最全运筹学习题及答案.docx
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最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案
共1页
运筹学习题答案
）
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）maxz?
x1?
x2
5x1+10x2?
50
x1+x2?
1
x2?
4
x1，x2?
0
（2）minz=x1+1.5x2
x1+3x2?
3
x1+x2?
2
x1，x2?
0
（3）+2x2
x1-x2?
-0.5x1+x2x1，x2?
0
（4）maxz=x1x2
x1-x2?
0
3x1-x2?
-3
x1，x2?
0
解：
（1）（图略）有唯一可行解，maxz=14
（2）（图略）有唯一可行解，minz=9/4
（3）（图略）无界解
（4）（图略）无可行解
1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2页
（1）minz=-3x1+4x2-2x3+5x44x1-x2+2x3-x4=-2
x1+x2+3x3-x4?
14-2x1+3x2-x3+2x4?
2
x1，x2，x3?
0，x4无约束（2
zk?
i?
?
x
k?
1
m
xik?
（1Maxs.t.
-4x1xx1,x2
共3页
（2）解：
加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：
Maxs=（1/pk）?
i?
1n
?
k?
1
m
?
ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxn
s.t.
m
（1）maxz=2x1+3x2+4x3+7x42x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3
x1,x2,x3,x4?
0
（2）maxz=5x1-2x2+3x3-6x4
共4页
x1+2x2+3x3+4x4=7
2x1+x2+x3+2x4=3
x1x2x3x4?
0
（1）解：
系数矩阵A是：
?
23?
1?
4?
?
1?
26?
7?
?
?
令A=（P1，P2，P3，P4）
P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4
x1-2x2=-3-6x3+7x4
令非基变量x3，x4解得：
x1=1；x2=2
基解0，0）T为可行解
z1=8
（2）同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0）T是非可行解；3以（P1，P4X（3）=，，7/5）T是可行解，z3=117/5；
（4）以（P2，P=（，45/16，7/16，0）T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X（5）0，68/29，0，-7/29）T是非可行解；
（6）TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；）3
最大值为z3=117/5；最优解X（3）=（34/5，0，0，7/5）T。
（2）解：
系数矩阵A是：
?
1234?
?
2112?
?
?
共5页
令A=（P1，P2，P3，P4）
P1，P2线性无关，以（P1，P2）为基，有：
x1+2x2=7-3x3-4x4
2x1+x2=3-x3-2x4
令x3，x4=0得
x1=-1/3，x2=11/3
基解X
（1）=（-1/3，11/3，0，0）T
（2）同理，以（P1，P=0，）Tz2=43/5；3）为基，基解X
以（P1，P4）为基，基解X（3）=0）T（4）以（P2，P=（2，0）Tz4=-1；3）为基，基解X
（6）以（P4，P=（0，0，1）Tz6=-3；3X
最大值为z2；最优解为=（0）T。
1.4
（1）+x2
3x1+5x215
6x1+2x2?
24
x1，x2?
0
（2）maxz=2x1+5x2
x1?
4
2x2?
12
3x1+2x2?
18
x1，x2?
0
共6页
解：
（图略）
（1）maxz=33/4最优解是（15/4,3/4）单纯形法：
标准型是maxz=2x1+x2+0x3+0x4s.t.3x1+5x2+x3=156x1+2x2+x4=24
x,x,x,x?
0Maxz=33/4
迭代第一步表示原点；第二步代表C点（4，0，3，0）T；第三步代表B点（15/4，3/4，0，0）T。
（2）解：
（图略）
Maxz=34此时坐标点为（2，6）单纯形法，标准型是：
Maxz=2x1+5x2+0x3+0x4+0x5
共7页
s.t.x1+x3=4
2x2+x4=12
3x1+2x2+x5=18
x1,x2,x3,x4,x5?
0
（表略）
最优解X=（2，6，2，0，0）T
Maxz=34
迭代第一步得X
（1）=（0，0，4，12，TX
（2）=（0，6，4，0，6）T1.5以1.4题（1
解：
目标函数：
maxz=c1x1+c2x2
（1）当c2?
