二次函数及三角形周长面积最值问题.docx
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二次函数及三角形周长面积最值问题
二次函数与三角形周长,面积最值问题
知识点:
1、二次函数线段,周长问题
2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题
3、二次函数面积最大值问题
【新授课】
考点1:
线段、周长问题
例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),
如图,直线y=
x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
拓展:
在l上是否存在一点P,使PB-PA取得最大值?
若存在,求出点P的坐标。
练习
1、如图,已知二次函数
的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(
0,-5).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
2、如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
例2.(2018•莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,求线段DE长度的最大值;
练习
1、如图,抛物线y=
x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;
⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.
(4)过点F作FG垂直X轴,并与直线BC交于点H,求FH的最大值。
2、如图,在平面直角坐标系中,直线
与抛物线
交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值.
考点2:
二次函数面积最大值
1.(2018•泰安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
2.(2018•东营)如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
练习
1.如图,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是直线BC上方抛物线上的点(不与B,C重合),过点M作MN∥y轴交线段BC于点N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接MB,MC,是否存在点M,使四边形OBMC的面积最大?
若存在,求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积;若不存在,请说明理由.
课后练习
1、(2017·衢州)定义:
如图1,抛物线
与
轴交于A,B两点,点P在抛物线上(点P与A,B两点不重合),如果△ABP的三边满足
,则称点P为抛物线
的勾股点。
(1)直接写出抛物线
的勾股点的坐标;
(2)如图2,已知抛物线C:
与
轴交于A,B两点,点P(1,
)是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式;
(3)在
(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件
的点Q(异于点P)的坐标
2、如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(
,0)、(0,4),抛物线
经过B点,且顶点在直线
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.