高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编.docx
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高中数学选修21第三章+空间向量与立体几何+测试题含详解精华版汇编
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题
(时间:
120分钟,满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)
1.向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若a与b共线,则( )
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
C.x=,y=-D.x=-,y=
解析 由a∥b知,a=λb,∴2x=λ,1=-2λy,3=9λ,∴λ=,x=,y=-.
答案 C
2.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值是( )
A.6B.5C.4D.3
解析 a·b=-3+2x-5=2,∴x=5.
答案 B
3.设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m的值为( )
A.3B.2C.1D.
解析 ∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=0,∴-2+6-2m=0,∴m=2.
答案 B
4.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉,而a·b=|a||b|.
∴cos〈a,b〉=1,∴〈a,b〉=0.
∴a与b共线.反之,若a与b共线,也可能a·b=-|a|·|b|,因此应选B.
答案 B
5.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=( )
A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c
解析 如图,=+
=+
=+(-)
=+
=c+b.
答案 A
6.已知a,b,c是空间的一个基底,设p=a+b,q=a-b,则下列向量中可以与p,q一起构成空间的另一个基底的是( )
A.aB.bC.cD.以上都不对
解析 ∵a,b,c不共面,
∴a+b,a-b,c不共面,∴p,q,c可构成空间的一个基底.
答案 C
7.已知△ABC的三个顶点A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( )
A.2B.3C.D.
解析 BC的中点D的坐标为(2,1,4),
∴=(-1,-2,2).
∴||==3.
答案 B
8.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是( )
A.(,,)B.(-,-,-)
C.(,-,-)和(-,,)D.(,,)和(-,-,-)
解析 |a|==7,∴与a共线的单位向量是±(2,3,6),故应选D.
答案 D
9.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6且a⊥b,则x+y为( )
A.-3或1B.3或-1C.-3D.1
解析 由|a|=6,a⊥b,
得解得或
∴x+y=1,或-3.
答案 A
10.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( )
A.x>4B.x<-4C.0解析 ∵〈a,b〉为钝角,∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉<0,即3x+2(2-x)<0,∴x<-4.
答案 B
11.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
∵=(-5,-1,1),=(-4,-2,-1),
由n·=0及n·=0,得
令z=1,
得x=,y=-,∴n=(,-,1).
又=(-2,-1,3),设AD与平面ABC所成的角为θ,则
sinθ===,
∴θ=30°.
答案 A
12.已知二面角α-l-β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )
A.2B.3C.4D.5
解析 过点P分别作平面α,β的垂线l1和l2,则l1与l2所成的角为130°或50°,问题转化为过点P与直线l1,l2成65°角的直线有几条,与l1,l2共面的有一条,不共面的有2条.因此,共有3条.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中横线上)
13.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a+b与向量a-2b的坐标分别是________;________.
解析 依题意知,a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),则a+b=(1,-2,1),
a-2b=(-1,1,3)-2(2,-3,-2)=(-5,7,7).
答案 (1,-2,1) (-5,7,7)
14.在△ABC中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则∠ABC=________.
解析 cos〈,〉===,
∴〈,〉=,∴∠ABC=π-=.
答案
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________.
解析
建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
∴=(1,0,-1),=(1,1,-1),=(1,1,0).
设平面ABD1的法向量为m=(x1,y1,z1),平面B1BD1的法向量为n=(x2,y2,z2),则由m·=0,m·=0,可得m=(1,0,1),由n·=0,n·D1B1=0,得n=(1,-1,0),∴cos〈m,n〉==.∴所求二平面的大小为60°.
答案 60°
16.在下列命题中:
①若a,b共线,则a,b所在的直线平行;②若a,b所在的直线是异面直线,则a,b一定不共面;③若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;④已知三向量a,b,c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc,其中不正确的命题为________.
解析 ①a,b共线,包括a与b重合,所以①错.
②空间任意两个向量均共面,所以②错.
③以空间向量的一组基底{a,b,c}为例,知它们两两共面,但它们三个不共面,所以③错.
④当与a,b,c共面时,不成立,所以④错.
答案 ①②③④
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,空间四边形OABC中,E,F分别为OA,BC的中点,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解 =+=-+(+)=-a+b+c.
18.(12分)设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数a,b,c使a4=aa1+ba2+ca3成立?
如果存在,求出a,b,c的值;如果不存在,请说明理由.
解 假设a4=aa1+ba2+ca3成立.
由已知a1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),
a3=(-2,1,-3),a4=(3,2,5),可得
(2a+b-2c,-a+3b+c,a-2b-3c)=(3,2,5).
∴
解得:
a=-2,b=1,c=-3.
故有a4=-2a1+a2-3a3.
综上知,满足题意的实数存在,
且a=-2,b=1,c=-3.
19.(12分)四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3,AA′=7,∠BAD=60°,∠BAA′=∠DAA′=45°,求AC′的长.
解 =++=++,
∴()2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=25+9+49+2(5×3cos60°+5×7cos45°+3×7cos45°)
=98+56.
∴||=,
即AC′的长为.
20.(12分)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PC与平面ABCD所成角是45°,F是AD的中点,M是PC的中点.
求证:
DM∥平面PFB.
证明 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,由PC与平面ABCD所成的角为45°,即∠PCD=45°,得PD=2,则P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),F(1,0,0),D(0,0,0),M(0,1,1),
∴=(1,2,0),=(-1,0,2),=(0,1,1).
设平面PFB的法向量为n=(x,y,z),则
∴即
令y=1,则x=-2,z=-1.
故平面PFB的一个法向量为n=(-2,1,-1).
∵·n=0,∴⊥n.
又DM⊄平面PFB,则DM∥平面PFB.
21.(12分)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在C1C上,且C1E=3EC.
(1)证明A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.
解 以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
依题设B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
=(0,2,1),=(2,2,0),
=(-2,2,-4),=(2,0,4).
(1)∵·=0,·=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥DE.
又DB∩DE=D,
∴A1C⊥平面DBE.
(2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,则n⊥、n⊥.
∴2y+z=0,2x+4z=0.
令y=1,则z=-2,x=4,
∴n=(4,1,-2).
∴cos〈n,〉==.
∵〈n,〉等于二面角A1-DE-B的平面角,
∴二面角A1-DE-B的余弦值为.
在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格,点面氛围及服务。
标题:
大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日22.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)证明:
平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.
(4)牌子响解
(1)证明:
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).
在上海,随着轨道交通的发展,地铁商铺应运而生,并且在重要商圈已经形成一定的气候,投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。
在人民广场地下的迪美购物中心,有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受?
设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
4、如果学校开设一家DIY手工艺制品店,你是否会经常去光顾?
∴
我们认为:
创业是一个整合的过程,它需要合作、互助。
大学生创业“独木难支”。
在知识经济时代,事业的成功来自于合作,团队精神。
创业更能培养了我们的团队精神。
我们一个集体的智慧、力量一定能够展示我们当代大学生的耐心.勇气和坚强的毅力。
能够努力克服自身的弱点,取得创业的成功。
令y1=1,得n1=(0,1,-2).
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).
∵n1·n2=0,∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)由于点M在AE上,
关于DIY手工艺制品的消费调查∴可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ),
可得M(2,2λ,λ),于是=(0,2λ,λ-2).
要使A1M⊥平面DAE,需A1M⊥AE,
(一)大学生的消费购买能力分析∴·=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,得λ=.
(三)DIY手工艺品的“自助化”故当AM=AE时,即点M坐标为(2,,)时,A1M