0时
x2c1/c2）x1+z/2k=-1/c2
kAB，?
k
当c2
当c2
?
当c2
当c2
?
当c2
当c2
BC时，1，c20C0k
BCkkABc时，10，目标函数在B点有最大值；0，目标函数在原点最大值。
kAB
kcc0时，1，2同号。
0时，目标函数在A点有最大值0时，目标函数在原点最大值。
共8页
?
k
当c2
当c2
cc0时，1，2异号。
c
0，1c
0，1
kAB0时，目标函数在A点有最大值；0时，目标函数在C点最大值。
?
k=
当c2
当c2
cc时，1，2同号0时，目标函数在AB线断上任一点有最大值0，目标函数在原点最大值。
?
k=
当c2
当c2
kBC时，c1，c2同号。
0时，目标函数在BC0c?
k=0时，1当c2
当c2
0A
（2c2maxz=
?
c1
?
?
c1xCc1
c1=0
1.6分别用单纯形法中的大M并指出属于哪类解。
（1）maxz=2x1+3x2-5x3
x1+x2+x3?
15
2x1-5x2+x3?
24
x1，x2?
0
（2）minz=2x1+3x2+x3
共9页
x1+4x2+2x3?
8
3x1+2x2?
6
x1，x2，x3?
0
（3）maxz=10x1+15x2+12x35x1+3x2+x3?
9
-5x1+6x2+15x3?
152x1+x2+x3?
5
x1，x2，x3?
0
（4）maxz=2x1-x2+2x3x1+x2+x3?
6
-2x1+x3?
2
2x2-x3?
0
x1，x2?
0
解：
（1法
Maxz=2x1+324+0x5s.t.x1+x2+x3+4=72x1-5x2+x3-x5+x6=10x1,x2,x3,x5,x4,x6?
0M是任意大整数。
共10页
目标函数最优值minw=0
共11页
X=（45/7，4/7，0，0，0）T
Maxz=102/7
（2）解法一：
大M法
z?
=-z有maxz?
=-min（-z?
）=-minz化成标准形：
Maxz?
=-2x1-3x2-x3+0x4+0x5-Mx6-Mx7S.T.
x1+4x2+2x3-x4+x6=4
3x1+2x2-x5+x7=6
x1,x2,x3,x4，x5,x6，x7?
0
（单纯性表计算略）
线性规划最优解X=（4/5，00，0minz=7
非基变量x3
X=（4/5，9/5，0，0，0，0）T是基本可行解,minw=0
4/5，，0，，）Tminz=73?
3
（3）解：
大M法
Maxz=10x1+15x2+123x4+0x5+0x6-Mx7s.t.5x1+3x2+x3+x4=9
-5x1+6x2+15x3+x5=15
2x1+x2+x3-x6+x7=5
x1,x2,x3,x4，x5,x6，x7?
0
单纯形表计算略
共12页
当所有非基变量为负数，人工变量x7=0.5，所以原问题无可行解。
两阶段法（略）
（4）解法一：
大M法
单纯形法，（表略）非基变量x4的检验数大于零，此线性规划问题有无界解。
两阶段法略
1.7求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界；
Maxz=c1x1+c2x2
a11x1?
a12x2?
b1
a21x1?
a22x2?
b2
其中：
1?
c1?
3，4?
c2?
6，8?
b1?
?
b2?
14?
1?
11?
3，2?
a12?
5，2?
a21?
4，4?
a22?
6
解：
?
求Z的上界Maxz=3x1+6s.t.-1x2?
12
x12x1?
X=（0，0）T
目标函数上界为?
求z的下界
线性规划模型：
MaxZ=x1+4x2
s.t.3x1+5x2?
8
4x1+6x2?
10
x2，x1?
0
加入松弛变量，化成标准型，解得：
共13页
最优解为
X=（0，8/5，0，1/5）T
目标函数下界是z=32/5
1.8表1-6是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。
表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数，试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
（1）表中解为唯一最优解；
（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，对解改进，换入变量为
x，
交线路至少配备多少司机和乘务人员。
列出线型规划模型。
共14页
解：
设xk（k=1，2，3，4，5，6）为xk个司机和乘务人员第k班次开始上班。
建立模型：
Minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6
s.t.x1+x6?
