明DE与AB的位置关系.
解：
∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴（）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴（）
∴AB∥DE（）
03．如图,已知AE平分∠CAB,CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°,求证：
AB∥CD．
04．如图,已知∠ABC＝∠ACB,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠EBF＝∠EFB,求证：
CD∥EF.
【例７】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证：
在所有的交角中,至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.
证明：
假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线,试证：
在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03．已知n（n＞2）个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然：
S2＝1,S3＝3,S4＝6,∴S5＝10…则Sn＝.
演练巩固·反馈提高
01．如图,∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
02．如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为（）
A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图,∠BAC＝90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有（）
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD
A．0B．2C．4D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA＝4cm,PB＝5cm,PC＝6cm,则点P到直线l的距离是（）
A．4cmB．5cmC．小于4cmD．不大于4cm
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合）,则∠AOB＋∠DOC＝.
07．如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF＝72°,则∠AEG＝.
08．在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5,②∠1＝∠7,③∠2＋∠3＝180°,④∠4＝∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10．在同一平面内两条直线的位置关系有.
11．如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？
12．如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1＝∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何？
13．如图,推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴AB∥FD．
14．如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC．
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）
A．1,3B．0,1,3C．0,2,3D．0,1,2,3
02．平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.
A．60B．55C．50D．45
03．平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的6个点之外,这些直线最多还有（）个交点.
A．35B．40C．45D．55
04．如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点.
05．如图是某施工队一张破损的图纸,已知a、b是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性.
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）
A．3B．1或3C．1或2或3D．不一定是1,2,3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法？
08．平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到？
09．如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC,那么两条对角线的夹角等于（）
A．60°B．75°C．90°D．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
第13讲平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,BC∥AD,∠A＝38°,求∠C的度数.
【解法指导】
两条直线平行,同位角相等；
两条直线平行,内错角相等；
两条直线平行,同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看清截线,识别角的关系式关键.
【解】：
∵AB∥CDBC∥AD
∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°（两条直线平行,同旁内角互补）
∴∠A＝∠C∵∠A＝38°∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图,已知AD∥BC,点E在BD的延长线上,若∠ADE＝155°,则∠DBC的度数为（）
A．155°B．50°C．45°D．25°
02．（安徽）如图,直线l1∥l2,∠1＝55°,∠2＝65°,则∠3为（）
A．50°B．55°C．60°D．65°
03．如图,已知FC∥AB∥DE,∠α：
∠D：
∠B＝2:
3:
4,试求∠α、∠D、∠B的度数.
【例２】如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠B＝60°,∠EFC＝45°,求∠BCG的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD（两条直线平行,内错角相等）又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图,已知AF∥BC,且AF平分∠EAB,∠B＝48°,则∠C的的度数＝_______________
02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°,BO、CO分别∠ABC、∠ACB,DE过点O与BC平行,则∠BOC＝___________
03．如图,已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD,∠A＝40°,∠D＝50°,求∠NMP的度数.
【例３】如图,已知∠1＝∠2,∠C＝∠D．求证：
∠A＝∠F.
【解法指导】
因果转化,综合运用.
逆向思维：
要证明∠A＝∠F,即要证明DF∥AC．
要证明DF∥AC,即要证明∠D＋∠DBC＝180°,
即：
∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC
＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要
证明∠1＝∠3.
证明：
∵∠1＝∠2,∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行,同旁内角互补）∵∠C＝∠D∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁内角,互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行,内错角相等）
【变式题组】
01．如图,已知AC∥FG,∠1＝∠2,求证：
DE∥FG
02．如图,已知∠1＋∠2＝180°,∠3＝∠B．求证：
∠AED＝∠ACB
03．如图,两平面镜α、β的夹角θ,入射光线AO平行
于β入射到α上,经两次反射后的出射光线O′B平行
于α,则角θ等于_________.
【例４】如图,已知EG⊥BC,AD⊥BC,∠1＝∠3.
求证：
AD平分∠BAC．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析
条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论
的条件,要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：
∠1＝∠3）
证明：
∵EG⊥BC,AD⊥BC∴∠EGC＝∠ADC＝90°
（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等,两条直线平行）
∵∠1＝∠3∴∠3＝∠BAD（两条直线平行,内错角相等）
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）
【变式题组】
01．如图,若AE⊥BC于E,∠1＝∠2,求证：
DC⊥BC．
02．如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE平分∠ACB．求证：
∠EDF＝∠BDF.
3．已知如图,AB∥CD,∠B＝40°,CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN,求：
∠BCM的度数.
【例５】已知,如图,AB∥EF,求证：
∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想,分析类比,
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来,这是关键.
【证明】：
过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°
（两直线平行,同旁内角互补）又∵AB∥EF,∴CD∥EF（平行
于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°（两直线平行,
同旁内角互补）∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°
即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【变式题组】
01．如图,已知,AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.
结论：
⑴____________________________⑵____________________________
⑶____________________________⑷____________________________
【例６】如图,已知,AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
【解法指导】基本图形
善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠1（两直线平行,内错角相等）又∵FG∥AB∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3又∵AB∥CD∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行,同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
01．如图,AB∥EF,∠C＝90°,则∠α、∠β、∠γ的关系是（）
A．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C．∠α＋∠β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°
02．如图,已知,AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,∠E＝140°,求∠BFD的度数.
【例７】如图,平移三角形ABC,设点A移动到点A/,画出平移后的三角形A/B/C/.
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连.
⑴定：
确定平移的方向和距离.
⑵找：
找出图形的关键点.
⑶移：
过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点.
⑷连:
按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点,用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/,B/C/,C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.
【变式题组】
01．如图,把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm,作出平移后的图形.
02．如图,已知三角形ABC中,∠C＝90°,BC＝4,AC＝4,现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置,若平移距离为3,求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积.
03．原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离,就得到此图形,求阴影部分的面积.（单位：
厘米）
演练巩固反馈提高
01．如图,由A测B得方向是（）
A．南偏东30°B．南偏东60°
C．北偏西30°D．北偏西60°
02．命题：
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,两次拐弯的角度可能是（）
A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°,第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°,第二次向左拐120°
04．下列命题中,正确的是（）
A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补
05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
从图中可知,小敏画平行线的依据有（）
①两直线平行,同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行；④内错角相等,两直线平行.
A．①②B．②③C．③④D．①④
06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B地所修公路的走向应该是（）
A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.
A．1种B．2种C．3种D．4种
08．如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案,使它正好位于左上角的位置（不能出格）
09．观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的（）
10．如图,AD∥BC,AB∥CD,AE⊥BC,现将△ABE进行平移.平移方向为射线AD的方向.平移距离为线段BC的长,则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.
11．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补,两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
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