二次函数及三角形周长面积最值问题.docx

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二次函数及三角形周长面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题

知识点：

1、二次函数线段，周长问题

2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题

3、二次函数面积最大值问题

【新授课】

考点1：

线段、周长问题

例1.（2018·宜宾）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

拓展：

在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？

若存在，求出点P的坐标。

练习

1、如图，已知二次函数

的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（

0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2.（2018•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习

1、如图，抛物线y=

x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

2、如图，在平面直角坐标系中，直线

与抛物线

交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

考点2：

二次函数面积最大值

1.（2018•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

2.（2018•东营）如图，抛物线y=a（x-1）（x-3）（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习

1.如图，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．

（3）在

（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？

若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．

课后练习

1、（2017·衢州）定义：

如图1，抛物线

与

轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足

，则称点P为抛物线

的勾股点。

（1）直接写出抛物线

的勾股点的坐标；

（2）如图2，已知抛物线C：

与

轴交于A，B两点，点P（1，

）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在

（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件

的点Q（异于点P）的坐标

2、如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（

，0）、（0，4），抛物线

经过B点，且顶点在直线

上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．