60
x+x?
70
解:
解：
设x1，x2，x3是甲糖果中的A，B，C成分，x4，x5，x6是乙糖果的A，B，C成分，x7，x8，x9是丙糖果的A，B，C成分。
线性规划模型：
Maxz=0.9x1+1.4x2+1.9x3+0.45x4+0.95x5+1.45x6-0.05
s.t.-0.4x1+0.6x2+0.6x3?
0
x7+0.45x8+0.95x9
共15页
-0.2x1-0.2x2+0.8x3?
0-0.85x4+0.15x5+0.15x6?
0-0.6x4-0.6x5+0.4x6?
0-0.7
x7
-0.5
x8
+0.5
x9
?
0
x1+x4+x7
?
2000
解：
产品1，设A1,A2完成A工序的产品x1，x2件；B工序时，B1,B2，B3完成
共16页
B工序的x3，x4，x5件，产品?
，设A1,A2完成A工序的产品x6，x7件；B工
序时，
工序的B1x9完成B的产品为件；x8件；产品111，A2完成A工序的x9件，B2完成B
x1+x2=x3+x4+x5
x6+x7=x8
建立数学模型：
Maxz=（1.25-0.25）*（x1+x2）+（2-0.35）*（7）+（2.8-0.5）x9-（5x1+10
x6）300/6000-（7x2+9x7+12x938x4+11x9）783/7000-7x5*200/4000
s.t
5x1+10x6?
6000
7x2+9
6x7x8+12x9?
4000
47x5x1+x23x4x5
x6+x7=x8
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x8,,0
最优解为X=（1200，230，0，859，571，0，500，500，324）T
最优值1147.
试题：
1.（2005年华南理工大学）设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫
克维生素。
现有5种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如下表所示：
试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。
共17页
解题过程：
minz?
0.2x1?
0.7x2?
0.4x3?
0.3x4?
0.8x5
?
3x1?
2x2?
x3?
6x4?
18x5?
700?
x?
0.5x?
0.2x?
2x?
234s..t?
10.5x?
x?
0.2x?
2x?
1234?
?
x1,x2,x3,x4,x5?
）
2.1
（1）Maxz=6x1x2+3x3
2x1-x2+3x3?
2
3?
x1，2x3?
0
（2）x1+x
3x1+x24x1+3x2?
6
x1+2x2?
3
x1,x2?
0
解：
（1）
先化成标准型：
Maxz=6x1-2x2+3x3+0x4+0x5
s.t.2x1-x2+2x3+x4=2
共18页
x1+4x3+x5=4
x1,x2,x3,x4,x5?
0
?
10?
T令B0=（P4，P）=5?
?
XB0=（x4,x5）,CB0=（0,0）?
01?
?
2?
12?
T）=,=（，，N0=（P1,P2,Pxxx）X3123N0?
?
?
104?
?
10?
?
2?
=bCN0=（6,-2,3），B0?
1=?
?
0?
?
01?
?
?
4?
非基变量的检验数
CN0CB0B0?
1N0CN0-=?
N=0
因为x1的检验数等于6x1B?
1
0?
2?
?
2?
?
1b0=?
?
；BP1=?
?
?
4?
?
1?
由?
规则得：
?
=1
?
0?
B1=（P5）=?
?
X1=（1B1?
11?
T）,=（N1=（P4,xxx23N1
?
0?
1?
=bCN1=（0，-2，3），?
1=?
?
1?
?
?
0.51?
?
?
3?
非基变量的检验数?
N1=，1，-3）
因为x2的检验数为1，是正的最大数。
所以x2为换入变量；
?
?
0.5?
B?
1
0P2=?
?
0.5?
?
由?
规则得：
?
=6
所以x5是换出变量。
共19页
?
2?
1?
T
=（,，CB2=（6,-2）.B2=（P1，P2）=?
xx）X12?
B2
?
10?
T
N2=（P4,P5，P3）,XN2=（x4，x5，x3）
?
01?
?
4?
CN2=（0，0，3），B2=?
?
b2=?
?
?
12?
?
?
6?
?
1
非基变量的检验数?
N2=（-2，-2，-9）
?
4?
最优解X=?
?
?
6?
即：
X=（4,6,0）T
目标函数最优值max
（2）解：
Minz=2x1+x2x3+Mx4+Mx5+0x6S.T.3x1+=341x2-3x1+2x=3x1,x2,x34,6?
0
M
原问题最优解是X=0.6，0）目标函数最优值：
2.2
共20页
（1）minz=2x1+2x2+4x3
共21页
2x1+3x2+5x3?
23x1+x2+7x3?
3x1+4x2+6x3?
5x1,x2,x3?
0
（1）
解：
对偶问题是：
Maxw=2y1-3y2-5y3s.t.
2y1-3y2-y3?
23y1-y2-4y3?
25y1-7y2-6y3?
4y1,y2,y3?
0
（2）maxz=x1+2x2+3x34-x1+x2346x1+7x2-5x4812x1-9x2-93x4?
20x1,x2?
0;x3?
x4
解：
对偶问题：
Minw=5y1+8y3+20S.t.-y1+6y3+12y1+7y3-9y4y4?
1y4?
2
y4-y1+3y3-9?
3
=4-3y1-5y3+9y4
共22页
y1无约束，y3?
0；
mny4?
0
（3）minz=?
?
cijxij
i?
1j?
1
?
x
j?
1
mnij?
aii=1,…,m?
x
i?
1ij?
bjj=1,…,n
xij?
0
解：
对偶问题:
maxw=?
aiy+?
j''i
i?
1mn''s.t.yi''+ym?
j?
cij
''yyi,m?
j….m;j=1,2,''
?
cjj?
1n
?
axij
j?
1
nnj?
…m1?
?
axij
j?
1j?
i,i=11,m1?
m
xj?
0,当j=1，….，n1?
nxj无约束，当j=n1?
1,...,n
m解：
Minw=?
bjyi''
i?
1
s.t.
?
a
i?
1mijyi''?
cjj=1,2,3…n1
共23页
?
a
i?
1mn1n1''?
j=+1,+2,….nycijij
yi''?
0i=1,2….m1
yi''无约束，i=m1+1,m1+2….m
2.4判断下列说法是否正确，并说明为什么.
（1）如线性规划问题的原文题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。
（2
（3）则该线性规划问题一定有有限最优解。
（1）
（2）错误，
（3有无界解；
2.5设线性规划问题1是：
Maxz1=?
cjxj
j?
1n
?
axij
j?
1nj?
bi，i=1，xjj?
n
**（y12是
Maxz2cjjj?
1n
?
axij
j?
1nj?
bi+ki，i=1，m
xj?
0,j?
1,2....,n
其中ki是给定的常数，求证：
maxz2?
maxz1+?
kiyi*
i?
1m
解：
证明：
把原问题用矩阵表示：
共24页
Maxz1=CXs.t.AX?
bX?
0b=（b1,b2...bm）T
设可行解为X1,对偶问题的最优解Y1=（y1，y2…ym）已知。
Maxz2=CX
s.t.AX?
b+kX?
0k=（k1,k2...km）T
设可行解为X22,Minw=Y（b+k）S.t.YA?
CY?
0因为
Y2
Y2
（b+k）1）
X2
z2XY
?
；2A2?
b+k）?
Y1b+Yk
2.6Maxz=1c2x2c3x3
?
a11?
?
a?
x1?
?
21?
a12?
?
a?
x2?
22?
?
a13?
?
x3?
?
?
?
1?
0?
x4?
?
?
b1?
?
?
=x?
1?
5?
b?
?
?
?
2?
xj?
0,j?
1,...,5
用单纯形法求解，得到最终单纯形表如表所示，要求：
（1）求a11，a12，a13，a21，a22，a23，b1，b2的值；
（2）求c1,c2,c3的值；
共25页
解：
（1）初始单纯形表的增广矩阵是：
a?
aC1=?
1112
?
a21a22a13a2310b1?
01b2?
?
最终单纯形表的增广矩阵为
?
1010.5?
0.51.5?
C2=?
?
22?
?
0.510?
1
C2是C1作初等变换得来的，将
C2C2的第四列和第五列的矩阵成为C2
a11=9/2；a12=1；a13=4；a22=1；b1=9；b2=5
3=0
2.7
x+x23+6x4
s.t.2x1+?
2x1+2x23+2x4xj?
0，j=1,…4
**对偶变量y1，y2，其对偶问题的最优解是y1=4，y2?
1，试应用对偶问题
的性质，求原问题的最优解。
解：
对偶问题是：
Minw=8y1+12y2
s.t.2y1+2y2?
2
2y2?
1
共26页
y1+y2?
5
y1+2y2?
6
y1，y2?
0
?
，Y?
是原问题和对偶问题的可行解，那么，Y?
X=0互补松弛性可知，如XS
和
?
=0，当且仅当X?
是最优解。
?
，YYSX
设X,Y是原问题和对偶问题的可行解，YS有：
Yy4，y5，y6）XS=0;且YSX=0
x5=x6=0x4最优解X=（0，0，4，4）T44。
2.8
x1+x2
+x2x12?
7
x1,0
（2）minz=3x1+2x2++4x4
2x1+4x2+5x3+x4?
0
3x1-x2+7x3-2x4?
2
5x1+2x2+x3+10x4?
15
x1,x2,x3,x4?
0
解：
（1）
取w=-z，标准形式：
共27页
Maxw=-x1-x2+0x3+0x4
s.t.
-2x1-x2+x3=-4
-x1-7x2+x4=-7
x1，x2，x3，x4?
0
单纯形法求解（略）：
最优解：
X=（21/13，10/13，0，0）T
目标函数最优值为31/13。
（2）令：
w=-zMaxw=-3x1-2x2-x3-4x4+06+0s.t.
-2x1-4x2-5x3-x4x5=0
-3x1+x2-7x3+2x4+x612-3x4+x7=-15
x12x3xx5，x6
X=（300，6，7）T
。
2.9
maxz=-5x1+5x2+13x3
-x1+x2+3x3?
20
12x1+4x2+10x3?
90
x1，x2，x3?
0
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？
（1）约束条件1的右端常数20变为30
共28页
（2）约束条件2的右端常数90变为70
（3）目标函数中x3的系数变为8
?
?
1?
（4）x1的系数向量变为?
?
?
12?
（5）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3?
50
（6）将约束条件2变为10x1+5x2+10x3?
100解：
把原问题化成标准型的：
Maxz=-5x1+5x2+13x3+0x4+05s.t
-x1+x2+3x3+x5=20
12x1+4x2+10x3+x5=90
x1，x2，x3，x4，x5?
0
单纯形法解得：
最优解：
0，0，0，10）T
100。
10
（1?
30
有?
?
?
Bb
因此b?
?
b?
?
b?
单纯形法解得：
最优解：
X=（0，0，9，3，0）T
目标函数最优值为117。
2右端常数变为70
（2）约束条件○
有?
b?
?
B?
1?
b
因此b?
?
b?
?
b?
单纯形法解得，最优解：
X=（0，5，5，0，0）T
共29页
目标函数最优值为90。
（3）x3的系数变成8，x3是非基变量，检验数小于0，所以最优解不变。
?
0?
（4）x1的系数向量变为?
?
?
5?
x1是非基变量，检验数等于-5，所以最优解不变。
3
（5）解：
加入约束条件○
设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位产品利润4.5千元，问这对原计划有何影响？
解：
（1）设：
产品三种产品的产量分别为，x1，x2，x3，建立数学模型：
Maxz=3x1+2x2+2.9x3
s.t.
共30页
8x1+2x2+10x3?
300
10x1+5
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